- •1.1. Предмет механики жидкости и её задачи
- •1.2. Математическое моделирование
- •2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
- •2.1. Начальные понятия, свойства жидкости
- •2.2. Гипотеза сплошности
- •2.2.1. Понятия: плотность, удельный вес, модуль упругости
- •2.3. Силы, действующие в жидкости
- •2.3.1. Объёмные (массовые) силы
- •2.3.2. Поверхностные силы
- •2.3.2.1. Касательные силы
- •2.3.2.2. Нормальные силы
- •2.3.2.2.1. Давление
- •2.3.2.2.3.Тензор напряжения поверхностной силы
- •3. ВЕКТОРЫ И ТЕНЗОРЫ В ГИДРОДИНАМИКЕ
- •3.1. Тензоры
- •3.1.1. Правила действия над тензорами
- •3.2. Гидромеханический смысл некоторых операций векторного анализа
- •3.2.2. grad Р (градиент давления)
- •3.3. Символическое исчисление
- •3.3.1. Оператор Гамильтона
- •3.3.2. Правила символического исчисления
- •3.3.3. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.3.4. Оператор Лапласса (Лапласиан)
- •3.4. Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат
- •3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
- •3.6. Дифференциальные тензоры
- •3.7. Безвихревые и соленоидальные векторные поля
- •4. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- •4.1. Способы описания движения жидкости
- •4.2. Кинематика жидкой частицы (движение жидкой частицы в общем виде)
- •4.3. Виды движения жидкости
- •4.3.1. Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости
- •4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы
- •4.4. Субстанциональное изменение количественного параметра конечной массы вещества
- •4.5. Интегральная запись законов сохранения материи, количества движения и момента количества движения
- •4.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения материи (уравнение сплошности или неразрывности)
станциональной производной необходимо расширить и обобщить.
4.3.2. Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости
Проведём формальные рассуждения.
В общем случае движения жидкости имеются переменные во времени, которые рассматриваются как параметры жидкости.
Изменение какого-либо параметра можно представить как следствие, вытекающее из рассмотрения его в смежной точке пространства и в смежный момент времени.
|
Поэтому полное приращение |
… |
определяется сум- |
|||||||
ного |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мой двух приращений: временнóго … и пространствен- |
||||||||||
|
Приращение во времени при фиксированных коор- |
|||||||||
|
|
… = |
… |
. |
|
|
|
|||
динатах определяется символическим равенством: |
|
|||||||||
|
Пространственное изменение скалярного или век- |
|||||||||
торного параметров на |
основании формул (3.37) и (3.44) в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
суммируя оба |
… = … = ( ) … |
|
|
|||||||
данный момент времени находится с помощью зависимости |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
приращения и деля на элемент времени , |
||||||||
в котором |
… |
= |
… |
+ ( ) …, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||
приходим к соотношению |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
81
есть скорость перехода от одной точки пространства к другой, т.е. скорость слежения за различными точками пространства.
Если объектом слежения выбрать какую-то частицу
жидкости, тогда скорость слежения |
|
совпадает со скоро- |
||
стью движения этой частицы |
, |
поскольку перенос взгляда |
||
|
|
|
||
из одной точки пространства |
в другую будет следовать за |
перемещением этой массы (частички) жидкости. В этом |
||||
случае производная |
… |
обращается в |
субстанционарную |
|
Замечание: |
… |
= … + ( ) … |
. |
(4.17) |
производную |
|
|
|
|
Субстанционарная производная есть понятие не только математическое, но и физическое. Оно связано с изучением изменения некоторого параметра во времени при движении одной и той же массы жидкости.
4.3.2.1. Ускорение жидкой частицы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим в качестве параметра скорость жидкой |
|||||||||
частицы . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Воспользуемся формулой (4.17) и в результате по- |
|||||||||
где |
|
– |
|
|
|
= |
|
= |
|
+ ( ) , |
|
нием; |
|
|
|
|
|
|
(4.18) |
||||
лучим векторную форму записи ускорения жидкой частицы. |
|||||||||||
|
|
|
|
называется субстанциональным (полным) ускоре- |
|||||||
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
– локальным ускорением; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
– конвекторным ускорением. |
|
82
Замечание:
1.Локальное ускорение определяется изменением вектора скорости в данной точке пространства.
