Учебное пособие 1272
.pdfПример 36. В любой группе G единичная подгруппа H ={e} и сама подгруппа G будут нормальными делителя-
ми. Действительно, если H ={e}, то левосторонне и право-
стороннее разложения группы G по подгруппе H совпадают с разложением группы G на отдельные элементы:
aH ={ae} ={a}, Ha ={ea} ={a} aH = Ha a G .
Если же H = G , то оба разложения группы G по этой подгруппе состоят из одного класса, совпадающего с самой группой G :
aH ={x : x = ah h H} = G ,
Ha ={x : x = ha h H} = G aH = Ha = G a G .
Пример 37. В любой группе G подгруппа H индекса 2 является нормальным делителем (докажите!). В этом случае любой смежный класс G по H совпадает с H или с G \ H . В частности, в любой симметрической группе Sn ее
подгруппа An четных подстановок является нормальным де-
лителем.
Пример 38. В группе S4 подмножество
K4 ={e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}
есть абелева подгруппа и нормальный делитель (докажите!).
Группа K4 называется группой Клейна или четверной груп-
пой.
Пример 39. В аддитивной группе целых чисел ( , +)
нормальными делителями являются подгруппы H = m . Действительно, в примере 31 были построены левые смежные классы a + H - это классы вычетов по модулю m , и так как G =( ,+) является абелевой группой, то a +H = H +a
a G .
Пример 40. Пусть G = GLn ( ) - группа невырожденных матриц порядка n . Пусть H ={X : | X |=1} - подгруппа
матриц с определителем, равным 1. Покажем, что H является нормальным делителем.
Действительно, A GLn ( ) имеем
AH ={B : B = AX} ={B : | B |=| A |},
HA ={C : C = XA} ={C : | C |=| A |} ,
т.е. левый и правый смежные классы для данной матрицы A состоят из одних и тех же элементов - матриц, определители которых равны определителю матрицы A . Следовательно, AH = HA A G и подгруппа H является нормальным делителем.
Пример 41. Не является нормальным делителем под-
группа H = (1, 2) |
в группе S3 . Действительно, в примере 33 |
|||
показано, |
что |
(1,3)H ≠H(1,3) , |
поэтому |
равенство |
aH =Ha a G не выполнено.
Приведем критерий нормального делителя для произвольной группы. Сначала сформулируем вспомогательное определение.
Определение. Элементы a и b группы G называются сопряженными, если существует элемент g G такой, что
b = g−1ag .
Теорема 18. Подгpуппа H группы G является нормальным делителем тогда и только тогда, когда она вместе с каждым элементом содержит все сопряженные с
ним элементы (т.е. когда h H влечет g−1hg g G ).
Доказательство. 1) Пусть H - нормальный делитель в группе G , т.е. aH = Ha a G . Покажем, что подгруппа
60 |
61 |
H вместе с каждым элементом содержит все сопряженные с ним элементы.
Из равенства aH = Ha вытекает, что для любого элемента h H существует h1 H такой, что ah1 = ha . Умно-
жим обе части последнего равенства на a−1 слева: a−1(ah1) = a−1(ha) , откуда h1 = a−1ha .
Но элемент h1 H , тогда элемент a−1ha H h H , т.е. вместе с каждым элементом h подгруппа H содержит все
сопряженные с ним элементы a−1ha .
2) Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть подгруппа H вместе с каждым элементом h содержит все
сопряженные с ним элементы a−1ha |
a G . Покажем, |
что |
|||||||
aH = Ha a G . |
|
|
|
элемент h H . |
|
|
|||
Рассмотрим |
произвольный |
Тогда |
по |
||||||
условию сопряженный элемент |
a−1ha = h1 H . |
Обе части |
|||||||
последнего равенства |
умножим |
слева на |
a . |
Получим |
|||||
ha = ah1 , что |
означает |
ha aH |
h H . |
Следовательно, |
|||||
Ha aH . |
|
|
|
для произвольного элемента h H |
|||||
С другой стороны, |
|||||||||
сопряженный |
с |
ним |
элемент |
запишем |
в виде |
(a−1)−1ha−1 = h2 , и по условию h2 H . Обе части последне-
го равенства умножим справа на a . Получим (a−1)−1h = h a . |
||
Отсюда, учитывая равенство (a−1)−1 = a , имеем |
2 |
|
ah = h a , |
||
что означает ah Ha |
h H , а значит aH Ha . |
2 |
|
||
Таким образом, |
доказаны два включения Ha aH и |
|
aH Ha . Следовательно, aH = Ha для любого |
a G , т.е. |
|
H - нормальный делитель в группе G . |
|
|
Теорема полностью доказана. ■ |
|
Теорема 19. Если H1 и H2 - нормальные делители группы G , то их пересечение H1 ∩H2 также будет нормальным делителем группы G .
