В общем случае линейное разностное уравнение имеет вид:

(4.6)

Для того, чтобы при помощи этой формулы вычислить , необходимо запомнить предыдущие значения выхода

57

и входа , а затем выполнить указанные действия умножения и сложения.

4.2 Методы математического описания

дискретных систем

Дискретные системы, также как и непрерывные системы, имеют три формы математического описания во временной области в виде:

-разностных уравнений входа-выхода, являющихся аналоговым дифференциальным уравнением;

-взвешенной временной последовательности, являющейся аналогом описания непрерывных систем при помощи импульсной переходной функции;

-разностных уравнений в переменных состояниях, являющихся аналогом описания дифференциальных уравнений в переменных состояниях для непрерывных систем.

1) Разностные уравнения вход-выход.

Понятие разностного уравнения введено ранее (см. уравнение (4.6)). При этом его приводят к виду:

(4.7)

Число y(k) характеризует выход в момент (шаг дискретности обычно опускают). Числа y(к-1), y(к-2) характеризуют вход в дискретные моменты к, к-1,…и так далее (они также хранятся в памяти). Уравнение (1.7) называют рекурсивным, или разностным, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным.

58

2) Описание линейной системы при помощи взвешенной временной последовательности.

Для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, очень важным и удобным является понятие импульсной переходной функции (ИПФ).

ИПФ для непрерывной системы определяют как её реакцию на дельта-функцию. Она имеет вид некоторой непрерывной функции.

В дискретных системах в случае входного воздействия в виде дельта-функции получается последовательность чисел, а не непрерывная функция времени. Рассмотрим систему, описываемую разностным уравнением (4.7), находившуюся в состоянии покоя до момента приложения входного воздействия, то есть y(k)=0 при k = -1, -2; …

Пусть:

(4.8)

где - дельта-последовательность.

Положив в уравнении (4.7) и обозначив получающуюся реакцию через h(k), можно записать:

(4.9)

Взвешенную временную последовательность h(k) называют весовой.

Вычисление h(k) по уравнению (4.9) проведём следующим образом. Полагая, что h(k) = 0, k < 0, получим:

(4.10)

59

Рассмотрим теперь общий случай, когда входная функция представляет собой сумму -последовательностей, приложенных в моменты k=0, 1, 2, …, то-есть:

или

(4.11)

Тогда на основании принципа суперпозиции регулируемая переменная системы будет равна сумме реакций, вызванных сигналами: u(0), u(1),…,u(k):

или

(4.12)

Таким образом, если на вход системы, находящейся в покое, подана временная последовательность чисел – u(0), u(1),…, то временная последовательность на выходе:

. (4.13)

После замены переменной m = k-j

(4.14)

Выражения (1.13) и (1.14) являются аналогами интеграла свёртки для непрерывных систем.

3).Описание линейной системы при помощи разностных уравнений в переменных системах.

Аналогично тому, как при описании непрерывных систем используются дифференциальные уравнения 1-го порядка

60

переменных состояния, для дискретных систем используются разностные уравнения 1-го порядка:

(4.15)

или, учитывая, что

(4.16)

Здесь Ad(k), Bd(k), Сd(k) –матрицы размерности соответственно.

Структурная схема дискретной системы, описываемой уравнениям (4.16), приведена на рис. 4. 3.

61

4.3 Прохождение непрерывного сигнала через

цифровое вычислительное устройство

В контур управления дискретных САР и САУ часто входит микропроцессорное устройство (МПУ). Схема, имитирующая прохождение сигнала через МПУ, изображена на рис. 4.4.

а) – с преобразователями АЦП и ЦАП;

б) – динамическая эквивалентная схема.

Рис. 4.4

Схема включает ключ Кл (или импульсный элемент), преобразующий непрерывный сигнал в аналоговый дискретный; АЦП, МПУ, ЦАП и экстраполятор – Э. Следует различать аналоговый дискретный сигнал на выходе Кл от дискретного. Первый может принимать любые значения в заданном амплитудном диапазоне, в то время как амплитуда дискретного сигнала ограничена разрядностью МПУ.

Экстраполятор Э приводит сигнал к аналоговому непрерывному виду .влияние на динамику имеют лишь три из перечисленных элементов: ключ, МПУ, экстраполятор, а АЦП и ЦАП не влияют на математическое описание системы, поэтому схему можно представить в упрощенной форме (рис. 4.4 б).

62

Далее предполагают справедливыми следующие ограничения:

1).шаг дискретизации ;

2).запаздыванием при вычислениях в МПУ можно пренебречь;

3).МПУ выполняет любую линейную операцию (дифференцирование, интегрирование, упреждение, запаздывание, решение дифференциальных и интегральных уравнений и т.д.).

