Учебное пособие 1272
.pdfвенства |
a = g1 + g2 |
вытекает, что |
g1 = 0 . Тогда |
a = g1 + g2 = 0 +0 = 0 , следовательно G1 ∩G2 ={0} . |
|||
Таким образом, |
верно разложение |
G = G1 G2 , где |
подгруппа G1 аннулируется числом m1 , а G2 - числом m2 .■
Теорема 32 допускает обобщение на сумму нескольких слагаемых.
Теорема 33. Пусть аннулятор m группы G разлагается в произведение m = m1m2...mk попарно взаимно простых сомножителей. Тогда группа G разлагается в прямую сумму своих подгрупп с аннуляторами m1, m2 , ... , mk .
2.3.Примарные группы. Основная теорема о конечных абелевых группах
Наложим ограничение на аннулятор группы. Определение. Конечная абелева группа называется
примарной, если ее аннулятор есть степень простого числа. Как уже отмечалось, порядок группы является ее анну-
лятором. Поэтому, конечная абелева группа будет |
примар- |
|
ной, если ее порядок является степенью простого числа. |
||
Например, аддитивная группа |
G = ( 2 , +) |
является |
примарной, так как ее порядок | G |= 2 . |
|
|
Аддитивная группа G = ( 6 , +) |
имеет порядок | G |= 6 , |
который не является степенью простого числа. Поэтому G = ( 6 , +) не является примарной группой.
Теорема 34. Конечная абелева группа разлагается в прямую сумму своих примарных подгрупп.
Доказательство. Пусть G - конечная абелева группа и m - ее аннулятор. Натуральное число m запишем в виде канонического разложения:
m = p1k1 p2k2 ...psks ,
где pi - простые числа и ki , i =1, s . Заметим, что числа m1 = p1k1 , m2 = p2k2 , … , ms = psks будут попарно взаимно
простыми в силу свойств взаимно простых чисел. Тогда в силу теоремы 33 группа G разлагается в прямую сумму своих подгрупп
G = G1 G2 ... Gs ,
где G1 имеет аннулятор m1 , G2 - имеет аннулятор m2 и так далее. Причем все Gi , i =1, s являются примарными подгруппами, так как их аннуляторы mi = piki являются степенями простых чисел pi . ■
Из предыдущих теорем следует
Теорема 35 (основная теорема о конечных абелевых группах). Любая ненулевая конечная абелева группа может быть разложена в прямую сумму своих примарных циклических подгрупп, и такое разложение единственно с точностью до изоморфизма и перестановки слагаемых.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 53. Пусть G - абелева группа порядка 100. Разложим ее в прямую сумму примарных циклических подгрупп. В силу следствия из теоремы 12 п. 1.8 каждая конечная группа порядка m изоморфна аддитивной группе вычетов m . Поэтому G 100 и разложение группы G строим с
точностью до изоморфизма.
Порядок группы 100 разложим на простые множители
100 = 22 52 . Тогда G будет изоморфна одной из следующих групп:
G1 = |
4 |
25 |
100 , |
G2 = |
2 |
2 |
25 , |
100 |
101 |
G3 = 4 5 5 ,
G4 = 2 2 5 5 .
Отметим, что разложения 2 50 здесь нет, так как группа 50 не является примарной (ее порядок не является степе-
нью простого числа).
Пример 54. Опишем с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка 36.
Задача сводится к описанию всех возможных наборов (n1, n2 ,..., nk ) таких, что n1n2...nk = 36 и ni - ненулевая сте-
пень простого числа ( i =1, k ). При этом порядок чисел n1, n2 ,..., nk роли не играет.
Так как 36 = 22 32 , то для набора (n1, n2 ,..., nk ) имеется четыре возможности:
(4,9) , (2, 2,9) , (4,3,3) , (2, 2,3,3) .
