- •1. Основные понятия
- •Основные определения
- •Событие, вероятность события (частота события)
- •2. Случайные величины и законы распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Моменты для непрерывных величин:
- •2.2. Законы распределения случайной величины
- •I f(X) c α β X X I) равномерный
- •2.3. Определение законов распределения случайных величин
- •3. Системы случайных величин
- •3.1. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •3.2. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин
- •Распределение Пуассона:
- •Л огнормальный закон распределения:
- •Нормальный закон распределения:
- •4.2. Распознавание в многомерном пространстве
- •Платежная матрица:
- •4.3. Параметрические методы распознавания
- •5. Функции случайных величин
- •Теорема сложения математических ожиданий
- •Теорема умножения математических ожиданий.
- •И вообще для некоррелированных случайных величин:
- •Для нескольких случайных величин:
- •6. Случайные функции
- •6.1. Законы распределения случайной величины
- •6.2. Корреляционная функция и ее свойства
- •Основные свойства корреляционной функции:
- •6.3. Пример случайной функции
- •Математическое ожидание случайной функции X(t) будет равно
- •Дисперсия случайной функции X(t) равна:
- •6.4.Cпектральные плотности
- •Введем понятие «плотность» дисперсии
- •На рис.6.2 показана спектральная плотность
- •Преобразование случайной функции линейной системой
- •Применение теории случайных функций к задачам анализа и синтеза
- •7. Прикладные задачи теории вероятности
- •7.1. Определение статистических характеристик
- •7.2. Нахождение функциональной зависимости
- •С оответственно:
- •7 .3. Линейная функция многих переменных Вводится новый набор переменных
- •Список литературы
- •Введение 3
5. Функции случайных величин
Если Х – дискретная случайная величина с рядом распределения
Табл.5.1.
-
Xi
X1
X2
………
Xn
Pi
P1
P2
………
Pn
а величина Y связана функциональной зависимостью , то математическое ожидание величины Y равно:
а дисперсия выражается формулой:
Если Х – непрерывная случайная величина с плотностью распределения f(x), то математическое ожидание величины Y равно:
.
а дисперсия выражается любой из формул:
.
Если с – не случайная величина, то M[c]=c ; D[c]=0.
Если с – не случайная величина, Х – случайная, то:
.
Теорема сложения математических ожиданий
Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M[X+Y]=M[X]+M[Y].
И более общая формула: .
М атематическое ожидание линейной функции нескольких случайных величин: ;
где – не случайные коэффициенты, равно той же линейной функции от их математических ожиданий:
;
где i = 1,2,…,n.
Теорема умножения математических ожиданий.
Математическое ожидание произведения двух случайных величин X,Y выражается формулой
где – корреляционный момент величин X,Y . В другом виде можно записать или имея в виду, что
Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин X,Y равно произведению их математических ожиданий: M[XY]=M[X] M[Y].
Д исперсия суммы двух случайных величин X,Y выражается формулой:
Дисперсия суммы двух некоррелированных случайных величин X,Y равно сумме их дисперсий D[X+Y]=D[X]+D[Y].
И вообще для некоррелированных случайных величин:
Дисперсия линейной функции нескольких случайных величин:
г де – не случайные величины, а величины
некоррелированны.
Для нескольких случайных величин:
Пример:
Имеются две случайные величины X,Y , связанные между собой соотношением Y=2-3X.
Числовые характеристики величины Х заданы: .
Найти:
1) Математическое ожидание и дисперсию величины Y ;
2) Корреляционный момент и коэффициент корреляции величин X,Y.
Тогда .
Что естественно, т.к. X и Y связаны между собой линейной зависимостью.