- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •3. Определение общего, частного и особого решения
- •4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения. Метод изоклин
- •5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •6. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Пример 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
- •7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним
- •Решение. Запишем уравнение в виде
- •Откуда, разделяя переменные
- •И, интегрируя, находим
- •Уравнение примет вид
- •Разделяем переменные, тогда
- •Интегрируя
- •8. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Решение уравнения (8.1) находят в виде
- •Откуда, выполняя замену и интегрируя по частям, находим
- •Следовательно, общим решением будет функция
- •9. Уравнения Бернулли и Риккати
- •10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •11. Интегрирующий множитель
- •12.Уравнения, неразрешенные относительно производной
- •Отыскание решений уравнений вида
- •1. Пусть уравнение (12.1) удается разрешить относительно производной, тогда (12.1) распадается на уравнения вида
- •13. Уравнения Лагранжа и Клеро
- •14. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
- •Интегрируя его в пределах от до тождество
- •Таким образом, удовлетворяет интегральному уравнению при
- •4.Краснов м.Л. Обыкновенные ифференциальные
- •Часть 2. «Специальные разделы математического анализа» (под редакцией а.В. Ефимова, б.П. Демидовича). М., Наука,
- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений …………………………………………………….4
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Пример 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение. Введем обозначение . Тогда и исходное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными
Интегрируя с помощью замены
и выделяя целую часть в левой части равенства
,
получаем
.
Возвращаясь к начальным переменным, получаем общий интеграл уравнения в виде
.
7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним
Функция называется однородной функцией n-го порядка относительно переменных х и у, если при любом l справедливо тождество
.
Например, функция есть однородная функция второго порядка, так как
.
1.Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Если однородная функция нулевого порядка, то, по определению
Положив , получим , т.е. однородная функция нулевого порядка зависит только от отношения . Поэтому сделаем подстановку . Дифференцирование последнего равенства дает:
.
Подставляя производную в уравнение, получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
, .
Интегрируя, находим
Возвращаясь после интегрирования к исходной функции , получим общий интеграл уравнения.
Однородное дифференциальное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
.
В этом случае функции и должны быть однородными функциями одинакового порядка. Дифференциальное уравнение переписывается в виде
,
где правая часть является однородной функцией нулевого порядка однородности.
Иными словами, дифференциальное уравнение первого порядка является однородным, если его можно привести к виду:
или ,
где и – однородные функции одного порядка.
Пример 1. Найти общий интеграл уравнения
. .
Решение. Данное уравнение является однородным, так как функции и - однородные функции второго порядка.
Положим . Тогда . Подставляем в исходное уравнение:
, ,
.
Разделяем
.
Обозначим . Тогда .
Заменяя на , получаем: - общий интеграл исходного уравнения. Особых решений нет.
Пример 2. Решить уравнение
.