- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений
- •3. Определение общего, частного и особого решения
- •4. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения. Метод изоклин
- •5. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •6. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Пример 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
- •7. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения, приводящиеся к ним
- •Решение. Запишем уравнение в виде
- •Откуда, разделяя переменные
- •И, интегрируя, находим
- •Уравнение примет вид
- •Разделяем переменные, тогда
- •Интегрируя
- •8. Линейные уравнения и уравнения, приводящиеся к ним
- •Решение уравнения (8.1) находят в виде
- •Откуда, выполняя замену и интегрируя по частям, находим
- •Следовательно, общим решением будет функция
- •9. Уравнения Бернулли и Риккати
- •10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
- •11. Интегрирующий множитель
- •12.Уравнения, неразрешенные относительно производной
- •Отыскание решений уравнений вида
- •1. Пусть уравнение (12.1) удается разрешить относительно производной, тогда (12.1) распадается на уравнения вида
- •13. Уравнения Лагранжа и Клеро
- •14. Теорема существования и единственности решения задачи Коши
- •Интегрируя его в пределах от до тождество
- •Таким образом, удовлетворяет интегральному уравнению при
- •4.Краснов м.Л. Обыкновенные ифференциальные
- •Часть 2. «Специальные разделы математического анализа» (под редакцией а.В. Ефимова, б.П. Демидовича). М., Наука,
- •1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений …………………………………………………….4
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
10. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
Дифференциальное уравнение
, (10.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,у) в односвязной области, т.е. если существует такая функция U(x,у), что
=
В таком случае уравнение (10.1) можно переписать в виде , тогда его общее решение определяется равенством
.
Теорема. Пусть функции непрерывны вместе со своими частными производными . Для того, чтобы уравнение (10.1) было уравнением в полных дифференциалах необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
(10.2)
Необходимость. Если (1) является уравнением в полных дифференциалах, то
(10.3)
Тогда
В силу непрерывности частных производных вторые смешанные производные здесь равны, откуда и следует (10.2).
Достаточность. Покажем теперь, что если условие (10.2) выполнено, то уравнение (10.1) является уравнением в полных дифференциалах. Найдем функцию U(x,у) из одного из равенств
Например, интегрируя первое из них по х, определим функцию U(x,y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции, зависящей от у
(10.4)
Здесь с(у) - произвольная функция .Теперь определим с(у) таким образом, чтобы U(x,у) удовлетворяла и второму из равенств. Дифференцируя (10.4) по у с учетом второго из равенств (2), получаем уравнение для определения функции с(у):
Можно для определения функции U(x,у) использовать формулу, доказываемую в курсе математического анализа
.
При этом в последней формуле нижние пределы интегралов и произвольны; их выбор ограничен единственным условием – интегралы в правой части этой формулы должны иметь смысл (т.е. не быть расходящимися несобственными интегралами второго рода).
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Имеем
=
Итак,
.
Условие теоремы (2) выполнено.
Далее, находим функцию U(x,у)
так что или
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах
,
т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах
Следовательно,
,
.
Таким образом, общий интеграл данного дифференциального уравнения имеет вид
.
Пример 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение. Проверим является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах
Найдем теперь вторую производную
Следовательно, уравнение является уравнением в полных дифференциалах, поэтому интегрируя Р(х,у) по переменной х с точностью до произвольной функции получим
= .
Определим теперь :
Поэтому таким образом, окончательно, получаем общий интеграл уравнения
При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.
Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
(10.5)
Решение. Здесь , , следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Но это уравнение легко привести к виду du = 0 непосредственной группировкой его членов. С этой целью перепишем его так:
Здесь ,
Поэтому уравнение (10.5) можно записать в виде
или
Следовательно,
есть общий интеграл уравнения (10.5).