- •1. Основные понятия
- •Основные определения
- •Событие, вероятность события (частота события)
- •2. Случайные величины и законы распределения
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Моменты для непрерывных величин:
- •2.2. Законы распределения случайной величины
- •I f(X) c α β X X I) равномерный
- •2.3. Определение законов распределения случайных величин
- •3. Системы случайных величин
- •3.1. Числовые характеристики системы двух случайных величин
- •3.2. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин
- •Распределение Пуассона:
- •Л огнормальный закон распределения:
- •Нормальный закон распределения:
- •4.2. Распознавание в многомерном пространстве
- •Платежная матрица:
- •4.3. Параметрические методы распознавания
- •5. Функции случайных величин
- •Теорема сложения математических ожиданий
- •Теорема умножения математических ожиданий.
- •И вообще для некоррелированных случайных величин:
- •Для нескольких случайных величин:
- •6. Случайные функции
- •6.1. Законы распределения случайной величины
- •6.2. Корреляционная функция и ее свойства
- •Основные свойства корреляционной функции:
- •6.3. Пример случайной функции
- •Математическое ожидание случайной функции X(t) будет равно
- •Дисперсия случайной функции X(t) равна:
- •6.4.Cпектральные плотности
- •Введем понятие «плотность» дисперсии
- •На рис.6.2 показана спектральная плотность
- •Преобразование случайной функции линейной системой
- •Применение теории случайных функций к задачам анализа и синтеза
- •7. Прикладные задачи теории вероятности
- •7.1. Определение статистических характеристик
- •7.2. Нахождение функциональной зависимости
- •С оответственно:
- •7 .3. Линейная функция многих переменных Вводится новый набор переменных
- •Список литературы
- •Введение 3
Математическое ожидание случайной функции X(t) будет равно
.
Дисперсия случайной функции X(t) равна:
.
когда:
;
.
Плотность распределения - нормальный закон по условию и параметры:
или
6.4.Cпектральные плотности
Корреляционная функция является симметричной функцией (четной функцией)
Известно, что чётную функцию на интервале ( -Т , Т ) можно разложить в ряд Фурье, пользуясь только четными (косинусоидными гармониками):
; .
Тогда :
В соответствии со спектральной теорией стационарных случайных процессов можно рассматривать спектр .
Спектральное разложение на бесконечном участке времени.
На интервале ( -Т , Т ) спектр получается дискретным и линейчатым.
Если то и тогда расстояния , т.е. спектр получится непрерывным.
Введем понятие «плотность» дисперсии
;
.
На рис.6.2 показана спектральная плотность
По прежнему .
Используя ряд Фурье для получения конечного выражения в непрерывном ( ) варианте:
Нормированная (s-малое !).
Если перейти к комплексной форме ( ) преобразования Фурье для на интервале :
Эти формулы можно получить непосредственно, если выполнить:
).
По прежнему: .
Пример:
С уменьшением корреляционная функция стремится к «0» медленнее.
С уменьшением спектральная плотность вытягивается вверх (т.е. превалируют низкие частоты).
Пример:
;
.
Преобразование случайной функции линейной системой
При преобразовании стационарной случайной функции линейной системой её плотность умножается на квадрат модуля частотной характеристики.
Уравнение системы:
;
;
частотная характеристика;
.
Рассмотрим подробно задачу:
Известно:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
Для дисперсии:
Применение теории случайных функций к задачам анализа и синтеза
Анализ – определить
Синтез – min
Пример:
1)
2) ;
3) ;
4 ) ;
5)
Этот результат более подробно получаем следующим образом:
Находим частотную характеристику и ее модуль:
С пектральная плотность:
8)
После подробного интегрирования получим следующий результат: