Учебное пособие 1942
.pdf
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
W2 |
=m2 V2 |
2 |
/2=m2 xs 2 2 /2, |
W3 =m3 V3 |
2 |
/2=m3 |
xs 3 2 /2, |
|
|
|
||
|
|
|
s = 1 |
|
|
|
s = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
(1.53) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wm = mV2 |
/2=m |
xs 2 /2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Квадрат скорости точки m2 |
определяется из выражения, аналогичного (1.37): |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
2 = l0 2 |
2 ( 12 cos2 |
2 + 22 ). |
(1.54) |
Координаты xs3 точки m3 определяются из выражений:
|
x13 |
[l 2 cos |
2 |
l 03 |
cos( |
2 |
|
3)] sin 1 , x 23 l 2 sin 2 l 03 sin( 2 |
3 ) l 1 , |
||||||
|
(1.55) x 33 |
[l 2 |
cos |
2 |
l 03 cos( 2 |
3)] cos |
1 . |
|
|||||||
Дифференцируя xs3 |
по времени, получим: |
|
|
|
|||||||||||
x13 |
[-l 2 |
2 |
sin |
2 |
l 03( 2 |
3) |
sin( |
2 |
3)] |
sin |
1 |
|
|||
[l 2 |
cos |
2 |
l 03 |
cos( |
2 |
3)] |
cos |
1 1, |
|
|
|
|
|||
x 23 |
l 2 2 cos |
2 |
l 03( 2 |
3) |
cos( |
2 |
3) , |
|
(1.56) |
|
|||||
x 33 |
[-l 2 |
2 |
sin |
2 |
l 03( 2 |
3) |
sin( |
2 |
3)] |
cos |
1 |
|
|||
- [l 2 |
cos |
2 |
l 03 |
cos( |
2 |
3)] |
sin |
1 1. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
Квадрат скорости точки m3 равен:
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
, |
(1.57) |
|
|
|
|
V3 |
= x 13 |
+ |
x 23 |
+ x 33 |
|||||
Подставляя в (1.57) выражения для определения скоростей x 13, |
x 23 |
и |
x 33 |
из (1.56), после |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряда тригонометрических преобразований получим следующее уравнение: |
|
|
|
||||||||||
V32 =l22[ 22 +cos2 |
2 |
12 ]+l032 [( 2 + 3 )2+cos2 ( |
2 + |
3 ) 12 ]- |
|
|
|
|
|
|
|
||
-2l2 l03 [cos |
3 |
2 ( 2 + 3 ) +cos 2 cos( 2 + |
3 ) 12 ]. |
|
(1.58) |
|
|
|
|
|
|
||
Аналогичным образом выводится выражение для квадрата скорости точки m, имеющее |
|||||||||||||
следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 =l22[ 22 +cos2 |
2 |
12 ]+l32 [( 2 + 3 )2+cos2 ( |
2 + |
3 ) 12 ]- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-2l2 l3 [cos |
3 2 ( |
2 + 3 ) +cos |
|
2 cos( |
2 + |
3 ) 12 ]. (1.59) |
|||||
Кинетическая энергия W системы определяется из выражения |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
W = W1 + W2 + W3 + Wm. |
|
(1.60) |
|||||||
На основе уравнений (1.52) (1.54), (1.58) (1.60) получим следующее выражение: |
|||||||||||||
W( 2 , 3, 1 , 2 , 3 ) =J1 12 /2+m2 l022( 12 cos2 |
2 + 22 ) /2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m3{l22[ 22 +cos2 |
2 12 ]+l032[( 2 + 3 )2 + cos2( 2 + 3) 12 ]- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
-2l2 l0 |
3 [cos |
3 2 ( 2 + 3 ) + cos |
2 cos( |
2 + |
3) 12 ]}/2 + |
|
|
m{l22[ 22 +cos2 |
2 12 ]+l32[( 2 + 3 )2 + cos2( |
2 + 3) 12 ]- |
|
||||
-2l2 l3 |
[cos |
3 |
2 ( 2 + 3 ) + cos |
2 cos( |
2 + |
3) 12 ]}/2. |
(1.61) |
Частные производные от кинетической энергии по производным от обобщенных координат равны:
W / |
|
|
|
[J |
1 |
|
m l |
2 |
ml 2 |
|
m l |
2 |
cos2 |
|
2 |
m l2 |
|
|
ml |
2 |
|
|||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
2 02 |
|
2 |
|
3 2 |
|
|
|
|
3 03 |
|
|
3 |
|
|||||||||||||
cos2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
2l |
2 |
|
m l |
ml |
|
cos |
2 |
cos |
|
2 |
3 |
], |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 03 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
W / |
2 |
2 m2l022 |
|
|
ml22 |
|
m3l22 |
|
2 |
|
3 m3l032 |
|
|
|
ml32 |
|
|
(1.62) |
||||||||||||||||
2 2 |
|
|
3 l2 m3l03 |
|
|
ml3 |
cos |