Следовательно, с точностью до изоморфизма существует ровно четыре абелевы группы порядка 36:
G1 = |
4 |
9 , |
|
G2 = |
2 |
2 |
9 , |
G3 = |
4 |
3 |
3 , |
G4 = 2 2 3 3 . |
|||
Пример. |
Выясним, |
изоморфны ли группы |
G1 = 12 72 и G2 = 18 48 .
Сначала разложим каждую циклическую группу из данных разложений в прямую сумму ее примарных компо-
нент. Так как 12 = 22 3 , 72 = 23 32 , 18 = 2 32 , 48 = 24 3,
тогда
12 = 4 3 , |
72 = 8 9 , |
18 = 2 9 , |
48 = 16 3 . |
Отсюда получаем разложения исходных групп в прямые суммы примарных циклических подгрупп:
G1 = 12 72 = 4 3 8 9 ,
G2 = 18 48 = 2 9 16 3 .
Так как эти разложения существенно различны, то заключаем, что данные группы G1 = 12 72 и G2 = 18 48 не изоморфны.
Контрольные вопросы и задания к п. 2.1-2.3
1.Сформулируйте определение аннулятора элемента и аннулятора группы?
2.Сформулируйте теорему о разложении конечной абелевой группы в прямую сумму двух своих подгрупп.
3.Какая абелева группа называется примарной?
4.Сформулируйте основную теорему о конечных абелевых группах.
5.Найдите с точностью до изоморфизма все абелевы группы порядка: а) 72; б) 108.
6.Выясните, изоморфны ли группы:
а) Z6 Z36 и Z12 Z18 ;
б) Z6 Z36 и Z9 Z24 ;
в) Z12 Z72 и Z18 Z48 . (Ответ: а) да; б)-в) нет.)
102 |
103 |
§ 3. КОЛЬЦА И ПОЛЯ
В этом параграфе будут изложены основы общей теории колец и полей.
3.1. Понятие кольца и подкольца, их свойства
Понятие кольца уже было введено (см. часть 2 настоящего пособия). Напомним его.
Определение. Множество K с двумя бинарными операциями - сложением и умножением - называется кольцом, если:
1)(K, +) является абелевой группой;
2)(K, ) является полугруппой;
3)операции сложения и умножения связаны законами дистрибутивности:
(a +b)c = ac +bc и a(b +c) = ab +ac a,b, c K .
Кольцо называется коммутативным, если операция умножения коммутативна, т.е. ab = ba для любых элементов a,b K .
Если кольцо K содержит единицу, т.е. элемент 1 K со свойствами a 1 =1 a = a a K , то кольцо K называ-
ется кольцом с единицей.
Примерами колец являются следующие числовые кольца: - кольцо действительных чисел,
-кольцо рациональных чисел,
-кольцо целых чисел.
Примером нечислового кольца служит кольцо Mn ( )
всех квадратных матриц порядка n с действительными элементами, это некоммутативное кольцо.
Примером кольца без единицы может служить множество всех четных целых чисел 2 ={0, ±2, ±4,...} с обычными
операциями сложения и умножения чисел.
В любом кольце подмножество, состоящее из одного нулевого элемента 0 , является кольцом. Оно называется нулевым кольцом.
Основные свойства элементов кольца также уже обсуждались (см. часть 2 настоящего пособия). Напомним их.
1)a 0 = 0 a = 0 ;
2)−(−a) = a ;
3)(−a)b = a(−b) = −(ab) ;
4)(−a)(−b) = ab ;
5) |
(a −b)c = ac −bc , a(b −c) = ab −ac ; |
|
6) |
m(ab) = (ma)b = a(mb) , |
m ; |
7) |
(ma)(nb) = (mn)(ab) , |
m, n . |
Введем понятие подкольца. Это понятие является аналогом понятия подгруппы в группе.
Пусть K - кольцо и K1 - его непустое подмножество. Определение. Подмножество K1 кольца K называется
подкольцом, если выполняются условия:
1) x, y K1 |
x − y K1 ; |
2) x, y K1 |
xy K1 . |
Опишем свойства подкольца.
Теорема 36. Любое подкольцо кольца K является кольцом относительно операций, определенных в K .
Доказательство. Пусть K1 - подкольцо кольца K . Покажем, что (K1, +) - абелева группа. В силу определения подкольца для любого x K1 разность x − x = 0 K1 . Тогда разность 0 − x = −x K1 . Отсюда для любых x, y K1 верно x −(−y) = x + y K1 , т.е. сложение является бинарной опера-
104 |
105 |
цией в K1 . Коммутативность и ассоциативность сложения в K1 наследуется из кольца K .
Легко проверить, что (K1, ) является полугруппой. Действительно, умножение является бинарной операцией в K1 в силу определения подкольца. Ассоциативность умножения в K1 наследуется из кольца K .
Сложение и умножение в K1 связаны законами дистрибутивности, которые также наследуются из K . Таким образом, K1 является кольцом. ■
Теорема 37. Пересечение подколец также является подкольцом.
Доказательство. Пусть K1 и K2 - подкольца кольца K . Рассмотрим их пересечение K1 ∩K2 . Для любых x, y K1 ∩K2 имеем:
x K1 ∩K2 |
x K1 и x K2 , |
y K1 ∩K2 |
y K1 и y K2 . |
Таким образом: x, y K1 |
и x, y K2 . Но K1 |
и K2 - подколь- |
ца, и значит x − y K1, xy K1 и x − y K2 |
, xy K2 . Следо- |
|
вательно, x − y K1 ∩K2 |
и xy K1 ∩K2 . |
Значит, K1 ∩K2 |
является подкольцом. ■ |
|
|
Приведем примеры подколец.
Пример 55. Любое кольцо всегда содержит два подкольца, которыми являются нулевое кольцо и само данное кольцо. Эти два подкольца называют несобственными, а все остальные подкольца данного кольца называют собствен-
ными.
Пример 56. В кольце K = целых чисел множество K1 = 2 всех четных чисел является подкольцом. Действи-
тельно, для любых x, y K1 имеем
x = 2k , y = 2m , где |
k, m |
; тогда |
x − y = 2(k −m) = 2a , |
где a |
x − y K1 ; |
xy = 2k 2m = 2(2km) = 2b , где b xy K1 .
Следовательно, K1 = 2 - подкольцо.
Пример 57. В кольце K = Mn ( ) квадратных матриц
порядка n с действительными элементами подкольцами являются следующие подмножества (докажите!):
|
|
|
|
λ1 |
|
0 |
… |
0 |
||
множество K1 |
|
|
|
|
0 |
λ |
… |
0 |
|
|
всех диагональных матриц |
|
|
2 |
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
… λ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
a |
a |
… a |
|
|
|
|
|
||
множество K2 |
|
1 |
2 |
… |
n |
|
, |
ai |
|
; |
всех матриц вида |
0 |
0 |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
… |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
a |
0 |
… 0 |
|
|
|
|
|
|
|
множество K3 |
|
0 |
0 |
… 0 |
|
|
, |
a . |
||
всех матриц вида |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
… 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n×n |
|
|
|
|
||||
Заметим, что |
множество K3 является также |
подкольцом |
кольца K2 .
Пример 58. В кольце K = C[a,b] функций, непрерывных на отрезке [a,b] , подкольцом является множество функций K1 ={ f : f (a) = f (b) = 0}, которые обращаются в нуль на концах этого отрезка. (Докажите!)
