Учебное пособие 1942
.pdfc = diag{km j ke j nj /Rj }, |
q = { q 1, q 2,..., |
q n}т, |
|
|
|
|
Матрицы O, N, Тэ, e, и c являются диагональными. |
|
|
|
|||
Из первого уравнения системы (4.12) получим |
|
|
|
|||
|
|
|
P =N[Мд - Мс ( q )]-O q . |
(4.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (4.14) в (1.30), будем иметь |
|
|
|
|
||
А (q) q |
+ B(q, q ) + C(q) = N[Мд |
- Мс ( q )], |
|
|
||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.15) |
|
|
|
|
|
Тэ М д +Мд =eU-c q , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~
где А (q) = A(q)+O —матрица размера n n.
В современных электродвигателях, используемых в конструкциях манипуляторов, электрические постоянные времени существенно меньше электромеханических постоянных времени, т.е.
|
|
|
|
|
|
2 Rj /km j ke j . |
|
|
|
|
Тэ j =Lj /Rj « J j nj |
(4.16) |
|||
В таких случаях можно принять Тэj =0. Это позволяет вместо (4.15) рассматривать уравне- |
|||||||
ния: |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
А (q) q |
+ B(q, q ) + C(q) = N[Мд - Мс ( q )], |
|
|||||
|
|
|
(4.17) |
|
|
|
|
Мд =eU-c q ,
111
Исключая из (4.17) вектор Мд, получим
~
А (q) q + B(q, q ) + C(q) = N[eU-c q -Мс ( q )]. (4.18)
Уравнения (4.15) и (4.18) получены для того случая, когда все сочленения выполнены на основе вращательных кинематических пар. Аналогично можно вывести уравнения динамики механизма, имеющего кинематические пары поступательного типа. Пусть, например, сочленение с номером s реализует поступательное перемещение по координате qs. Нагрузочный момент в этом сочленении будет равен
Мн s = Fq s hs . |
(4.19) |
где Fq s — сила, развиваемая в сочленении;
hs — длина плеча в механизме преобразования вращательного движения в поступательное. Так как согласно (1.85) справедливы равенства
qд s =ns qs /h s , q д s =n s q s /hs , q д s =ns q s /hs , (4.20)
то в соответствии с (4.10) и (4.11) уравнения движения для поступательной степени подвижности будут иметь вид
J s ns q s /hs =Мд s -Мс s ( q s )-Мн s /ns , Мд s =km s Is ,
(4.21)
Ls km s I s /Rs +km s Is =Us km s /Rs -km s ke s ns q s /Rs hs ,
или в другой форме
112
|
|
|
ns 2 q s = ns hs [Мд s -Мс s ( q s )]-Fq s hs 2 , |
J s |
|||
|
|
(4.22) |
|
Тэ s M |
д s +Мд s = Us km s /Rs - km s ke s ns q s /Rs h s . |
Выражения системы (4.22) при поступательном перемещении отличаются от соответствующих уравнений системы (4.11) для вращательного движения при s=j лишь наличием пара-
метра hs.
Векторная форма записи системы (4.22) имеет вид, аналогичный выражениям (4.12):
|
|
|
|
|
Os q =Ns [Мд -Мс ( q )]-Fq Hs , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тs |
|
|
(4.23) |
|
|
|
|
|
М д +Мд =esU-cs q . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где приняты следующие обозначения: |
|||||
|
|
|
2 }, q = { q 1, q 2,..., q n}т, |
|
||||
Os = diag{ J s ns |
Ns = diag{n s hs}, |
|||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
т |
Мд = {Мд1, Мд2,..., Мд n } , |
М д = { M д1 |
, Mд2 |
,..., M |
д n } , |
||||
Мс( q )={Мс1( q 1), Мс2( q 2),..., Мсn( q n)}т, |
Hs = diag{hs2}, (4.24) |
|||||||
Fq ={ Fq 1, Fq 2,..., Fq n}т, |
Тs = diag{Тэs}, |
|
|
|||||
es = diag{km s /Rs }, |
U = {U1, U2,..., Un}т, |
|
||||||
cs = diag{km s ke s ns /Rs }, |
q |
= { q 1, q 2,..., |
q n}т, |
|
Матрицы Os, Ns, Hs, Тs, es, и cs являются диагональными.