4).МПУ работает в реальном масштабе времени;

5)МПУ может использовать настоящую и прошлую информацию, но не будущую (принцип физической осуществимости).

Система, содержащая МПУ, квантует сигнал и по уровню, и по времени. Квантование по уровню создаёт на выходе ошибку (шум квантования).второго порядка малости по сравнению с эффектом квантования по времени, поэтому при рассмотрении динамики системы в первом приближении можно пренебречь шумом квантования. Квантование по времени означает дискретизацию, замену непрерывной функции последовательностью импульсов (рис. 4.5).

а) – квантование по времени;

б).- частный спектр непрерывного сигнала.

Рис. 4.5

63

Вообще говоря, такая замена может привести к потере информации. Условие, когда при квантовании по времени информация не теряется, то-есть, когда по дискретным данным можно восстановить исходную кривую, определяется из теоремы отсчетов (теоремы Котельникова). Если сигнал x(t) обладает конечным спектром, то информация не будет потеряна при выполнении условия.

, (4.17)

где -ширена спектра.

Рассмотрим, как трансформируется сигнал при прохождении через каждый элемент схемы рисунок 4. Предполагаем, что ключ Кл включается и выключается мгновенно, генерируя числовую последовательность:

подаваемую на вход АЦП.

Итак, на выходе ключа Кл имеем:

, (4.18)

Пусть тогда:

(4.19)

Сигнал g*(t), определяемый формулой (4.19), поступает на вход МПУ и преобразуется в другую цифровую последовательность, определяемую разностным уравнением:

(4.20)

Выходной сигнал с МПУ подаётся на вход преобразователя ЦАП, чтобы преобразовать цифровую

64

64

последовательность в непрерывный сигнал Обычно желательно, чтобы сигнал представлял собой

огибающую для временной последовательности , то- есть, в интервале преобразователь ЦАП должен экстраполировать значение амплитуды входного сигнала в момент на интервале вперёд.

Устройства, выполняющие эту функцию, называются экстраполяторами.

Экстраполятор m-ного порядка определяют как экстраполятор, выход которого в данный момент зависит от m+1прошлых дискретных значений на его входе. Обычно используют полиномиальную экстраполяцию:

(4.21)

Через каждый интервал коэффициенты необходимо в общем случае вычислять заново.

Самым простым является экстраполятор, реализующий полином нулевого порядка (m=0), то-есть

при

Выход такого экстраполятора представляет собой кусочно-постоянную функцию (рис. 4. 6).

6 5

Рис. 4.7

Экстраполятор 1-го порядка (рис. 4.7) описывают полиномом 1-го порядка.

(4.22)

< ,

причём:

.

4.4 Z – преобразование.

При анализе дискретной системы необходимо решение разностных уравнений, устанавливающих связь между её входом и выходом. Z – преобразование сводит это решение к алгебраическим операциям. Преобразование Лапласа превращает непрерывные функции времени t в функции комплексного переменного S, а Z – преобразование – функции дискретного времени (последовательность чисел ) в функции комплексной переменной , .

Z – преобразование позволяет ввести понятие Z – передаточной функции, имеющей аналогию с обычной передаточной функцией для непрерывных си

66

Опуская для простоты интервал дискретизации , запишем последовательность чисел в виде:

,

где k – аргумент, указывающий на порядок следования чисел. Если последовательность f(k) определена только для положительных значений k, то одностороннее Z – преобразование для f(k) определяют при помощи соотношения:

(4.23)

Если функция f(k) определена как для положительных, так и для отрицательных целых чисел, то двухстороннее Z – преобразование для f(k) даётся формулой:

(4.24)

Обратное Z – преобразование определяют формулой:

, (4.25)

где Г – некоторый замкнутый контур в плоскости z.

Степенной ряд в (4.23) сходится за пределами круга: , то-есть для всех >R, где радиус:

. (4.26)

Например, пусть , что соответствует выходному сигналу для простейшей ДЛС первого порядка (рис. 4.8), описываемой разностным уравнением:

.

Входной сигнал x(n) представим в виде единичного импульса:

.

67

Временные диаграммы для y(n) при 0 < а < 1 приведены на рис. 4. 9.

Рис. 4.8

Рис. 4.9

Последовательность имеет Z – преобразование при

68

Если а>1, то y(n) неограниченно возрастает, что соответствует неустойчивости системы.

Рассмотрим в качестве примера Z – преобразование некоторых последовательностей.

1). Единичный импульс (рис. 4. 10).

(4.27)

Рис. 4.10

Используя фильтрующее свойство - функции, находим:

(4.28)

При , .

2). Дискретная функция единичного скачка:

,

или

. (4.29)

69

Z – преобразование равно сумме членов геометрической прогрессии:

. (4.30)

116

3). ;

Z – преобразование равно:

(4.31)