106 |
107 |
Пример 59. В кольце K = |
комплексных чисел мно- |
||||||||||||
жества |
|
K1 ={a +bi, гдеa,b } |
и |
K2 ={a +b 3, гдеa,b } |
|||||||||
являются подкольцами. (Докажите!) |
|||||||||||||
Заметим, |
что если K1 - подкольцо кольца K , то нуле- |
||||||||||||
вые элементы |
′ |
и 0 этих колец совпадают (как нейтраль- |
|||||||||||
0 |
|||||||||||||
ные элементы группы (K, +) и ее подгруппы (K1, +) ). Во- |
|||||||||||||
прос же о единице подкольца K1 |
кольца K с единицей ре- |
||||||||||||
шается не однозначно. А именно, |
K1 может не иметь едини- |
||||||||||||
цы, может иметь единицу |
′ |
=1 |
и может иметь единицу |
||||||||||
1 |
|||||||||||||
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ≠1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для иллюстрации указанных ситуаций рассмотрим |
|||||||||||||
кольцо матриц K = M2 ( |
) и три его подкольца |
||||||||||||
K = |
a |
0 |
; |
a,b |
|
|
|
|
|||||
|
|
b |
, |
|
|
||||||||
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
K |
|
= |
a |
b |
; a,b |
|
, |
|
|
||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
K |
|
= |
a |
0 |
; a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||
|
3 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь само кольцо K = M2 ( |
) |
имеет единицу - это единич- |
|||||||||||
ная матрица E = |
1 |
|
0 . Его подкольцо K также имеет еди- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ницу E = |
0 |
1 |
, совпадающую с единицей кольца K . Под- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
кольцо K2 |
не имеет единицы, а подкольцо K3 имеет едини- |
||||||||||||
цу E = |
1 |
0 , которая отлична от единицы исходного коль- |
|||||||||||
1 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ца K .
3.2. Идеалы кольца
Среди подколец особую роль играют так называемые
идеалы.
Определение. |
Идеалом кольца |
K называется любое |
его подкольцо I , |
удовлетворяющее условию: для любых |
|
x I , a K выполняются включения |
xa I , ax I . |
Если какое-либо одно произведение xa или ax принадлежит I , то говорят о левом или правом идеале.
Из определения вытекает, что пересечение идеалов кольца само является идеалом (докажите!).
Выясним, какие из подколец примеров 55-58 являются идеалами.
Пример 60. В произвольном ненулевом кольце идеалами являются само кольцо и нулевое подкольцо {0}. Их на-
зывают несобственными идеалами. Кольцо, не содержащее других идеалов, называют простым. Так, произвольное поле
является простым кольцом. |
|
Пример 61. В кольце |
целых чисел подкольцо 2 |
является идеалом, так как для любых a и x 2 имеем: ax = a 2k = 2(ak) 2 ; аналогично xa 2 .
Пример 62. В кольце Mn ( ) подкольцо K1 диагональных матриц идеалом не является, так как для произ-
вольных матриц A Mn ( |
) и B K1 имеем: |
|
|
||||||
a |
… a |
|
λ |
… 0 |
a λ |
… |
a λ |
|
|
11 |
1n |
|
1 |
|
11 1 |
1n n |
|
||
AB = |
… a |
|
|
|
= |
|
… |
a λ |
. |
a |
|
0 |
… λ |
a |
λ |
|
|||
n1 |
nn |
|
n |
|
n1 1 |
nn n |
|||
Таким образом, |
матрица |
AB не является диагональной, а |
значит AB / K1 .
Пример 63. В кольце C[a,b] непрерывных функций подкольцо K1 ={ f : f (a) = f (b) = 0} является идеалом.
108 |
109 |
Действительно, для любых g(x) C[a,b] и f (x) K1
имеем: (gf )(a) = g(a) f (a) = g(a) 0 = 0 ,
(gf )(b) = g(b) f (b) = g(b) 0 = 0 .
Аналогично ( fg)(a) = ( fg)(b) = 0 .
Идеалам в теории колец принадлежит та же роль, что и нормальным делителям в теории групп. Частично это подтверждается следующим.
Пусть K1 - подкольцо кольца K , тогда группу (K, +) можно разложить в смежные классы по подгруппе (K1, +) и построить фактор-группу KK1 . Заметим, что подгруппа (K1, +) является нормальным делителем группы (K, +) в си-
лу коммутативности операции + . Операция сложения на множестве смежных классов определяется равенством
(a + K1) +(b + K1) = (a +b) + K1 a,b K . |
(8) |
Затем по аналогии со сложением определим умножение смежных классов по правилу
(a + K1)(b + K1) = ab + K1 a,b K . |
(9) |
Это определение будет корректным, если потребовать, чтобы подкольцо K1 являлось идеалом. Справедлива следующая теорема.