Доказательство. Пусть H1 и H2 - нормальные делители группы G . Тогда их пересечение H1 ∩H2 является подгруппой, как пересечение двух подгрупп (в силу теоремы 14 п.1.9). Пусть h - произвольный элемент из H1 ∩H2 . Тогда h H1 , но H1 - нормальный делитель и вместе с каждым элементом содержит все элементы ему сопряженные, значит
a−1ha H1 . С другой стороны, h H2 |
, но H2 - |
нормальный |
делитель, и следовательно a−1ha H2 |
для того же элемента |
|
a . Отсюда получаем, что a−1ha H1 ∩H2 . |
|
|
Таким образом, установлено: 1) |
H1 ∩H2 |
- подгруппа; |
2) h H1 ∩H2 a−1ha H1 ∩H2 . Следовательно, |
по теореме |
18 H1 ∩H2 является нормальным делителем группы G . ■
Контрольные вопросы и задания к п. 1.12
1.Какая подгруппа называется нормальным делителем?
2.Приведите примеры нормальных делителей.
3.Докажите, что любая подгруппа абелевой группы является ее нормальным делителем.
4.Сформулируйте критерий нормальности подгруппы.
5.Докажите, что любая подгруппа H индекса 2 в группе G является ее нормальным делителем.
6.Центром группы называется множество всех ее элементов, коммутирующих со всеми элементами группы. Докажите, что центр группы является ее нормальным делителем.
62 |
63 |
1.13. Фактор-группа
Из определения нормального делителя вытекает, что левые и правые смежные классы по подгруппе, которая является нормальным делителем, совпадают и их можно не различать. Поэтому естественным способом можно построить новую группу, элементами которой являются смежные классы.
Пусть G - произвольная группа и H - ее нормальный делитель (т.е. H - подгруппа, такая что aH = Ha a G ).
Рассмотрим множество всех смежных классов группы G по подгруппе H . В этом множестве определим операцию умножения классов следующим образом:
xH yH = (xy)H .
Другими словами, чтобы найти произведение двух смежных классов, надо произвольным образом выбрать в этих классах по одному представителю и взять тот класс, в котором лежит произведение этих представителей. (Напомним, что всякий класс порождается любым из своих элементов).
Покажем, что операция умножения классов определена корректно и не зависит от выбора конкретных представителей в перемножаемых классах xH и yH .
Рассмотрим класс xH , выберем в нем некоторый эле-
мент x1 xH ; тогда |
x1H = xH (в силу свойства 3 п.1.10). |
Аналогично, в классе |
yH выберем элемент y1 yH ; тогда |
y1H = yH . По определению умножения классов имеем: xH yH = (xy)H ,
x1H y1H = (x1y1)H .
Но xH = x1H и yH = y1H , т.е. левые части равенств равны. Покажем, что правые части равенств также равны, т.е. докажем равенство (x1 y1)H = (xy)H .
Рассмотрим класс (x1 y1)H . Имеем: x1 xH , y1 yH . Тогда в силу определения левого смежного класса найдутся такие h1, h2 H , что x1 = xh1 , y1 = yh2 . Тогда
x1 y1 = xh1 yh2 = x(h1 y)h2 .
Здесь элемент h1 y Hy . Но подгруппа H является нормаль-
ным делителем, поэтому Hy = yH y G , а |
значит |
h1y yH . Следовательно, найдется элемент h3 H |
такой, |
что h1 y = yh3 . Тогда |
|
x1 y1 = x( yh3 )h2 = (xy)(h3h2 ) (xy)H . |
|
Отсюда в силу свойства 3 смежных классов (см. п. 1.10) имеем
(x1 y1)H = (xy)H .
Таким образом, произведение классов не зависит от выбора конкретных представителей в этих классах. Следовательно, операция умножения классов введена корректно.
