- •1.1. Предмет механики жидкости и её задачи
- •1.2. Математическое моделирование
- •2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •2.1. Начальные понятия, свойства жидкости
- •2.2. Гипотеза сплошности
- •2.2.1. Понятия: плотность, удельный вес, модуль упругости
- •2.3. Силы, действующие в жидкости
- •2.3.1. Объёмные (массовые) силы
- •2.3.2. Поверхностные силы
- •2.3.2.1. Касательные силы
- •2.3.2.2. Нормальные силы
- •2.3.2.2.1. Давление
- •2.3.2.2.3.Тензор напряжения поверхностной силы
- •3. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ
- •3.1. Тензоры
- •3.1.1. Правила действия над тензорами
- •3.2. Гидромеханический смысл некоторых операций векторного анализа
- •3.2.2. grad Р (градиент давления)
- •3.3. Символическое исчисление
- •3.3.1. Оператор Гамильтона
- •3.3.2. Правила символического исчисления
- •3.3.3. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.3.4. Оператор Лапласса (Лапласиан)
- •3.4. Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат
- •3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.6. Дифференциальные тензоры
- •3.7. Безвихревые и соленоидальные векторные поля
- •4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.1. Способы описания движения жидкости
- •4.2. Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)
- •4.3. Виды движения жидкости
- •4.3.1. Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы
- •4.4. Субстанциональное изменение количественного параметра конечной массы вещества
- •4.5. Интегральная запись законов сохранения материи, количества движения и момента количества движения
- •4.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения материи (уравнение сплошности или неразрывности)
ре), вращательного движения вокруг оси, проходящей через начальную точку, и деформационного движения, которое, в свою очередь состоит из осевой деформации и деформации сдвига.
Замечание:
1. Теорема Коши-Гельмгольца раскрывает физическое содержание введенного( ∙ ) нами тензора .
2. Тензор можно разложить множеством различных способов. При этом получатся какие-то другие варианты движения жидкой частицы. С математической точки зрения все они одинаково правомерны. Поэтому в теореме говорится «можно рассматривать», а не «следует рассматривать».
В курсе гидродинамики, однако, будем подразумевать категоричное утверждение «следует рассматривать».
4.3. Виды движения жидкости
Представим себе, что мы последовательно фотографируем поток жидкости в некоторой области в различные моменты времени.
Если после проявления фотографий будет обнаружено, что они ничем не отличаются одна от другой, то имеем установившееся движение. Т.о. в установившемся движении в любой момент времени в каждой точке пространства все параметры (такие как давление, скорость, температура, плотность и др.) движущейся жидкости остаются неизменными.
Если фотографии будут отличаться друг от друга, то имеем неустановившееся движение. При таком движении все параметры жидкости меняются не только от одной точ-
77
ки пространства к другой, но и в каждой точке с течением времени.
Замечание: установившееся движение – это предельный случай неустановившегося. Т.е. установившееся движение это такое движение, к которому придет неустановившееся движение если прекратить изменение внешних воздействий.
4.3.1. Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости
Рассмотрим математические аспекты изучения установившихся и неустановившихся движений.
Пусть нас интересует некоторый параметр φ, характеризующий элементарный объём жидкости ΔV (это может быть давление, температура, скорость и т.д.).
Подсчитаем изменение этого параметра за малый
промежуток времени |
t. |
|
|
В соответствии с общими правилами дифференци- |
|||
|
|
|
(4.11) |
ального исчисления можем записать равенство |
|
||
в котором символ D |
∆ = |
∆, |
|
|
употреблен вместо обычно применяе- |
мого знака дифференциала d, для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что производная относится к одной∆ и той же массе жидкости, заключенной внутри объёма .
Такая производная называется субстанциональной производной (от слова субстанция – вещество). Её еще называют либо полной производной, либо вещественной, либо эйлеровой.
Для установившегося и неустановившегося движения эта производная вычисляется различным образом.
78
Случай установившегося движения |
|
|
|||
Пусть за время |
частица жидкости переместится |
||||
вдоль своей траектории∆на элемент длины |
и попадет в |
||||
другую точку пространства, где параметр φ∆отличается |
от |
||||
исходного значения на величину |
∆ |
. |
|
|
|
Замечание: по |
|
|
|
|
|
|
определению при установившемся |
течении в каждой отдельно взятой точке ни один параметр не меняет своего значения с течением времени. Поэтому
приращение |
|
будем рассматривать просто как следствие |
|||||||||||
различных |
положений объёма |
|
|
|
в пространстве вне зави- |
||||||||
|
∆ |
|
|
движения. |
|
|
|||||||
симости от времени его |
|
|
∆ |
|
|
||||||||
|
|
Т.к. одна точка от другой, в рассматриваемом слу- |
|||||||||||
чае, отстоит на расстоянии |
∆ |
, то справедливо очевидное |
|||||||||||
равенство |
|
|
|
∆ = |
∆ |
|
|
|
|||||
|
|
Приравняв |
|
. |
|
(4.12) |
|||||||
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ → 0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
формулы (4.11) и (4.12), поделив на вре- |
|||||||
мя |
|
и перейдя к пределу при |
|
|
|
, получим искомую |
формулу для субстанционарной производной для установившегося движения:
где |
= lim∆ →0 |
= , |
(4.13) |
|
|
∆ |
– скорость движения частицы. |
||
|
∆ |
|
|
Случай неустановившегося движения
Рассмотрим формулу (4.12). Это равенство учитывает различие параметров потока в двух соседних точках пространства в один и тот же момент времени.
объём |
При неустановившемся движении за время |
|
, пока |
|
∆ перемещается из одной точки в |
∆ |
|
79
метр φ изменится в сравнении с тем его значением, которое он имел бы при установившемся движении.
|
|
Это дополнительное приращение может быть под- |
|||||||||||||||
считано по формуле |
′ |
|
|
φ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Приравняв |
|
|
|
|
|
|
|
∆. |
(4.14) |
||||||
|
|
|
∆φ = |
∆ + |
(4.15) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
φ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
параметра φ составит |
|
|||||||||
|
∆ |
Полное изменение∆ φ = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆ → 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
формулы (4.15) и (4.11), поделив на вре- |
||||||||||||
мя |
|
и перейдя к пределу при |
|
|
|
|
|
, получим искомую |
|||||||||
формулу для субстанционарной |
производной при неуста- |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
φ |
|
|
|
|
(4.16) |
||
новившемся режиме течения жидкости |
|
|
|||||||||||||||
где |
|
– называется |
|
= |
+ |
|
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
локальной (местной) производной, |
||||||||||||
|
и φ – называется конвективной производной, |
|
|||||||||||||||
|
= lim∆ →0 |
∆ |
– скорость движения частицы. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
∆ |
|
|||||||||||
|
|
Замечание: символически равенство (4.16) можно |
|||||||||||||||
записать |
|
|
|
… |
|
… |
|
|
… |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
знаком приращения, заменяют на- |
||||||||||
здесь точки, стоящие за = |
|
+ |
|
|
|
, |
|
|
|||||||||
писание рассматриваемого |
параметра |
и служат для общно- |
|||||||||||||||
сти рассуждений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Символ |
… представляет собой производную по на- |
||||||||||||||
правлению |
скорости движения частицы. Это направление, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при одномерной постановке задачи, всегда считается известным, поэтому и скорость движения частицы рассматривается как скалярная величина.
В условиях сложного пространственного движения (сплошной среды) жидкости данное представление о суб-
80