Теорема 38. Если K1 есть идеал кольца K , то определение операции умножения на фактор-группе (KK1 , +) формулой (9) корректно, и алгебраическая структура (KK1 , +, ) является кольцом.
Указанное в теореме 38 кольцо (KK1 , +, ) относительно операций (8) и (9) называется фактор-кольцом кольца K по его идеалу K1 и обозначается KK1 .
Контрольные вопросы и задания к п. 3.1-3.2
1.Что называется кольцом?
2.Покажите, что множество всех матриц второго порядка с рациональными элементами, перестановочных с матрицей
0 |
1 |
|
, является кольцом относительно обычных опера- |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
ций сложения и умножения матриц.
3.Что называется подкольцом? Приведите примеры.
4.Что называется идеалом кольца? Приведите примеры.
5.Всякое ли подкольцо является идеалом? Если - нет, то какому дополнительному условиюоно должно удовлетворять?
6.Будет ли множество всех необратимых элементов кольца
а) Z16 ; б) Z24 подкольцом или идеалом этого кольца? 7. Является ли подкольцом в Z[x] множество многочленов с
положительным свободным членом?
8.Является ли идеалом в Z[x] подкольцо, состоящее из многочленов с делящимся на 3 свободным членом?
9. Будет ли множество матриц a |
b ;a,b Z , подкольцом |
|
−b |
a |
|
или идеалом в кольце K всех матриц второго порядка?
10.Выясните, является ли множество K1 идеалом кольца K
соперациями сложения и умножения матриц:
а)
б)
K1
K1
a |
a |
; |
|
, |
= |
a |
a R |
||
a |
|
|
|
|
a |
a |
; |
|
, |
= |
a |
a Q |
||
a |
|
|
|
K = a |
b ; a,b R ; |
|
b |
a |
|
K = a a |
; a,b Q . |
|
b |
b |
|
110 |
111 |
3.3. Гомоморфизм и изоморфизм колец
Для колец, как и для групп, вводятся понятия гомоморфизма и изоморфизма.
В кольце определены сложение, вычитание и умножение его элементов. Поэтому гомоморфизм и изоморфизм колец должны характеризоваться таким отображением одного кольца на другое, которое сохраняет операции, определенные в данных кольцах.
Рассмотрим два кольца K1 и K2 .
Определение. Отображение ϕ : K1 → K2 называется
гомоморфизмом колец, если оно является гомоморфизмом относительно обеих операций + и , т.е.
ϕ(a +b) =ϕ(a) +ϕ(b) и ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b) для любых a,b K1 .
Определение. Отображение ϕ : K1 → K2 называется изоморфизмом колец, если: 1) ϕ - взаимно однозначно; 2) ϕ - гомоморфизм.
Определение. Ядром гомоморфизма колец ϕ : K1 → K2
называется множество |
|
′ |
′ |
- |
Kerϕ ={x K1 | ϕ(x) = 0 }, где |
0 |
|||
нулевой элемент кольца K2 . |
|
|
|
|
Приведем некоторые свойства гомоморфизма колец. |
|
|||
1) ϕ(a −b) =ϕ(a) −ϕ(b) |
a,b K1 . |
|
|
|
′ |
′ |
- нулевые элементы колец |
K1 |
и |
2) ϕ(0) = 0 , где 0 |
и 0 |
K2 соответственно.
3)Если K1 - кольцо с единицей 1 , то ϕ(1) =1′, где 1′ - единица кольца K2 .
4)Если ϕ : K1 → K2 - гомоморфизм колец, то Kerϕ - идеал кольца K1 .