Покажем, что множество классов с введенной операцией умножения образует группу.
Теорема 20. Пусть H - нормальный делитель группы G . Множество смежных классов группы G по подгруппе H является группой относительно операции умножения классов.
Доказательство. Проверим три аксиомы группы.
1) Покажем, что операция умножения классов ассоциативна. По определению операции имеем
64 |
65 |
(xH yH ) zH = (xyH ) zH = (xyz)H ,
xH ( yH zH ) = xH ( yzH ) = (xyz)H .
Следовательно, (xH yH ) zH = xH ( yH zH ) для любых классов xH , yH , zH .
2) Нейтральным элементом является сама подгруппа H , так как для любого класса xH верно:
xH H = xH eH = (xe)H = xH ,
H xH = eH xH = (ex)H = xH .
3) Для каждого класса xH существует обратный (xH )−1 , который определяется равенством (xH )−1 = x−1H . Действительно,
(xH ) (x−1H ) = (xx−1)H = eH = H ,
(x−1H ) (xH ) = (x−1x)H = eH = H .
Из свойств 1) - 3) вытекает, что множество смежных классов по нормальному делителю H образует группу. ■
Полученная группа обозначается GH и называется фактор-группой группы G по ее нормальному делителю H .
Задача. Пусть G = S3 - симметрическая группа третьей степени; пусть H = A3 - подгруппа ее четных подстановок. Постройте фактор-группу GH ; убедитесь, что она состоит
из двух элементов и, следовательно, является циклической группой второго порядка.
Контрольные вопросы и задания к п. 1.13
1.Как определяется операция умножения смежных классов? Докажите корректность этого определения.
2.Сформулируйте определение фактор-группы.
3.Приведите примеры фактор-групп.
4.Укажите, сколько элементов содержится в фактор-группе:
а) Z6 2 ; |
б) Z12 3 ; |
в) Z12 8 . |
Выпишите эти элементы.
1.14.Разложение группы в классы сопряженных элементов
Рассмотрим еще один способ разбиения группы G на классы – классы сопряженных элементов. Понятие сопряженных элементов уже было введено ранее (см п. 1.12). Напомним соответствующее определение.
Определение. Элементы a и b группы G называются сопряженными, если существует элемент g G такой, что
b = g−1ag .
Для сопряженных элементов используется следующее обозначение: a ≈ b .
Приведем свойства отношения сопряженности.
1) Каждый элемент сопряжен самому себе: a ≈ a (рефлексивность).
Доказательство. Для любого элемента a G верно
a = e−1ae , где e - нейтральный элемент группы G . Следовательно, a ≈ a . ■
2) Если b ≈ a , то a ≈ b (симметричность).
Доказательство. По условию b ≈ a . Это значит, что существует элемент g G такой, что b = g−1ag . Умножим
66 |
67 |
обе части этого равенства слева на g и справа на g−1 . Получим gbg−1 = g(g−1ag)g−1 , откуда gbg−1 = a . Но в силу
свойств обратного элемента g = (g−1)−1 . Тогда для элемента a имеем:
a = gbg−1 = (g−1)−1bg−1 = f −1bf , где f = g−1 G .
Отсюда вытекает, что a ≈ b . ■
3) Если a ≈ b и b ≈ c , то a ≈ c (транзитивность).
Доказательство. По условию a ≈ b и b ≈ c . Отсюда по определению сопряженных элементов имеем
a = g−1bg и b = f −1cf , где g, f G .
Тогда для элемента a в силу ассоциативности групповой операции и равенства ( fg)−1 = g−1 f −1 получим:
a = g−1bg = g−1( f −1cf )g =(g−1 f −1)c( fg) =( fg)−1c( fg) = h−1ch ,
где обозначено h = fg G . Отсюда вытекает, что a ≈ c . ■
Из свойств 1 - 3 следует, что отношение сопряженности определяет разбиение группы G на непересекающиеся классы сопряженных между собой элементов. Покажем это.
Теорема 21. Классы сопряженных между собой элементов не пересекаются.
Доказательство. Пусть G - группа. Рассмотрим два произвольных элемента x, y G . Обозначим через S(x) -
класс элементов, сопряженных с x , а через S( y) - класс элементов, сопряженных с y , т.е.
S(x) ={x : x ≈ x}, S( y) ={y : y ≈ y}.
