- •Математические методы исследования операций в экономике
- •Математические методы исследования операций в экономике
- •Введение
- •Глава 1. Задачи линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •2. Графический метод решения злп
- •3. Симплекс – метод решения злп
- •4. Двойственные злп
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Теория игр
- •1. Основные понятия теории игр
- •Принцип доминирования
- •2. Задачи теории игр и линейное программирование
- •3. Игры с природой
- •Применение матричных игр в прикладных задачах
- •Переговоры о заключении контракта между профсоюзом и администрацией
- •Локальный конфликт
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 3. Теория массового обслуживания
- •Основные понятия
- •Смо с отказами
- •Смо с неограниченным ожиданием
- •Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
- •5. Расчёт характеристик замкнутой смо с ожиданием.
- •Вероятность того, что занято обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы:
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 4. Сетевое планирование
- •1. Сетевой график
- •Оптимизация пути на сети
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
Заявка, поступившая в систему с ожиданием с ограниченной длиной очереди и нашедшая все каналы и ограниченную очередь занятыми, покидает систему не обслуженной.
Основной характеристикой качества системы является отказ заявке в обслуживании.
Ограничения на длину очереди могут быть из-за:
1) ограничения сверху времени пребывания заявки в очереди;
2) ограничение сверху длины очереди;
3) ограничения общего времени пребывания заявки в системе.
Формулы для установившегося режима
1. Вероятность простоя каналов обслуживания, когда нет заявок ( ) :
-
предельное число заявок в очереди.
Вероятность отказа в обслуживании:
3. Вероятность обслуживания:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число занятых каналов:
Среднее число заявок в очереди:
Среднее время ожидания обслуживания:
.
Среднее число заявок в системе:
.
Среднее время пребывания в системе:
Примеры.
СМО с отказами.
В ОТК цеха работают 3 контролера. Если деталь поступает в ОТК, когда все контролеры заняты обслуживанием ранее поступивших деталей, то она проходит непроверенной. Среднее число деталей, поступающих в ОТК в течение часа, равно 24,среднее время которое затрачивает один контролер на обслуживание одной детали, равно 5 мин. Определить вероятность того, что деталь пройдет ОТК не обслуженной, насколько загружены контролеры и сколько их необходимо поставить, чтобы заданное значение ).
Решение. По условию задачи интенсивность потока заявок тогда интенсивность потока обслуживания интенсивность нагрузки
Вероятность простоя каналов обслуживания:
Вероятность отказа в обслуживании:
Вероятность обслуживания:
Среднее число занятых обслуживанием каналов:
Доля каналов, занятых обслуживанием:
Абсолютная пропускная способность:
При Произведя аналогичные расчёты для , получим:
Т.к. то, произведя расчеты для , получим:
Ответ: вероятность того, что при деталь пройдёт ОТК не обслуженной, составляет 21 %, и контролёры будут заняты обслуживанием на 53%. Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 95%, необходимо не менее 5 контролёров.
СМО с неограниченным ожиданием.
Сберкасса имеет трех контролеров-кассиров ( ) для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью . Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного вкладчика . Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.
Решение.
Вероятность простоя контролёров-кассиров в течении рабочего дня:
Вероятность застать всех контролёров-кассиров занятыми:
Вероятность очереди:
Среднее число заявок в очереди:
Среднее время ожидания заявки в очереди:
Среднее время пребывания заявки в СМО:
.
Среднее число свободных каналов:
Коэффициент занятости каналов обслуживания:
Среднее число посетителей в сберкассе:
Ответ: вероятность простоя контролеров-кассиров равна 21% рабочего времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,9%, среднее число посетителей в очереди 0,237 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,474 мин.
СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди.
Магазин получает ранние овощи из пригородных теплиц. Автомобили с грузом прибывают в разное время с интенсивностью машин в день.Подсобные помещения и оборудование для подготовки овощей к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя автомашинами ( ) .В магазине работают 3 фасовщика ( ), каждый из которых в среднем может обрабатывать товар с одной машины в течение . Продолжительность рабочего дня при сменной работе составляет 12 .Определить, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была .
Решение. Определим интенсивность загрузки фасовщиков:
Найдём вероятность простоя фасовщиков при отсутствии машин (заявок):
Вероятность отказа в обслуживании:
Вероятность обслуживания:
Т. к. произведём аналогичные вычисления для , получим Для этого случая ёмкость подсобных помещений необходимо увеличить до .
Для достижения заданной вероятности обслуживания можно увеличивать число фасовщиков, проводя последовательно вычисления СМО для и т.д. Задачу можно решить, увеличивая емкость подсобных помещений, число фасовщиков, уменьшая время обработки товаров.
Найдём остальные параметры СМО для рассчитанного случая при .
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число занятых обслуживанием каналов (фасовщиков):
Среднее число заявок в очереди:
Среднее время ожидания обслуживания:
Среднее число машин в магазине:
Среднее время пребывания машин в магазине:
Ответ: ёмкость подсобных помещений магазина должна вмещать товар, привезённый 4 автомашинами , при этом вероятность полной обработки товара будет .