2.Конвективное ускорение возникает вследствие того, что частица жидкости в процессе движения перемещается из данной точки в другую, в которой вектор скорости отличается от первоначального.
Из этого следует, что:
1.Если поле вектора однородно (т.е. вся жидкость перемещается поступательно как твердое тело), то конвективное ускорение равно нулю и все ускорение сводится к локальному ускорению, одинаковому во всех точках пространства, занятого движущейся жидкостью.
2.Если движение жидкости является установившимся (т.е. скорость жидкости в каждой точке не меняется
стечением времени), то локальное ускорение отсутствует, а имеется лишь конвективное.
Перейдем |
от векторной формы записи ускорения к |
||||||||
= |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
||
|
|
+ |
|
|
|||||
координатной. В результате с учетом (3.36) получим: |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
(4.19) |
|
= |
|
+ |
+ |
+ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Встречается и другая векторная запись ускорения. Перепишем (4.=19), заменив+ порядок+ сомножителей+ :
= + + +
83
= + + + .
Используя формулы произведения тензора на вектор (3.4) и (3.7) и выражение дифференциального тензора век-
торного поля (3.42) и (3.45), можно представить вектор ус- |
||||||||||
где |
|
|
|
|
= |
|
|
∙ , |
|
|
|
|
= |
|
+ |
(4.20) |
|||||
корения в следующей компактной форме: |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= ( ∙ ) |
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для исследования ( |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
изучения) |
вихревого движения |
выражение (4.20) для ускорения следует преобразовать,
вводя компоненты вихря. |
|
|
|
|
|
|
|
(4.21) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В соответствии с равенством (3.12) разложим тензор |
|||||||||||||||||
на симметричную и антисимметричную часть |
|
|
|
|
||||||||||||||
причем, как это следует из (4.8) |
= + . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
|
1 |
+ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||
= |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
, |
|||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
1 |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
84
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−2 |
− |
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
|
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− |
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
из выражения (3.34) следует, что: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тензор |
|
|
|
можем переписать в следующем |
|
|||||||||||||||||||||||||||
виде: |
= |
|
|
21 |
0 |
|
|
|
−21 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
(4.22) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
− |
21 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
21 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
, |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ра |
|
|
|
Умножим дифференциальный тензор |
|
поля векто- |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
на произвольный |
вектор |
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
∙ = + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Представим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(4.23) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
произведение |
|
|
|
|
|
в развернутом виде. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
В соответствии с (3.3) и (4.22) |
можем записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
|
|
= 0 ∙ |
|
− 2 |
|
|
|
+ 2 |
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ 1 |
+ 0 ∙ − |
+ |
(4.24) |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
+ −2 |
|
|
+ 2 |
|
+ 0 ∙ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
представим |
в другой |
форме. |
||||||||||||||||||
|
Этот же вектор |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
определим) |
|
векторное произведение |
||||||||||||||||||||||
Для этого запишем ( |
|
|
|
|
|
|
− |
∙ |
|
+ |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
× = |
∙ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
+( |
∙ |
− |
∙ ) + |
|
. |
|
|
|
(4.25) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+ |
∙ |
− |
∙ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Сравнивая выражения (4.24) |
и (4.25), убеждаемся в |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
× , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
справедливости тождества |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= + |
|
|
× . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
откуда прямо следует |
формула2 |
|
Гельмгольца |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.26) |
|
|
Рассмотрим произведение дифференциального тен- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
зора поля вектора |
|
на тот же вектор . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
вектора |
, например, на ось |
. |
|
виде одну из проекций |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Представим в развернутом |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
( |
∙ ) |
= |
|
|
+ |
+ |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
В соответствии с (3.46) с (3.33) получим: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
+ |
− |
|
+ |
|
− |
|
|
|
= |
|
86