- •Раскрытие неопределенностей в теории пределов
- •Введение
- •1. Понятие, определние и свойства предела функции
- •2. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •3. Первый замечательный предел
- •4. Второй замечательный предел
- •5. Раскрытие неопределенностей вида
- •6. Раскрытие неопределенностей вида
- •7. Раскрытие неопределенности вида
- •8. Раскрытие неопределенности вида
- •9. Раскрытие неопределенности вида
- •10. Применение бесконечно малых к раскрытию неопределенностей
- •11. Раскрытие неопределЕнностей по правилу лопиталя
- •12. Некоторые специфические методы Раскрытия неопределЕнностей вида
- •Применение рядов к раскрытию неопределенностей
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Раскрытие неопределенностей в теории пределов
- •394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
11. Раскрытие неопределЕнностей по правилу лопиталя
Введение понятия производной и операции дифференцирования дает мощный аппарат для вычисления пределов. Приведенная ниже теорема, известная под названием «правило Лопиталя», является основным методом для раскрытия неопределенностей при помощи производной.
Правило Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки и выполняется условие:
,
( ).
Тогда если существует предел отношения при , то существует и предел отношения самих функций при , то есть
. ( 23)
Иными словами, для неопределенностей вида или предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный или бесконечный).
В равенстве (23) может быть либо числом, либо , или .
Пример
Вычислить .
Решение
Подстановка в заданную функцию предельного значения приводит к неопределенности вида .
Применим правило Лопиталя :
Замечание. Если предел отношения производных опять представляет собой неопределенность вида или , то можно применить правило Лопиталя снова. Таким образом, правило Лопиталя можно применять неоднократно.
Пример
Найти .
Исходное выражение и отношения первых производных от числителя и знаменателя при дают неопределенность вида , поэтому можем применить правило Лопиталя дважды:
Замечание. Для удобства будем записывать в одну цепочку равенств повторные применения правила Лопиталя, а после каждого применения в скобках указывать вид полученной неопределенности.
Пример
.
Замечание. Следует однако предусмотреть такую ситуацию, когда предел отношения самих функций может существовать, в то время как предел отношения производных равен либо , либо не существует.
Примеры
1. Найти .
Имеем .
В то время как предел отношения их производных не существует.
2. Найти
Имеем
И в этом случае предел отношения производных
тоже не существует.
В этих примерах применили метод непосредственного вычисления предела, поделив числитель и знаменатель на х, а , как отношение ограниченных функций и и бесконечно большой .
Но предел вида: не существует, так как при числитель и знаменатель дроби могут принимать любые значения из отрезка [0,2] (здесь значение дроби будет равно двум, например, при , а при оно равно нулю), а само отношение производных принимает любые неотрицательные значения. Следовательно, правило Лопиталя в этом случае неприменимо.
12. Некоторые специфические методы Раскрытия неопределЕнностей вида
Под раскрытием таких неопределенностей понимают нахождение следующих пределов:
1. Неопределенность .
Нахождение предела , если , .
Неопределенность .
Нахождение предела , если , .
Неопределенность Нахождение предела , если , .
Неопределенность .
Нахождение предела , если , .
Неопределенность .
Нахождение предела , если , .
Неопределенность .
Нахождение предела , если , .
Неопределенность вида может быть сведена к одному из ранее рассмотренных видов или (классические виды) при помощи тождественных преобразований: или , т.е. один из множителей опускаем в знаменатель знаменателя.
Пример
Вычислить .
Решение
Имеем неопределенность вида .
.
Неопределенность вида может быть сведена к виду или классическим видам путем тождественных преобразований :
. (24)
Здесь последовательно выносят за скобку общие множители – сначала , а затем , то есть ,
или , которые тоже можно использовать для вычисления пределов.
Пример
Вычислить .
Решение
Преобразуем функцию
.
Имеем .
Продолжая преобразования, получаем
.
Замечание. Очень часто при раскрытии неопределенностей сложность решения зависит от способа преобразования данной функции.
Пример
Вычислить
Решение
, ,
поэтому .
Неопределенности вида .
Вычисление предела функции в этих случаях можно свести к раскрытию неопределенностей вида при помощи следующего преобразования:
. (25)
И тогда, в силу непрерывности показательной функции, будем иметь:
. (26)
Примеры
Вычислить .
Решение
Преобразуем данную функцию по формуле (26):
.
В показателе от неопределенности вида перешли к неопределенности вида . Теперь можем применить правило Лопиталя: .
Здесь вычисляем предел справа, так как при отрицательных не определен.
Вычислить .
Решение
Имеем неопределенность вида , т.к. .
Преобразуем этот предел по формуле (26):
.
Сделаем замену переменной, положив . При , .
Теперь имеем
.
Окончательно .
Вычислить .
Решение
Имеем неопределенность вида .
Преобразуем по формуле (26):
.
Все указанные виды неопределенности могут быть раскрыты другим способом, который заключается в предварительном логарифмировании функции вида и нахождении предела этого логарифма.
Пусть , где а – искомый предел.
Прологарифмируем обе части (применяем натуральный логарифм):
.
Таким образом, получаем логарифм предела: .
Следовательно, .
Вычислить .
Решение
Это неопределенность вида .
Обозначим искомый предел через а:
; ,
следовательно, , .
Вычислить ;
Решение
Имеем неопределенность вида .
Пусть .
Тогда
= .
Следовательно, ; .