Для элементов x, y G возможны следующие случаи: эти элементы либо сопряжены, либо нет.
1 случай. Пусть x ≈ y . Покажем, что S(x) = S( y) , т.е.
что соответствующие классы сопряженных элементов совпадают.
Рассмотрим произвольный элемент x S(x) , т.е. x ≈ x . Но по условию x ≈ y , тогда в силу свойства транзи-
тивности x ≈ y , значит x S( y) . Последнее означает, что
S(x) S( y) .
Докажем обратное включение. Рассмотрим произвольный элемент y S( y) , т.е. y ≈ y . Но y ≈ x (в силу свойст-
ва симметричности), и следовательно в силу транзитивности y ≈ x . Отсюда получаем y S(x) , что означает
S( y) S(x) .
Таким образом, S(x) S( y) и S( y) S(x) . Следовательно, S(x) = S( y) , т.е. все сопряженные между собой эле-
менты попадают в один и тот же класс.
2 случай. Пусть x ≈/ y (элемент x не сопряжен с элементом y ). Покажем, что в этом случае классы S(x) и S( y)
не пересекаются.
Предположим противное. Пусть S(x) ∩S( y) ≠ , т.е.z S(x) ∩S( y) . Элемент z одновременно принадлежит как классу S(x) , так и классу S( y) . Так как z S(x) , то z ≈ x , или в силу свойства симметричности x ≈ z . Так как z S( y) , то z ≈ y . Тогда в силу свойства транзитивности x ≈ y , что невозможно, так как по условию x ≈/ y . Следовательно, если x ≈/ y , то соответствующие классы S(x) и S( y) не пересе-
каются. ■
Таким образом, вся группа G распадается на непересекающиеся классы – классы сопряженных элементов. Каждый элемент попадает только в один класс, и объединение всех этих классов дает всю группу G .
68 |
69 |
Опишем свойства классов сопряженных элементов. Класс элементов, сопряженных с элементом a , обозна-
чим через S(a) , т.е.
S(a) ={x : x ≈ a} ={x : x = g−1ag g G}.
1) a S(a) . |
|
Доказательство. В силу |
свойства рефлексивности |
a ≈ a , что означает a S(a) . ■ |
|
2) Нейтральный элемент |
e всегда образует отдель- |
ный класс, т.е. S(e) ={e} . |
|
Доказательство. Для любого элемента x ≈ e имеем x = g−1eg = g−1(eg) = g−1g = e g G .
Поэтому S(e) ={x : x ≈ e} ={e} . ■
3) Если элемент коммутирует со всеми элементами группы, то он образует отдельный класс.
Доказательство. Пусть элемент a G коммутирует со всеми элементами группы G , т.е. ag = ga g G . Пока-
жем, что S(a) ={a} . Рассмотрим элементы x , сопряженные с этим элементом a ; в силу равенства ag = ga и ассоциативности групповой операции имеем:
x = g−1ag = g−1(ag) = g−1(ga) = (g−1g)a = ea = a .
Отсюда вытекает, что класс S(a) состоит лишь из одного элемента a , т.е. S(a) ={a} . ■
4) В абелевой группе число классов сопряженных элементов равно порядку группы.
Доказательство. В силу свойства 3 в абелевой группе каждый элемент образует отдельный класс. Следовательно,
число классов равно числу элементов, т.е. равно порядку группы. ■
Отметим, что в некоммутативной группе число классов сопряженных элементов меньше порядка группы.
5) Порядки сопряженных между собой элементов одинаковы.
Доказательство. Пусть ord a = k , т.е. k - наименьшее натуральное число такое, что ak = e . Пусть b ≈ a , т.е. b = g−1ag . Покажем, что ord b = k . Вычислим bk . В силу ассоциативности операции и равенства gg−1 = e имеем
bk = (g−1ag)(g−1ag)...(g−1ag) =
kраз
=g−1a(gg−1)a(gg−1)...(g−1g)ag = g−1ak g = g−1eg = e .
Таким образом, bk = e . Покажем теперь, что k - наименьшее число такое, что bk = e . Рассмотрим некоторое натуральное число m такое, что bm = e . Вычислим am . По условию b = g−1ag , отсюда a = gbg−1 . Тогда
am = (gbg−1)(gbg−1)...(gbg−1) =
mраз
=gb(g−1g)b(g−1g)...(g−1g)bg−1 = gbm g−1 .
Отсюда вытекает, что наименьшее значение степени m , при
котором bm = e , должно равняться k (так как ak = e ), тогда ord b = k и элементы a , b имеют одинаковый порядок. ■
70 |
71 |
1.15. Критерий сопряженности подстановок
Опишем, что представляют собой классы сопряженных элементов в группе Sn .
Теорема 22. В группе Sn две подстановки сопряжены
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую цикловую структуру, т.е. когда их разложения в произведения независимых циклов содержат одинаковое число циклов одинаковой длины.
Доказательство. Рассмотрим подстановку a Sn ,
a ≠ e . Пусть подстановка a разложена в произведение независимых циклов следующим образом:
a = (α1, ... ,αk )(αk+1, ... ,αk+m ) ...
Найдем сопряженные с a элементы, т.е. все элементы b вида b = g−1ag g Sn . Для удобства вычислений подстановку g запишем в виде:
α |
... |
α |
α |
... |
α |
... |
|
|
|
g = |
β1 |
... |
βk |
βk+1 |
... |
βk+m |
... |
|
, |
|
1 |
|
k |
k+1 |
|
k+m |
|
|
|
здесь элементы верхней строки расположены в том же порядке, в каком они следуют в циклах подстановки a .
Вычислим b = g−1ag , записав подстановку a в виде таблицы:
|
|
−1 |
β1 ... |
βk |
βk+1 |
... βk+m |
... |
|
|
|
|||||
|
b = g |
ag = |
α ... |
α |
k |
α |
k+1 |
... |
α |
k+m |
... |
× |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
× α1 |
α2 ... |
αk |
αk+1 |
αk+2 |
... αk+m ... α1 |
... |
αk |
αk+1 |
... |
αk+m |
... |
= |
|||
|
α3 ... |
α1 |
αk+2 |
αk+3 |
|
|
|
|
... |
βk |
βk+1 |
... |
βk+m |
|
|
α2 |
... αk+1 ... β1 |
... |
|
|
|
|
|
β1 |
β2 |
... |
βk |
βk+1 |
βk+2 ... |
βk+m ... |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
↓ |
↓ |
... |
↓ |
↓ |
↓ ... |
↓ ... |
|
|
||
|
|
|
|
α1 |
α2 |
... |
αk |
αk+1 |
αk+2 ... |
αk+m ... |
|
|
||
|
|
|
= |
↓ |
↓ |
... |
↓ |
↓ |
↓ ... |
↓ |
... |
= |
|
|
|
|
|
|
α2 |
α3 |
... |
α1 |
αk+2 |
αk+3 ... |
αk+1 ... |
|
|
||
|
|
|
|
↓ |
↓ |
... |
↓ |
↓ |
↓ ... |
↓ ... |
|
|
||
|
|
|
|
β2 |
β3 |
... |
β1 |
βk+2 |
βk+3 ... |
βk+1 ... |
|
|
||
= |
β1 |
β2 ... |
βk |
βk+1 |
βk+2 |
... βk+m |
... |
=(β |
... β )(β |
... |
β )... |
|||
|
|
β2 |
β3 ... |
β1 |
βk+2 |
βk+3 |
... βk+1 |
|
1 |
k |
k+1 |
|
k+m |
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
Отсюда вытекает, что a ≈ b разложениях подстановок a лов одинаковы, т.е. когда a вую структуру. ■
тогда и только тогда, когда в
иb число циклов и длины цик-
иb имеют одинаковую цикло-
Пример 42. Рассмотрим подстановки a,b, c S4 :
1 |
2 |
3 |
4 |
, |
1 |
2 |
3 |
4 |
, |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||
a = |
2 |
1 |
4 |
3 |
|
b = |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
c = |
2 |
1 |
3 |
4 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Выясним, какие из них являются сопряженными элементами группы S4 . Для этого каждую подстановку разложим в произведение независимых циклов:
a =(1,2)(3,4) , b =(1,4)(2,3) , c = (1, 2) .
Замечаем, что подстановки a и b имеют одинаковую цикловую структуру - каждая из них содержит по два цикла длины 2, поэтому a ≈ b ; подстановка c содержит лишь один цикл длины 2, поэтому a ≈ c и b ≈ c .