5)Гомоморфизм ϕ : K1 → K2 является изоморфизмом тогда и только тогда, когда Kerϕ ={0}.
Пример 64. |
Рассмотрим кольца K1 = и K2 = m . |
Отображение ϕ : |
→ m , заданное формулой ϕ(a) = a , яв- |
ляется гомоморфизмом, так как для любых a,b K1 имеем:
ϕ(a +b) = a +b = a +b =ϕ(a) +ϕ(b) ,
ϕ(ab) = ab = a b =ϕ(a)ϕ(b) .
Данное отображение ϕ не является взаимно однозначным; поэтому ϕ не является изоморфизмом. Ядро этого гомоморфизма Kerϕ состоит из всех элементов кольца K1 , которые отображаются в 0 , а значит Kerϕ состоит из всех целых чисел, которые нацело делятся на m , т.е. Kerϕ = m .
Пример 65. Рассмотрим кольца K1 ={a +bi 3; a,b }
и K |
|
= a |
−3b |
; |
a,b . |
Отображение |
ϕ : K → K |
|
, за- |
|
|
2 |
b |
a |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
данное формулой |
ϕ(a +bi |
a −3b |
является изомор- |
|||||||
3) = |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
b |
a |
|
|
|
физмом колец. (Докажите!)
Контрольные вопросы и задания к п. 3.3
1.Сформулируйте определение гомоморфизма колец.
2.Какие кольца называются изоморфными?
3.Что называется ядром гомоморфизма колец?
4.Перечислите свойства гомоморфизма колец.
5.Пусть ϕ : A → B - гомоморфизм колец A и B . Докажите,
что его ядро Kerϕ ={a A :ϕ(a) = 0} обладает свойством: если a,b Kerϕ , то a −b, ab Kerϕ , т.е. Kerϕ - подкольцо.
112 |
113 |
6. Пусть K |
= a |
b ; |
a,b Z и |
K |
|
= Z - кольцо целых |
||
1 |
b |
a |
|
|
|
|
2 |
|
чисел. Покажите, что отображение |
ϕ : K1 → K2 , дейст- |
|||||||
вующее по правилу |
a |
b |
= a −b |
, является гомомор- |
||||
ϕ |
|
|||||||
|
|
|
b |
a |
|
|
|
|
физмом колец и найдите его ядро.
7. Выясните, являются ли следующие отображения гомоморфизмами колец:
|
ϕ(x) = |
|
|
если x - четное, |
|
||
а) ϕ: Z →Z2 , |
0, |
|
|||||
|
|
если x - нечетное; |
|
||||
|
|
1, |
|
||||
б) ϕ: Z →2Z , ϕ(a) = 2a ; |
|
|
|||||
в) ϕ: C →R , ϕ(a +ib) = a ; |
|
|
|||||
г) ϕ: C →C , ϕ(z) =| z |2 . |
(Ответ: а) да; б)-г) нет.) |
||||||
8. Докажите, что следующие кольца изоморфны: |
|
||||||
а) Q и a 0 ; a Q ; |
|
|
|||||
0 |
0 |
|
|
|
|||
б) {a +b 2; a,b Q} и a b ; a,b Q ; |
|||||||
|
|
|
|
|
2b a |
|
|
в) R и a 0 |
; a R ; г) Q и |
a a |
; a Q ; |
||||
0 a |
|
|
|
|
a a |
|
|
д) C и a b ; a,b R ; |
|
|
|||||
−b |
a |
|
|
|
a |
b |
c |
|
е) 2c a |
b |
; |
|
|
|
|
|
2b |
2c a |
|
a,b,c Q и {a +b3 2 +c3 4; a,b,c Q} .
3.4. Разложение кольца в прямую сумму
В некоторых случаях изучение кольца можно свести к изучению его собственных идеалов.