113
Уравнения управляемого движения манипуляторов с учетом динамики приводов как поступательных, так и вращательных степеней подвижности имеют вид (4.15). Управляющими сигналами для данной модели являются управляющие напряжения U = {U1, U2,..., Un}т.
Задачу синтеза алгоритмов управления по ускорению сформулируем следующим образом. Пусть требуемое пространственное положение механизма характеризуется значениями
кинематических переменных qзад j =const, j=1, 2 ,..., n .
В начальный момент времени t = 0 состояние манипулятора характеризуется некоторыми значениями координат и скоростей их изменения
qj (0) = qj 0 , |
q j (0) = |
q j 0 , j = 1, 2,..., n. |
(4.25) |
Требуется синтезировать такие алгоритмы вычисления управляющих напряжений, при которых ИМ переходит из начального состояния (4.25) в окрестность точки qзад =(qзад1, qзад2, ..., qзадn)т и продолжает оставаться в этой окрестности бесконечно долго. Это требование будем записывать символически в виде q(t)
В качестве дополнительного поставим условие, чтобы процесс изменения кинематических переменных q(t) qзад при управлении движением соответствовал решению дифференциальных уравнений:
q j э (t)+ j 1 q j э (t)+ j 0 qj э (t) = j 0 qзадj , j = 1, 2,..., n, (4.26)
где q j э (t), q j э (t),qj э (t ) - эталонные процессы изменения во времени ускорений, скоростей и перемещений по j-й координате;
114
j 1 , j 0 — положительные коэффициенты.
Уравнение (4.26) можно записать в стандартной форме
q j э (t)+2 j q j э (t) /Tj +qj э (t ) /Tj2 = qзад j /Tj2, (4.27)
Выражение (4.27) описывает известное из теории автоматического управления и широко применяемое в различных системах управления /2, 12, 24/ звено второго порядка, характери-
стики которого определяются коэффициентом затухания |
j и постоянной времени Tj. |
Сравни- |
|
вая (4.26) и (4.27), получаем следующие уравнения для определения коэффициентов j 1 |
и j 0 : |
||
j 1 = 2 |
j /Tj, |
j 0 = 1/ Tj2. |
(4.28) |
В табл. 4.1 приведены числовые показатели, характеризующие динамические свойства системы, описываемой уравнением (4.27). В случае j =1 уравнение (4.27) соответствует апериодическому звену второго порядка, время переходного процесса tj 5Tj. При уменьшении ко-
эфициента |
j увеличивается колебательность процесса, что приводит к появлению и нараста- |
||||||||
нию перерегулирования |
j. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4.1 |
Зависимость параметров tj и |
j от коэффициента затухания j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
j, % |
|
tj |
|
j |
j, % |
tj |
|
|
1,00 |
0,0 |
|
5Tj |
|
0,50 |
18 |
6Tj |
|
|
0,71 |
4,3 |
|
3Tj |
|
0,25 |
42 |
12Tj |
|
115
Таким образом, по заданным требованиям к динамике управляемой системы, характеризующимся временем tj переходного процесса и перерегулированием j, можно вычислить с помощью данных табл. 4.1 коэффициенты уравнения (4.26) в соответствии с (4.28). Длительность tj определяется практически по условиям физической реализуемости назначаемых динамических характеристик проектируемой системы такой, чтобы tj > 3Tm j .
Электромеханическая постоянная времени Tm j равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tm j = J j Rj / km j ke j . |
(4.29) |
||
|
|
|
|
|
||
В уравнении (4.29) через J j |
обозначены приведенные к |
|
||||
валу двигателя с параметрами Rj , |
km j и ke j вращающиеся и (или) движущиеся поступательно |
инерционные массы j-й координаты манипулятора в сумме с моментом инерции якоря двигателя.
