Учебное пособие 1942
.pdfA (r) B (r, r, ) M ,
|
|
F l , |
(1.29) |
|
Al l C l |
||
Ar r |
Br (r, ) Fr . |
|
|
Векторная форма записи уравнений (1.29) имеет следующий вид:
A(q) q + B(q, q ) + C(q) = P, |
(1.30) |
где A(q), q – матрицы инерционных параметров и ускорений; B(q, q ) – вектор, учитывающий взаимовлияние координат;
C(q) – вектор гравитационных сил; P – вектор обобщенных сил.
Матрицы, входящие в уравнение (1.30), имеют вид:
A (r) |
0 |
0 |
|
B (r, r, ) |
|
|
A(q)= 0 |
A |
l |
0 |
, B(q, q )= |
B (l) |
, |
|
|
|
|
l |
|
|
0 |
0 |
A r |
|
Br (r, ) |
|
(1.31)
21
|
0 |
M |
|
q = l |
, |
C(q) = С l , |
P = Fl . |
|
|
|
|
r |
0 |
Fr |
В отличии от уравнения (1.16) в выражении (1.30) имеется матрица B(q, q ), обусловленная
взаимовлиянием вращательного движения по координате и поступательного перемещения вдоль направления r.
На движение по оказывают влияние как величина, так и скорость перемещения по r; и наоборот, движение по координате r зависит от угловой скорости вращения руки манипулятора. Взаимовлияние движений проявляется также и в том, что в матрице A(q) появился функциональный коэффициент A (r) вследствие того, что при перемещении вдоль координаты r изменяется момент инерции относительно оси вращения Ox3. В то же время матрица A(q) остается диагональной, что свидетельствует об отсутствии влияния ускорения при движении по какойлибо координате на движение по двум другим координатам.
1.5. Уравнения движения манипулятора в сферической системе координат
Расчетная схема рассматриваемого ТМ показана на рис. 1.3. Звено 1 имеет массу m1 и момент инерции J1 относительно оси вращения Ox2. Через m2 и m обозначены масса звена 2 и рабочего органа. Геометрические размеры конструкции указаны на чертеже. ТМ имеет две
22
вращательные и одну поступательную кинематические пары. Обобщенными координатами являются углы поворота 1 , 2 и длина стрелы r.
l
x2 |
|
r |
m |
|
|
||
|
r0 |
m2 |
3 |
|
|
||
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
x1 |
|
|
|
|
|
m1, J1 |
|
|
l0
1
x3
Рис. 1.3. Расчетная схема ТМ в сферических координатах Уравнения Лагранжа для данного ТМ имеют вид:
23
d |
|
W |
|
|
W |
|
|
П |
M i |
, i 1, 2, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d t |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.32) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
W |
|
|
W |
|
|
П |
Fr |
, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
d t |
|
r |
|
|
r |
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где M i , Fr — моменты и сила, развиваемые приводами.
Звено 1 участвует только во вращательном движении, поэтому его кинетическая энергия
определяется из выражения |
|
|
|
W1( 1 ) = J1 |
1 |
2/2, |
(1.33) |
Звенья 2 и 3 совершают сложные движения. Обозначим через V2 и V абсолютные значения скоростей точек m2 и m. Тогда для кинетической энергии второго звена и груза имеем:
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
2 |
/2, |
Wm |
= mV |
2 |
/2 |
2 |
/2. (1.34) |
|||
W2 = m2V2 |
/2 = m2s = 1х s2 |
|
|
= ms = 1 х s |
||||||||
Координаты xs 2 точки m2 |
определяются из выражений: |
|||||||||||
|
x12 |
r 0 |
sin |
1 |
cos |
|
2 |
|
|
|
||
|
x22 |
l |
r0 |
|
sin |
2 |
|
|
|
|
(1.35) |
|
|
x 32 |
r0 |
cos |
1 |
cos |
2 |
|
|
|
24
x1
x1 x 2 x3
Дифференцируя xs 2 по времени, получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 |
r0 1 |
cos |
1 cos 2 |
r0 2 sin 1 |
sin 2 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 22 |
r0 2 |
cos |
2 , |
|
|
|
(1.36) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x32 |
r0 1 |
sin |
1 cos |
2 r 0 2 |
cos |
1 sin |
2 , |
||||
Квадрат скорости точки m2 равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V22 = х 122 + |
х |
222 + х 322 |
= r02( 12 |
cos2 |
2 + |
22 ). (1.37) |
|||||
Координаты xs |
точки m: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r sin |
1cos 2 , |
|
x2 |
l |
r sin |
2 , |
x 3 |
r cos |
1cos |
|
2 . |
|
(1.38) |
|
|
|
|
|||||
Дифференцируя xs |
по времени, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
r |
sin |
1 |
cos 2 |
r 1 |
cos |
1 |
cos |
2 |
r 2 |
sin |
1 |
sin |
2 , |
|
|
|
|
|
||||
r |
sin |
2 |
r 2 |
cos |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.39) |
|
|
|
|
||
r |
cos |
1 |
cos |
2 |
r 1 |
sin |
1 |
cos |
2 |
r 2 |
cos |
1 |
sin |
2 , |
|
|
|
|
С учетом выражений для xs находим:
V2 = х 1 |
2 + х 2 |
2 |
+ х 3 |
2 |
= r 2 +r2 |
22 +r 2 |
12 cos2 |
2 . |
(1.40) |
25
Подставляя (1.37) и (1.40) в (1.34), получим:
W = m |
2 |
r 2( 2 |
cos2 |
+ |
|
|
2 ) / 2. |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
W |
= m( r 2 |
+r2 |
|
|
2 +r |
2 |
|
2 |
cos2 |
) /2. |
|
|
|
(1.41) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Выражение для кинетической энергии W имеет вид: |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos |
2 |
+ |
W(r , r , 2 , |
|
|
2 ) = W1+W2+Wm = [(J1 +m2 r0 |
2 |
|||||||||||||
+ mr2 cos2 |
2 ) 12 |
+ (m2 r0 |
2 |
+ mr2 ) 22 |
+ m r 2 ]/2. |
|
(1.42) |
Выражение для потенциальной энергии П системы:
П(r , |
2 )=m1 gl1 +m2 g (r 0 sin 2 +l)+mg(rsin |
2 +l). (1.43) |
||||||||
B соответствии с (1.42) справедливы равенства: |
||||||||||
W / |
1 |
= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
W / |
2 |
= - [(m2 r0 |
2 +mr2 )sin 2 |
2 12 |
]/2, |
|
||||
W / |
r = mr cos2 |
2 |
12 + mr 22 , |
|
|
|
(1.44) |
|||
W / |
1 |
= (J1 + m2 r0 |
2 cos2 |
2 + mr2 cos2 |
2 ) 1 , |
|||||
W / |
2 = (m2 r0 2 +mr2 ) 2 , |
W / |
r |
|
m r . |
На основании (1.43) имеем:
26
|
|
|
П / |
|
|
|
1 = 0, |
|
|
|
|
|
П / r = mg sin |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
П / |
|
|
|
2 = m2 gr0 cos |
2 + mgr cos |
2 . |
|
|
|
|
|
|
(1.45) |
|||||||||||||||||||||
|
|
Подставляя (1.44) и (1.45) в (1.32), получим уравнения динамики ТМ в сферических коор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
динатах: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(J |
1 |
J cos2 |
|
2 ) 1 |
J sin 2 |
2 |
1 2 |
|
2mr cos2 |
2 |
1 r |
M 1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mr |
|
|
|
|
|
J sin 2 |
|
|
2 |
|
2/ 2 |
(m |
2 |
r |
|
mr)g cos |
2 M |
2 |
, (1.46) |
|||||||||||||||||
J |
2 |
|
2 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
mr |
|
2 |
|
mg sin |
|
|
|
F |
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
m r |
mr cos |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ mr2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где J = m2 r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.47) |
||||||||||||||
