- •Раскрытие неопределенностей в теории пределов
- •Введение
- •1. Понятие, определние и свойства предела функции
- •2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3. Первый замечательный предел
- •4. Второй замечательный предел
- •5. Раскрытие неопределенностей вида
- •6. Раскрытие неопределенностей вида
- •7. Раскрытие неопределенности вида
- •8. Раскрытие неопределенности вида
- •9. Раскрытие неопределенности вида
- •10. Применение бесконечно малых к раскрытию неопределенностей
- •11. Раскрытие неопределЕнностей по правилу лопиталя
- •12. Некоторые специфические методы Раскрытия неопределЕнностей вида
- •Применение рядов к раскрытию неопределенностей
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Раскрытие неопределенностей в теории пределов
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение. Функция называется бесконечно малой при , если ее предел в этой точке равен нулю, т.е.
. (3)
Аналогично определяются бесконечно малые функции при .
Из свойств пределов [1, 2, 4] следует, что сумма, разность и произведение двух бесконечно малых функций есть функция бесконечно малая. Об отношении двух бесконечно малых функций такого общего заключения сказать нельзя.
Отношение двух бесконечно малых функций в зависимости от характера функций в числителе и знаменателе может оказаться равным либо конечному числу, либо бесконечно малой или бесконечно большой функции.
В этом случае говорят о "неопределенном выражении" или "неопределенности" типа (вида) (символическая запись отношения двух бесконечно малых функций). Вычисление таких пределов называется "раскрытием неопределенностей".
Пример
Найти .
Решение
Непосредственная подстановка предельного значения в функцию приводит к неопределенности вида . Чтобы вычислить этот предел, т.е. раскрыть полученную неопределенность, выполним преобразование:
разложим выражение, стоящее в числителе, на простые множители.
Тогда получим
=
Сокращение дроби на законно, т.к. условие предполагает (мы сокращаем, т.е. делим числитель и знаменатель не на ноль, а на бесконечно малую величину).
Определение. Функция, обратная бесконечно малой, называется бесконечно большой при , т.е. если – бесконечно малая, то – бесконечно большая функция.
(4) (аналогично при или при , или ).
Это означает, что по мере стремления к значения функция неограниченно возрастают и могут по модулю превзойти любое положительное число N, как бы велико оно ни было. Предел бесконечно большой функции равен бесконечности.
Примером бесконечно больших функций могут служить функции:
;
при , так как .
Из теорем о пределах [1, 2, 4] следует, что сумма (но не разность!) и произведение (но не частное!) двух бесконечно больших функций есть функция бесконечно большая.
О разности и отношении двух бесконечно больших функций никакого общего заключения сделать нельзя.
В зависимости от характера изменения бесконечно больших функций их отношение или разность может оказаться либо числом, либо бесконечно малой, либо бесконечно большой величиной. В этих случаях говорят о "неопределенных выражениях" или "неопределенностях" вида или вида .
Замечание. Из определения бесконечно большой функции следует, что функция, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая, т.е., если
, то . (5)
Существуют и другие выражения, дающие "неопределенные выражения" (неопределенности) таких типов, как , , , читаются соответственно: «один в степени бесконечности», «ноль в степени бесконечности», «ноль в степени ноль», «бесконечность в степени ноль»).
Неопределенности указанных типов могут быть получены от пределов следующих выражений:
1. Если и , то
2. Если и , то .
3. Если и , то .
4. Если и , то .
Замечание. Во всех рассмотренных пределах и в дальнейшем предельное значение аргумента может быть любым, т.е. , . Сводя воедино все типы рассмотренных неопределенностей, их можно представить так:
Для раскрытия неопределенностей часто применяют так называемые "замечательные пределы" [1, 4, 6].