Реальные законы изменения перемещений qj (t), скоростей q j (t ) и ускорений q j (t) всегда отличаются от заданных. Принцип управления по ускорению предполагает сравнение эталонного процесса изменения ускорения q j э (t) с реальным q j (t) и выработку управляющих воздействий, направленных на минимизацию рассогласования q j э (t)- q j (t). При этом заданные
управляющие моменты двигателей формируются в соответствии с выражением |
|
||
М д j э (t) = kj j ( |
j э - q j ), |
kj j = const, |
(4.30) |
|
|
|
|
где j э = q j э .
116
Независимо от причин, вызывающих отклонение реальных ускорений q j от эталонных
j э , заданный момент Мд j э изменяется таким образом, чтобы скомпенсировать появившееся отклонение. Благодаря этому алгоритмы управления по ускорению придают системам свойства естественной адаптивности и слабой чувствительности по отношению к изменению параметров управляемых объектов, а также к координатным возмущениям.
Рассмотрим формирование структуры алгоритмов управления по ускорению.
На основании (4.26) получим следующее выражение для определения эталонного процесса по j-й координате:
j э (qj , q j) = |
j 0 (qзадj - qj ) - j 1 q j . |
(4.31) |
Из второго уравнения системы (4.15) для j-й координаты получим
Тj э М д j э +Мд j э = ej j Uj - cj j q j . |
(4.32) |
|
|
На основании (4.30) и (4.32) получим следующее выражение:
Тj э kj j ( j э - q j ) + Мд j э = ej j Uj - cj j q j . |
(4.33) |
Из выражений (4.30), (4.31) и (4.33) получим следующую систему уравнений синтезированного алгоритма управления по ускорению:
Uj = ej j -1[Тj э kj j ( j э - q j ) + cj j q + Мд j э ],
117
|
|
|
|
|
|
|
j э (qj , |
q j) = j 0 (qзадj - qj ) - |
j 1 q j , |
(4.34) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
Мд j э (t) = kj j ( j э - q j )dt. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Векторная форма уравнений (4.34) имеет следующий вид: |
|
|
||||||||
|
|
|
U = e |
-1 |
[Тэ k(Еэ |
- q ) + c q + Мд э ], |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Еэ (q, q ) = Г0(qзад- q) - Г1 q , |
(4.35) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
Мд э (t) = k ( Еэ - q )dt. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
В уравнениях системы (4.35) приняты следующие обозначения: |
|
|
||||||||
U = {U1, U2,..., Un}т, |
e- 1 = diag{ej j -1}, |
|
Тэ = diag{Тэj}, |
|
|
|||||
k = diag{kj j }, Еэ = { |
1э, 2э,..., |
|
nэ}т, q |
= { q 1, q 2,..., q n}т, |
|
|
||||
c = diag{cj j }, |
q |
= { q 1, q 2,..., q n}т, |
(4.36) |
|
|
|||||
Мдэ = {Мд1э, Мд2э,..., Мдnэ}т, |
q = {q1, q2,..., qn}т, |
|
|
|
||||||
Г0 = diag{ |
j 0 }, |
Г1 = diag{ |
j 1 }. |
|
|
|
|
|||
Структурная |
схема, |
соответствующая |
системе (4.35), приведена на |
рис. 4.4. |
118
По информации о состоянии управляемого объекта q(t), q (t) во внешнем контуре вычисляется требуемое ускорение Еэ. Величина Еэ поступает на вход внутреннего контура отработки ускорения. Его выходной переменной является q . В структуру внутреннего контура входят двига-
тели приводов и исполнительный механизм ИМ.
В том случае, когда можно не учитывать инерционность электрических процессов в якорных цепях двигателей (Тj э = 0) управляющие напряжения можно определять из соотношения
|
U j (t) = |
j j ({ j э - q j ), j j = const, |
(4.37) |
Векторная форма записи уравнений алгоритма приобретает вид |
|
||
U (t) = ( Еэ - q ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.38) |
|
Еэ (q, q ) = Г0(qзад- q) - Г1 q , |
|
||
|
|
|
|
где = diag{ j j }.
Структурная схема замкнутой системы, построенной в соответствии с (4.38), приведена на рис. 4.5.
119
120