72 |
73 |
Пример 43. Разложим в классы сопряженных элементов группу S3 . Эта группа состоит из 6 различных подстано-
вок, каждую из них запишем в виде произведения независимых циклов (используем обозначения примера 7):
a1 |
1 |
2 |
3 |
|
= (1)(2)(3) , |
a4 |
1 |
2 |
3 |
|
= (1, 2,3) , |
||
= |
2 |
3 |
|
= |
2 |
3 |
1 |
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a2 |
1 |
2 |
3 |
|
= (2,3) , |
a5 |
1 |
2 |
3 |
|
= (1,3, 2) , |
||
= |
3 |
|
|
|
= |
3 |
1 |
2 |
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
a3 |
1 |
2 |
3 |
= (1, 2) , |
a6 |
1 |
2 |
3 |
|
= (1,3) . |
|||
= |
1 |
|
|
= |
3 |
2 |
1 |
|
|||||
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
Сопряженными элементами группы S3 (в силу теоремы 22) являются подстановки, имеющие одинаковую цикловую
структуру: a1 ≈ a1 , |
a2 ≈ a3 ≈ a6 , a4 ≈ a5 . Таким образом, |
получим три класса сопряженных элементов: |
|
K1 ={a1}, |
K2 ={a2 , a3, a6}, K3 ={a4 , a5} , |
тогда S3 = K1 K2 K3 .
Заметим, что число элементов в каждом классе является делителем порядка группы. Этот факт будет доказан ниже.
Пример 44. Найдем число классов сопряженных элементов для группы S6 . В силу теоремы 22 классы сопряжен-
ных элементов однозначно определяются различными цикловыми структурами подстановок из S6 . Укажем эти цикло-
вые структуры:
[16 ], |
[14 , 21] , [13,31] , [12 , 41] ,[12 , 22 ] , |
[11,51] , |
|||
[11, 21,31], |
[23 ] , |
[21, 41] , |
[32 ] , |
[61] . |
Таким образом, всего имеется 11 разных цикловых структур, и соответственно 11 классов сопряженных элементов.
Замечание. Обращаем внимание, что утверждение теоремы 22 справедливо только для симметрической группы Sn . В знакопеременной группе An четных подстановок кри-
терий сопряженности уже неверен. Так, в A4 существуют несопряженные тройные циклы, например, (1, 2,3) ≈/ (1, 2, 4) .
Контрольные вопросы и задания к п. 1.14-1.15
1.Какие элементы группы называются сопряженными?
2.Перечислите свойства классов сопряженных элементов.
3.Чему равно число классов сопряженных элементов в абелевой группе?
4.Докажите, что сопряженные элементы группы имеют одинаковые порядки, но обратное утверждение неверно.
5.Что представляют собой классы сопряженных элементов в
симметрической группе Sn ?
6.Приведите пример группы, имеющей три класса сопряженных элементов.
7.В группе S4 найдите класс сопряженности:
а) подстановки (1 2)(3 4) ; б) подстановки (1 2 4) .
8. Есть ли в группах S5 и S6 несопряженные элементы оди-
наковых порядков?
9. Разложите группы S3 и S4 в классы сопряженных элементов.
10.Найдите число классов сопряженных элементов в группах S5 и S6 .
11.Опишите все конечные группы, разбивающиеся ровно на два класса сопряженных элементов.
74 |
75 |
1.16. Уравнение Коши
Определение. Уравнением Коши в группе Sn назвается уравнение вида
x−1ax = b , |
(6) |
где подстановки a,b Sn .
Критерий спряженности подстановок в группе Sn (тео-
рема 22) позволяет описать способ решения таких уравнений. Заметим, что в силу определения сопряженных элементов (см. п. 1.14) разрешимость уравнения (6) равносильна сопряженности подстановок a,b Sn .