|
|
Уравнения системы (1.46) взаимосвязаны. Движение ИМ по какой либо координате ока- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
зывает влияние на движение по двум другим. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Введем следующие обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
A 1 r, |
|
2 |
|
|
|
J1 |
|
|
J cos2 |
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
B |
|
(r, r, |
2 |
, |
, |
2 |
) |
|
|
J sin 2 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2mr cos |
|
1 r |
|||||||||||||
|
|
A 2 |
r |
|
|
J , |
|
C 2 (r , |
2 ) = (m2 r0 + mr )gcos |
|
2 , |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
B |
|
(r, r, |
|
|
|
, |
, |
|
|
) |
|
1 |
|
J sin 2 |
|
|
2 |
|
2 m r |
|
r . |
|
|
|
(1.48) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
A r m , Cr ( |
2 ) = mgsin |
2 , |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
B (r, |
2 |
, |
, |
) m r cos2 |
2 |
|
2 |
mr |
2 . |
r |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
С учетом (1.41) уравнения динамики ТМ имеют вид:
A 1 r, 2 1 |
B 1(r, r, 2 , 1, 2 ) |
M 1 , |
|
|
|
|
||
A 2 (r) 2 B |
2 (r, r, |
2 , 1, 2 ) |
C 2 (r, 2) |
M 2 , |
(1.49) |
|||
Ar r Br (r, |
2 , 1, 2 ) Cr ( 2) |
Fr . |
|
|
|
|
||
Векторная форма записи уравнений (1.49) |
имеет вид (1.30), где матрицы A(q), q , P, |
|||||||
B(q, q) |
и C(q) определяются следующим образом: |
|
||||||
A 1(r, 2 ) |
0 |
0 |
1 |
|
M 1 |
|
||
A(q)= |
0 |
A 2(r) |
0 , q = 2 , P = M 2 , |
|
||||
|
0 |
0 |
A r |
r |
|
Fr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.50) |
|
B 1(r, r, |
2 , 1 , 2 ) |
|
0 |
|
|
|
|
B(q, q) = B 2 (r, r, |
2 , 1 , 2 ) , |
C(q) = C 2 (r, |
2) . |
|
||||
|
Br (r, 2 , 1 , 2 ) |
|
C ( |
2 |
) |
|
||
|
|
|
|
r |
|
|
|
28
Взаимосвязь движений по координатам проявляется в наличии функциональных коэффициентов A 1 (r, 2 ), A 2 (r) в матрице A(q), коэффициентов матрицы B(q, q) , каждый из которых определяется движением по всем трем координатам, а также появлении функциональных коэффициентов в матрице C(q) вследствие изменения потенциальной энергии при повороте руки по координате 2 и ее перемещении по r.
1.6.Уравнения движения манипулятора
вугловых координатах
Расчетная схема ТМ, работающего в угловой системе координат, приведена на рис. 1.4. Звено 1 имеет массу m1 и момент инерции J1 относительно оси вращения Оx2. Через m2, m3 и m обозначены, соответственно, массы звеньев 2, 3 и рабочего органа. Геометрические размеры
конструкции указаны |
на рисунке. Рассматриваемый ТМ имеет три вращательные кинематиче- |
||||||||||||
ские пары. Обобщенными координатами являются углы поворота 1 , 2 , 3 . |
|||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
l2 |
|
|
|
l3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l03 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
l02 |
|
m2 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
m |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J1 |
|
|
|
29 |
x1 |
|
l1 |
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|||
l01 |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.4. Расчетная схема ТМ в угловых координатах Уравнения Лагранжа для рассматриваемого ТМ имеют вид:
|
d |
W |
|
W |
|
П |
M j , |
j 1, 2, 3. , |
(1.51) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
j |
|
j |
|
j |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
где M j —моменты, развиваемые приводами в сочленениях вращательного типа. |
|
|||||||||||
Звено 1 участвует только во вращательном движении по координате |
1 , поэтому его кине- |
|||||||||||
тическая энергия определяется из выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
W1( 1 ) = J1 |
12 /2. |
|
(1.52) |
Звенья 2 и 3 совершают сложные движения. Обозначим через V2, V3 и V значения скоростей точек, в которых сосредоточены массы m2, m3 и m. Тогда для определения кинетической энергии звеньев 2, 3 и груза m запишем следующие выражения:
30