Пусть K - кольцо и K1 , K2 - такие его подкольца, что группа (K, +) есть прямая сумма подгрупп (K1, +) и (K2 , +) . Тогда каждый элемент x K однозначно представляется в
виде x = x1 + x2 , где x1 K1 и x2 K2 ; и операции сложения и вычитания таких сумм производятся покомпонентно. Умножение таких сумм можно производить покомпонентно лишь, когда K1 и K2 являются идеалами кольца K . В этом
случае кольцо K называют прямой суммой своих идеалов (а
не подколец).
Сформулируем строгое определение.
Определение. Кольцо K называется разложимым, если существуют такие его собственные идеалы I1 и I2 , что
K = I1 + I2 и сумма I1 + I2 является прямой суммой абелевых групп (I1, +) и (I2 , +) . В этом случае говорят, что кольцо K есть прямая сумма идеалов I1 и I2 ; обозначение K = I1 I2 .
Если же таких идеалов не существует, то кольцо K на-
зывается неразложимым.
Пример 66. Пусть |
a |
0 |
|
, где |
P - поле. |
||
K = |
0 |
b |
|
; a,b P |
|||
|
|
|
|
|
|
a 0 |
|
|
0 |
0 |
K и |
Тогда A = |
и B |
= |
|
- идеалы кольца |
|
0 0 |
|
|
0 |
b |
|
K = A B . |
|
|
|
|
|
Пример 67. Всякое простое кольцо неразложимо, так |
|||||
как оно не имеет собственных идеалов. |
|
||||
Пример 68. Кольцо |
|
неразложимо. Оно хотя и имеет |
|||
собственные идеалы, но любые два таких идеала m |
и n |
(где m , n отличны от 0 и ±1) имеют ненулевое пересечение
– это множество mn .
114 |
115 |
Для колец, как и для групп, определяется понятие внешней прямой суммы.
Определение. Внешней прямой суммой колец K1 и K2
называется множество K = K1 ×K2 с операциями: (a,b) +(c, d) = (a +c,b +d) ,
(a,b) (c, d) = (ac,bd) ,
где операции над первыми компонентами производятся в кольце K1 , а над вторыми - в кольце K2 .
3.5. Подполя, расширения полей
Понятие поля ранее уже вводилось (см. часть 2 настоящего пособия). Напомним его.
Определение. Полем называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в котором каждый ненулевой элемент обратим.
Примерами числовых полей могут служить поля , ,
, {a +b p; a,b , p - простое число} ; |
примерами нечи- |
|
словых полей - поля вычетов |
p и P[x] |
f (x) , где p - про- |
стое число и f (x) - неприводимый над полем P многочлен.
Пусть P - поле и F - некоторое его подмножество. Тогда в F определены те же операции - сложение и умножение, что и в поле P .
Определение. Подмножество F поля P называется подполем поля P , если оно само является полем относительно операций, определенных в P . При этом говорят, что поле P является расширением поля F .
Пример 69. В любом поле P есть хотя бы одно подпо-
ле - само поле P . |
|
|
Пример 70. |
Поле |
действительных чисел является |
расширением поля |
рациональных чисел; множество чисел |
вида a +b 3 , где a,b |
, также является расширением по- |
|
ля |
рациональных чисел. Соответственно, множество |
|
является подполем поля |
и поля {a +b 3; a,b }. |
|
|
Пример 71. В поле |
бесконечно много подполей – |
все числовые поля. |
|
|
|
Пример 72. В поле |
p нет других подполей, кроме |
него самого, так как в группе ( p , +) нет собственных
подгрупп.
Для подполей справедлива следующая теорема.
Теорема 39. Если F - подполе поля P , то единица поля F совпадает с единицей поля P и для элемента a ≠ 0 из F обратный элемент в F и в P - один и тот же.
Доказательство. Утверждение следует непосредственно из теоремы 15 п. 1.9 § 1, поскольку группа F* = (F \{0}, )
является подгруппой группы P* = (P \{0}, ) . ■
Получим критерий того, чтобы подмножество поля было его подполем.