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
W / |
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
m l 2 |
|
ml |
2 |
|
|
l |
2 |
m l |
|
ml |
3 |
|
cos |
3 |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 03 |
|
|
3 |
|
2 |
|
3 03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Производные от W( |
2 , |
|
3, 1 , |
2 , |
3 ) по обобщенным координатам: |
|||||||||||||||||||||||||||||
W / |
1 |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W / |
|
2 |
|
|
2{(m l 2 |
|
m l 2 |
|
ml |
2 ) sin 2 |
|
2 |
(m l 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
02 |
|
3 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
3 03 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
ml 2 ) sin[2( |
|
2 |
|
|
3 |
)] |
|
2(m l |
l |
03 |
ml l ) sin(2 |
2 |
|
|
|
|
3 |
)}/ 2, |
(1.63) |
|||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
W / |
|
3 |
|
|
2{(m l 2 |
|
ml |
2 ) sin[2( |
2 |
|
|
3 |
)]/ 2 |
l |
2 |
|
cos |
2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
3 03 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(m3l03 |
|
ml3 ) sin( |
|
2 |
|
3 )} |
|
2( 2 |
|
3 )(m3l03 |
ml3 )l2 sin |
3. |
33
Выражение для потенциальной энергии П системы имеет вид:
П( 2 , |
3 )=m1 gl01+m2 g (l1 +l02sin 2 )+m3 g (l1 +l2 sin |
2 - |
|||||
|
-l03 sin ( 2 + |
3 )]+mg[l1 +l2 sin 2 -l3 sin ( 2 + |
3 )]. (1.64) |
||||
Производные от П( |
2, |
3) по обобщенным координатам: |
|||||
П / |
1 |
0, |
П / |
3 |
g(m3l03 |
ml3 ) cos( 2 |
3 ), |
П / |
2 |
g(m2l02 |
m3l2 |
ml2 ) cos 2 |
g(m3l03 ml3 ) |
(1.65) |
|
cos |
2 |
3 . |
|
|
|
|
|
Подставляя в систему (1.51) выражения для частных производных (1.62), (1.63) и (1.65), после проведения операции дифференцирования по времени и выполнения ряда тригонометрических преобразований, получим следующие уравнения динамики ТМ в угловой системе координат:
34
[J |
1 |
m l 2 |
|
ml |
2 |
m l 2 |
cos2 |
2 |
|
m l 2 |
ml 2 |
|||||
1 |
|
2 02 |
|
|
2 |
3 2 |
|
|
3 03 |
|
3 |
|||||
cos2 |
2 |
|
3 |
2l2 |
m3l03 |
ml3 |
cos |
2 cos |
2 |
3 |
||||||
|
{ |
m l |
2 |
ml 2 |
|
m l |
2 |
sin 2 |
2 |
|
2 |
m l 2 |
|
ml 2 |
||
1 |
|
2 02 |
|
2 |
|
3 2 |
|
|
3 03 |
3 |
||||||
sin[2 |
2 |
3 |
] |
2 |
|
3 |
2l2 m3l03 |
|
ml3 |
[sin 2 |
2 |
|||||
cos |
|
2 sin |
2 |
|
3 |
3 ]} |
M 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
m l 2 |
|
m l |
2 |
|
|
ml |
2 |
|
m l 2 |
|
ml 2 |
|
|
2l |
2 |
cos |
|
3 |
(m l |
03 |
|||||||||
2 |
|
2 02 |
|
3 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 03 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
m l 2 |
|
ml 2 |
|
|
l |
2 |
cos |
3 |
(m l |
03 |
|
ml |
3 |
) |
|
|
l |
2 |
2 |
|
2 |
|
|
3 |
|||||
3 |
|
3 03 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
(m l |
03 |
ml |
3 |
) |
|
2 |
{(m l 2 |
|
|
m l |
2 |
ml |
2 ) sin 2 |
2 |
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 02 |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
ml 2 ) sin[2( |
2 |
|
|
3 |
)] |
2(m l |
l |
03 |
ml |
l |
3 |
) sin(2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
]
3 2
ml3 ) sin 3
(m l 2 |
|
3 03 |
(1.66) |
|
|
3 )}/ 2 |
|
g(m2l02 |
m3l2 |
ml2 ) cos |
2 |
|
g(m3l03 |
|
|
ml3 ) cos( 2 |
|
|
|
3 ) |
|
||||||||||||||||||||
M 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(m l |
2 |
ml 2 ) |
|
[m l 2 |
|
ml 2 |
|
|
l |
2 |
cos |
3 |
(m l |
03 |
ml |
3 |
)] |
|
|
|||||||||||||
3 |
3 03 |
|
|
3 |
2 |
3 03 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2{(m l 2 |
|
ml 2 ) sin[2( |
2 |
|
|
3 |
)]/ 2 l |
2 |
cos |
2 |
(m l |
03 |
|
|
ml |
3 |
) |
|||||||||||||||
|
1 |
|