Как следует из доказательства теоремы 22, если подстановки a,b Sn имеют одинаковую цикловую структуру
a = (α1, ... ,αk )(αk+1, ... ,αk+m ) ...,
b = (β1, ... ,βk )(βk+1, ... ,βk+m ) ...,
где k ≥ m ≥..., то множество решений уравнения (6) есть множество всех подстановок вида
α1 |
... |
αk |
αk+1 |
... |
αk+m |
... |
|
|
|
||||
x = |
β |
... |
β |
k |
β |
k+1 |
... |
β |
k+m |
... |
|
, |
(7) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где нижняя строка соответствует различным способам разложения подстановки b в произведение независимых цик-
лов длин k ≥ m ≥... . |
|
Пример 45. Найдем все решения |
уравнения Коши |
x−1ax = b , где a,b S5 , a = (1,3, 4)(2)(5) , |
b = (1,5,3)(2)(4) . |
Множество всех решений x данного уравнения описывается следующей таблицей:
Верхняя строка |
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
|
подстановки x |
||||||
|
|
|
|
|
||
Варианты нижних |
1 |
5 |
3 |
2 |
4 |
|
строк подстановки x |
5 |
3 |
1 |
2 |
4 |
|
|
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
|
1 |
5 |
3 |
4 |
2 |
|
|
5 |
3 |
1 |
4 |
2 |
|
|
3 |
1 |
5 |
4 |
2 |
Таким образом, число решений данного уравнения равно 6, и эти решения имеют вид:
x1 |
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
, |
||
= |
|
5 |
3 |
2 |
4 |
|
||
|
1 |
|
|
|||||
x2 |
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
|
, |
|
= |
5 |
3 |
1 |
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|||||
x3 |
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
, |
||
= |
3 |
1 |
5 |
2 |
4 |
|
||
|
|
|
|
|||||
x4 |
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
, |
||
= |
|
5 |
3 |
4 |
2 |
|
||
|
1 |
|
|
|||||
x5 |
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
|
, |
|
= |
5 |
3 |
1 |
4 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|||||
x6 |
1 |
3 |
4 |
2 |
5 |
|
|
|
= |
3 |
1 |
5 |
4 |
2 |
. |
||
|
|
|
|
Отметим, что при составлении таблицы для записи всех вариантов нижних строк подстановки x надо всеми способами переставить между собой циклы одинаковых
76 |
77 |
длин, и для каждого варианта расстановки циклов перебрать все возможные способы записи каждого цикла.
Контрольные вопросы и задания к п. 1.16
1.Что называется уравнением Коши?
2.При каких условиях уравнение Коши имеет решения?
3.Как найти все решения уравнения Коши x−1ax = b ?
4.Найдите все решения уравнения Коши x−1ax = b , где подстановки a,b S5 :
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
, |
1 2 3 |
4 5 |
|
; |
||||||
а) a = |
3 |
4 |
1 2 |
5 |
|
b = |
4 |
5 3 |
1 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
2 3 |
4 |
5 |
|
, |
1 2 |
3 |
4 5 |
|
; |
||||||
б) a = |
3 4 1 |
5 |
|
|
|
b = |
2 |
5 4 |
3 |
1 |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
1 2 3 4 |
5 |
, |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|||||||
в) a = |
3 5 |
4 |
1 |
|
|
|
b = |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
. |
|||
|
2 |
|
|
|
|
1.17.Нормализатор элемента группы. Центр группы
Пусть (G, ) - группа и элемент a G .
Определение. Множество всех элементов группы, коммутирующих с элементом a , называется нормализатором элемента a и обозначается N(a) , т.е.
N (a) ={x G : ax = xa}.
Опишем некоторые свойства нормализатора.
Теорема 23. Нормализатор N(a) является подгруппой
группы G .
Доказательство. Покажем, что для любых элементов b, c N (a) верно bc N (a) и b−1 N (a) .
Пусть b, c N(a) . Это значит, что элементы b и c ком-
мутируют с элементом a , т.е. ab = ba и ac = ca . Тогда в силу ассоциативности групповой операции имеем
a(bc) = (ab)c = (ba)c = b(ac) = b(ca) = (bc)a .
Таким образом, a(bc) = (bc)a . Следовательно, bc N(a) . Покажем теперь, что b N(a) верно b−1 N (a) .
Пусть элемент b N(a) , тогда ab = ba , а значит, обратные элементы также равны: (ab)−1 = (ba)−1 . Отсюда в силу равенства (xy)−1 = y−1x−1 получим b−1a−1 = a−1b−1 . Обе части
последнего равенства умножим на элемент a слева и справа. Получим
a(b−1a−1)a = a(a−1b−1)a ab−1(a−1a) = (aa−1)b−1a ab−1 =b−1a .
Последнее равенство означает, что элемент b−1 коммутирует с элементом a . Следовательно, b−1 N (a) .
78 |
79 |