4.5 Некоторые свойства z-преобразования
Z – преобразование обладает рядом свойств, позволяющих анализировать особенности ДЛС. Приведем лишь теоремы о начальном и конечном значениях.
Теорема о начальном значении
Предположим, что задано Z – преобразование F(Z) и требуется определить начальные значения f(0) последовательности.
По определению
(4.32)
Этот ряд сходится при всех , поэтому при всех
Теорема о конечном значении
70
Ограничим последовательность f (кг ), положив К = N, где N – достаточно большое число. Образуем функцию f(kr-r), запаздывающую относительно f (кr ) на r . Если
, (4.33)
то Z – преобразование для fn (кг) будет
(4.34)
Найдем разность FN (Z) и FN-1(Z) при Z = 1;
2
Пусть , тогда
(4.35)
Формула (1.35) устанавливает связь между Z - преобразованием и конечным значением функции.
4.6 Z-передаточная функция дискретной системы
Вначале - некоторые исходные понятия и соотношения.
Вспомним разностные уравнения вход-выход в виде:
(4.36)
71
Число y(k)характеризует выход в момент кr (шаг дискретизации r обычно опускают). Числа y(k-1), y(k-2)
характеризуют предыдущее значение выхода, запоминаемые в памяти ЭВМ.
Аналогично числа и U(k), и U(k-1)характеризуют вход в дискретные моменты k, k-1, … и т.д., они также хранятся в памяти машины. Уравнение (4.36) называют рекурсивным или разностным, позволяющим вычислить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным. Положим в (4.36)
, (4.37)
где
- дельта – последовательность Кронекера
( - импульс – одиночный). Подставляя (6) в (5), получим реакцию системы, которую обозначим через K(k):
(4.38)
Взвешенную временную последовательность (1.38) называют весовой (рис. 4. 11)
3
Рис. 4. 11
72
Если импульс воздействует на вход не при k = 0, а в произвольный момент (в j – той позиции ), то реакция системы
в k – той позиции будет (для k ≥ j )
, (4.39)
где - коэффициент для входного воздействия
В общем случае, когда входная последовательность представляет сумму (поток) дельта последовательностей, приложенных в моменты k= 0, 1, 2, …, то-есть,
временную последовательность на основании принципа суперпозиции на выходе можно определить как
(4.40)
или, после замены переменных m = k – j
(4.41)
Выражение (4.41) – аналог интеграла свертки для непрерывных систем. Воспользуемся (4.9) в самом общем виде: , (4.42)
где К(k) – взвешенная временная последовательность,
g(m) – дискретизированный входной сигнал.
Взяв Z – преобразование от (1.42), получим
73
;
или (для правой части(4.11)):
(4.43)
Сделав замену переменных n = k – m в (1.43), найдем
(4.44)
о
(1.45)
W(Z) называют Z – передаточной функцией дискретной системы. Через Y(Z) и G(Z) обозначены Z–преобразования последовательностей y(nr) и g(nr), то-есть, выходной и входной последовательностей.
Пример Z – передаточной функции. Пусть необходимо определить W(Z), соответствующую s – передаточной фунции:
(4.46)
Посмотрим вначале – какой непрерывной системе соответствует s - передаточная функция (1.46). Взяв обратное преобразование Лапласа от W(s), получим
(4.47)
где K(t) – импульсная переходная функция, или функция веса, то-есть, реакция системы на единичный - импульс (t). Далее
74
от (4.47) перейдем к дискретной весовой временной последовательности согласно правилу:
(4.48)
то – есть,
(4.49)
Z – преобразование этой последовательности и будет представлять Z - передаточную функцию, соответствующую s – передаточной функции непрерывной системы (4.46):
, (4.50)
Описанный здесь способ получения Z – преобразования по s – преобразованию Лапласа позволяет осуществлять синтез дискретных систем по известным характеристикам исходных аналоговых систем.
Синтез дискретных систем
Рассмотрим простейший пример синтеза корректирующих звеньев САР в виде RC – цепочки, которая получила название «интегрирующей RC- цепи» (или фильтр нижних частот).
Интегрирующая RC – цепочка (рисунок 12) описывается дифференциальным уравнением, которое является частным случаем дифференциального уравнения для так называемого инерционного звена:
75
.
.
Рис. 4.12
(4.51)
где x0 (t) – входное воздействие,
X (t) – выходное воздействие
а - называется коэффициентом усиления,
T– постоянная времени , (T > 0).
Для определения переходной функции h (t) подадим на вход звена единичную функцию:
(1.52) 0,
k ≠ 0
(4.52)
при этом считается, что до момента t = 0 звено находилось в покое, то-есть х0 = 0 для t < 0. Начальное условие принимается x (0) = 0, ибо при скачкообразном изменении x величина ,
получила бы бесконечное значение и уравнение (4.51) было бы нарушено.Решение ( 4.51) при указанных условиях имеет вид
(рис. 4.13:
(4.53)
76
На рис. 4.13 прямая ОМ – касательная к h(t) в точке t = 0, она пересекает асимптоту h(∞) в точке М, имеющей абсциссу Т.
Теперь для интегрирующей RC-цепочки вместо (4.51) запишем:
(4.54) Уравнение в операторной форме, соответствующее (4.51), будет:
(4.55)
Отсюда для передаточной функции интегрирующей RC –цепи при a =1 получим :
, (4.56)
Импульсная переходная функция из (22):
( 4.57)
Z - передаточная функция, соответствующая импульсной переходной функции (4.57), будет:
(4.58)
Разностное уравнение
77
(4.59)
Для построения схемы (1.58) удобнее представить в виде:
(4.60)
Дискретная система, соответствующая (4.60), может быть представлена схемой
r/T
y(n)
х(n)
Рис. 4. 14
В схеме рис. 4.14 элемент является элементом задержки на время r.
4.8 Простейшие дискретные линейные системы
и цифровые фильтры
.
Определение. ДЛС называется рекурсивной, если для получения последующего значения выходного сигнала используются предыдущие значения выходного сигнала. В противном случае система считается нерекурсивной.
Системы первого порядка
78
Рекурсивный фильтр.
Разностное уравнение:
(4.61)
Слагаемое определяет порядок фильтра (максимальную задержку).
Схема фильтра, соответствующая (4.61), приведена на рис. 4.15.
Рис. 4. 15
Z-передаточная функция, соответствующая (4.61):
(4.62)
К омплексный коэффициент передачи аналогового прототипа системы H(j) получается путем подстановки в (4.62) значения
Получим:
(4.63)
AЧХ фильтра:
79
(4.64)
Положим : тогда весовая функция
, (4.65)
а для АЧХ из (4.64) получим:
(4.66)
АЧХ фильтра для различных значений коэффициента а1 приведены на рис. 4. 16. Рассмотрим некоторые частные случаи.
1). а1=1. Фильтр неустойчив: на границах ( при значениях частот t=0, 2, …) АЧХ обращается в бесконечность.
2). а1 =0,99. Фильтр устойчив, так как АЧХ не обращается в бесконечность ни при каких частотах. Теоретически на избирательные свойства фильтра ограничений нет, однако для реализации высокой избирательности коэффициент а1 должен приближаться к единице. Это влечет за собой усложнение вычислителя для работы с числами большой разрядности.
80
Дифференцирующая RC-цепь
Рис. 4.16
3). . Система тоже обладает избирательными свойствами, но на частоте .
При а > 0 характеристика цифрового фильтра приближается к характеристике интегрирующей RC – цепи в области нижних частот, а при а 0 характеристика фильтра напоминает поведение дифференцирующей RC-цепи.