3 03 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
sin( |
2 |
|
3 |
)} |
2(m l |
03 |
|
ml |
3 |
)l |
2 |
sin |
3 |
|
g(m l |
03 |
|
ml |
3 |
) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos( |
2 |
|
3 ) |
M 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35
Введем следующие обозначения:
A 1 ( 2 , |
3 ) |
J1 |
(m2l022 |
ml22 m3l22 ) cos2 |
2 |
(m3l032 ml32 ) |
cos2 ( |
2 |
3 ) |
2l2 (m3l03 |
ml3 ) cos 2 cos( |
2 |
3 ), |
B |
1 |
( |
|
2 |
, |
|
3 |
, |
, |
2 |
, |
|
3 |
) |
|
{ (m l 2 |
ml 2 |
|
m l |
2 ) sin 2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 02 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
(m l 2 |
|
|
ml 2 ) sin[2( |
2 |
|
|
3 |
)]( |
|
|
2 |
|
3 |
) |
2l |
2 |
(m l |
03 |
ml |
3 |
) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 03 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
[sin(2 |
|
2 |
|
|
3 ) |
|
|
2 |
|
cos |
|
2 |
|
|
sin( |
2 |
|
|
3 ) |
3}, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
A |
2 |
( |
|
3 |
) |
|
m l 2 |
m l |
2 |
ml 2 |
|
|
m l 2 |
ml |
2 |
2cos |
3 |
l |
2 |
(m l |
03 |
|
ml |
|
), |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
02 |
|
|
3 2 |
|
2 |
|
|
|
3 03 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||
A |
23 |
( |
|
3 |
) |
|
m l 2 |
|
|
ml 2 |
|
l |
2 |
cos |
|
3 |
(m l |
|
ml ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 03 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 03 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
B 2 ( |
|
2 , |
|
3 , 1 , 2 , 3 ) |
|
(2 2 |
|
|
|
3 )l2 sin |
|
|
3 |
3 (m3l03 |
|
ml3 ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2{(m |
l 2 |
|
m l 2 |
|
ml 2 )sin(2 |
2 |
) |
|
(m l 2 |
|
ml 2 )sin[2( |
|
2 |
|
3 |
)] |
(1.67) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
02 |
|
3 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 03 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2(m3l2l03 |
|
ml2l3 )sin 2 2 |
|
|
|
3 |
}/ 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
C 2 ( |
|
2 , |
|
3 ) |
|
g(m2l02 |
|
m3l2 |
|
|
ml2 ) cos |
|
2 |
|
g(m3l03 |
|
ml3 ) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos |
|
2 |
|
|
3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A |
3 |
|
|
m l |
2 |
|
ml |
2 , |
|
|
A |
32 |
( |
|
3 |
) |
|
|
m l 2 |
|
|
ml |
2 |
|
l |
2 |
|
cos |
3 |
(m l |
|
ml), |
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 03 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 03 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 03 |
|
36
B |
3 |
( |
2 |
, |
3 |
, |
|
, |
|
2 |
) |
2{(m l |
2 |
ml |
2 ) sin[2( |
2 |
3 |
)]/ 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
3 03 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l |
2 |
(m l |
|
|
ml |
3 |
) cos |
2 |
sin( |
2 |
3 |
)} |
2 |
(m l |
ml |
3 |
)l |
2 |
sin |
3 |
, |
|||||||
|
|
3 03 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 03 |
|
|
|
|
|
|||||||||
C 3 ( |
2 , |
3 ) |
|
|
|
g(m3l03 |
ml3 ) cos( |
2 |
3 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом (1.67) уравнения динамики ТМ в угловой системе координат имеют следующий вид:
A 1 ( 2 , 3 ) 1 |
B 1 ( |
2 , 3 , 1, 2 , 3 ) |
М 1, |
|||
A 2 ( 3 ) 2 |
A 23 ( 3 ) 3 |
B 2 ( 2 , 3 , 1, 2 , 3 ) |
||||
С 2 ( |
2 , |
3 ) |
М 2 , |
|
|
(1.68) |
|
|
|
||||
A 3 3 |
A 32 ( |
3 ) 2 |
B 3 ( 2 , 3 , 1, 2 ) С 3 ( 2 , 3 ) М 3 , |
|||
Векторная форма записи системы уравнений (1.68) имеет вид выражения (1.30), в котором |
||||||
матрицы A(q), q , P, |
B(q, q) и C(q) |
определяются следующим образом: |
|
A 1 ( 2 , 3 ) |
0 |
|
0 |
1 |
M |
A(q)= |
0 |
A 2 ( |
3 ) |