Теорема 40 (критерий быть подполем). Подмноже-
ство F поля P , содержащее хотя бы один ненулевой элемент, является подполем тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:
1) x, y F x − y F , xy F ;
2) x F \{0} |
x−1 F , где |
x−1 элемент, обратный |
элементу x в поле P . |
|
|
Доказательство. |
В силу |
определения подкольца |
(см. п.3.1) условие 1) равносильно тому, что F - подкольцо поля P . В силу коммутативности поля P кольцо F будет коммутативным. Тогда выполнение дополнительно условия 2) равносильно тому, что F - поле, т.е. тому, что F - подполе поля P (обратные элементы к элементу x F совпадают в силу теоремы 39). ■
116 |
117 |
Следствие. Пересечение любого семейства подполей поля P является его подполем.
Для конечного подмножества F поля P критерий, указанный в теореме 40, можно существенно упростить.
Теорема 41. Конечное подмножество F поля P , содержащее хотя бы один ненулевой элемент, является подполем тогда и только тогда, когда выполнено условие:
x, y F x + y F , xy F .
3.6. Простые поля
Определение. Поле P называют простым, если в нем нет подполей, кроме самого поля P .
Приведем примеры простых полей.
Пример 73. Поле p ={0,1,..., p −1} классов вычетов по простому модулю p – простое в силу примера 72.
Пример 74. Поле |
рациональных чисел – |
простое. |
||||||
Действительно, пусть F - подполе поля . Тогда 1 F и, |
||||||||
следовательно, |
F содержит любой элемент m |
. Кроме, |
||||||
того, если |
n |
\{0} , то |
n−1 = |
1 |
F . Поэтому |
|
m |
F для |
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
||
любых m, n |
и n ≠ 0 , |
следовательно F = . |
Таким обра- |
|||||
зом, поле |
содержит лишь одно подполе F = |
, |
т.е. поле |
- простое.
Обратим еще внимание на то, что изоморфизм полей определяется точно так же, как изоморфизм колец.
Опишем все простые поля.
Теорема 42. Все простые поля разделяются на два типа: 1) все бесконечные простые поля изоморфны полю рациональных чисел;
2) все конечные простые поля изоморфны полю классов вычетов p по простому модулю p .
3.7. Классификация расширений поля
Проведем классификацию расширений поля. Введем понятие простого расширения.
Пусть F - подполе поля P , пусть z - элемент поля P . Добавим элемент z в поле F так, чтобы вновь получить поле. Тогда в F должны попасть все элементы, которые получаются из z и элементов поля F при помощи сложения, умножения, вычитания и деления. А именно, вместе с эле-
ментом z в поле F должны попасть все элементы вида z2 ,
z3 , … , zk , …, а так же azk |
( a F ) и все суммы ∑ak zk ; |
||||||||||||
так как в поле выполнимо деление, то в F попадут и все от- |
|||||||||||||
ношения ∑ak zk |
, где a ,b F . |
|
|
||||||||||
|
∑bk zk |
|
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
F(z) |
|
||||
Полученное множество обозначим |
- это множе- |
||||||||||||
ство всевозможных отношений вида |
f (z) |
, где |
f (z) и g(z) - |
||||||||||
g(z) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
многочлены над полем F и g(z) ≠ 0 , т.е. |
|
|
|||||||||||
|
|
a |
|
z |
n |
+... +a z |
+a |
|
|
||||
f (z) |
|
n |
|
|
|
||||||||
F(z) = |
|
= |
|
|
|
1 |
0 |
, где ai ,bi F и g(z) ≠ 0 . |
|||||
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||
g(z) |
|
|
zm +... +b z +b |
|
|
||||||||
|
|
m |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
Множество F(z) является полем (по построению). Поле F(z) есть наименьшее расширение поля F , которое со-
держит элемент z , т.е. если K - некоторое другое расширение поля F и z K , то F(z) K .
Определение. Поле F(z) называется простым расши-
рением поля F .
Другими словами, расширение F(z) - простое, если оно получено от присоединения одного элемента к полю F .
118 |
119 |