A 23 ( 3 ) , q = |
2 |
, P = M |
|
0 |
A 32 ( 3 ) |
A 3 |
3 |
M |
1
2
3
,
(1.69)
37
B 1 ( 2 , 3 , 1 , 2 , 3 ) |
|
0 |
B(q, q) = B 2 ( 2 , 3 , 1 , 2 , 3 ) , |
C(q) = C 2 ( |
2 , 3 ) . |
B 3 ( 2 , 3 , 1 , 2 ) |
C 3 ( |
2 , 3 ) |
В отличии от рассмотренных ранее кинематических схем и, в частности, от схемы манипулятора, работающего в сферической системе координат, динамика которого также характеризуется наличием функциональных коэффициентов в матрицах A(q), B(q, q) и C(q) , для данной схемы матрица A(q) не является диагональной, что свидетельствует о влиянии ускорения по координате 2 на движение по 3 и наоборот.
Следует отметить, что независимо от кинематической схемы манипулятора его динамическая модель всегда может быть представлена в виде уравнения (1.30). На основе этого векторного уравнения строятся алгоритмы управления манипуляторами. На синтез управления также оказывают влияние модели приводов в сочленениях робота.
В связи с этим в следующем разделе рассмотрим модели двух типов приводов, широко применяющихся для реализации сложных движений манипуляторов — электромеханического и электрогидравлического.
1.7. Динамические модели приводов промышленных роботов
Наибольшее распространение в регулируемых электромеханических приводах роботов
38
получили двигатели постоянного тока благодаря хорошим регулировочным свойствам и простоте системы управления ими. Как правило, двигателями постоянного тока управляют изменением подводимого к якорю напряжения при постоянном магнитном потоке машины. Дифференциальные уравнения, описывающие такую систему, имеют следующий вид:
где Lj – индуктивность цепи якоря j-й координаты; Ij – ток якоря двигателя j-й координаты;
Rj – активное сопротивление цепи якоря j-й координаты; ke j – коэффициент противоЭДС j-й координаты;
qд j – угол поворота вала двигателя j-й координаты; Uj – напряжение на якоре двигателя j-й координаты;
km j – коэффициент момента двигателя j-й координаты; J j – момент инерции якоря двигателя j-й координаты;
kт р – коэффициент вязкого трения;
Mн j – момент внешней нагрузки, приведенный к валу двигателя j-й координаты.
Первое уравнение системы (1.70) описывает электромагнитные процессы, происходящие в цепи якоря двигателя. Второе уравнение связывает электромагнитный момент двигателя, динамический момент, момент вязкого трения и момент нагрузки на валу, т.е. является основным уравнением движения электропривода j-й координаты.
Уравнения (1.70) могут быть приведены к векторной форме следующим образом. Введем вектор состояния j-го привода yj = (qд j , qд j , Ij ) т. Выразим из первого уравнения системы (1.70)
39
ток Ij якорной цепи, из второго уравнения - угловое ускорение вала двигателя qд j . Получим следующую систему уравнений:
Система уравнений (1.71) представляется в векторной форме следующим образом: Введем следующие обозначения:
D j ( yп j )
qд j
qд j bj ( yп j )
I j
0
0
1/ L j
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
k т р / J j |
k m j / J j |
||||
0 |
k e j / Lj |
R j / L j |
0 |
0 k |
1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
т р |
/ J j |
k m j / J j |
|||||||||
0 |
0 |
|
, |
/ L |
f j |
( yп j ) |
|
|
||||
k |
e j |
j |
R |
j |
/ L |
j |
||||||
1/ L |
j |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
U j |
|
|
1/ J j |
|
M н j . |
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
,
0 qд j
qд j
1/ J j .
0 I j
(1.73)
(1.72)
Вектор yп j параметров j-го двигателя включает в себя параметры Lj , Rj , ke j , km j , J j ,
kт р .
С учетом (1.73) векторное уравнение (1.72) приобретает следующий вид:
40
(1.74)