- •Математические методы исследования операций в экономике
- •Математические методы исследования операций в экономике
- •Введение
- •Глава 1. Задачи линейного программирования
- •1. Постановка задачи линейного программирования (злп)
- •2. Графический метод решения злп
- •3. Симплекс – метод решения злп
- •4. Двойственные злп
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 2. Теория игр
- •1. Основные понятия теории игр
- •Принцип доминирования
- •2. Задачи теории игр и линейное программирование
- •3. Игры с природой
- •Применение матричных игр в прикладных задачах
- •Переговоры о заключении контракта между профсоюзом и администрацией
- •Локальный конфликт
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 3. Теория массового обслуживания
- •Основные понятия
- •Смо с отказами
- •Смо с неограниченным ожиданием
- •Смо с ожиданием и с ограниченной длиной очереди
- •5. Расчёт характеристик замкнутой смо с ожиданием.
- •Вероятность того, что занято обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы:
- •Вопросы для повторения.
- •Глава 4. Сетевое планирование
- •1. Сетевой график
- •Оптимизация пути на сети
- •Вопросы для повторения.
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5. Расчёт характеристик замкнутой смо с ожиданием.
Показатель - показатель загрузки системы, то есть математическое ожидание числа требований, поступающих в систему за время, равное средней длительности обслуживания
Вероятность того, что в системе находится требований для случая, когда их число больше числа обслуживающих каналов: - число обслуживающих каналов; - наибольшее число требований, находящихся одновременно в обслуживающей системе.
Вероятность того, что занято обслуживающих каналов при условии, что число требований, находящихся в системе, не превосходит числа обслуживающих каналов системы:
Вероятность того, что все обслуживающие каналы свободны:
Среднее число требований, ожидающих начала обслуживания (средняя длина очереди):
Коэффициент простоя обслуживающего требования (объекта):
Среднее число требований, находящихся в обслуживающей системе, обслуживаемых и ожидающих обслуживания:
Среднее число свободных обслуживающих каналов:
Коэффициент простоя обслуживающего канала:
Пример. Рабочий обслуживает группу автоматов, состоящую из трёх станков. Интенсивность потока поступающих требовании на обслуживание станков равна Обслуживание одного станка занимает у рабочего в среднем 12 . Определить среднее число автоматов ,ожидающих обслуживания, коэффициенты простоя автомата и рабочего.
Решение. Обслуживающим каналом здесь является рабочий. Т.к. станки обслуживает один рабочий, то n = 1. Общее число требований не может превзойти числа станков, то есть
m = 3.
Система может находиться в четырёх различных состояниях:
все станки работают;
один стоит и обслуживается рабочим, а два работают;
два стоят, один обслуживается, один ждет обслуживания;
три стоят, из них один обслуживается, а два ждут очереди.
Среднее число автоматов, ожидающих обслуживания:
- вероятность того, что рабочий свободен ( то есть все автоматы работают):
следовательно, в среднем из трёх станков 0,49 станка будут простаивать, пока освободится рабочий.
Коэффициент простоя автомата: то есть каждый станок простаивает примерно 0,16 часть рабочего времени, пока рабочий освободится.
Коэффициент простоя рабочего:
Вопросы для повторения.
Система массового обслуживания (СМО). Основные элементы СМО. Классификация СМО.
Простой поток заявок и его свойства. Интенсивность потока заявок. Интенсивность движения очереди. Интенсивность потока обслуживания. Интенсивность нагрузки.
СМО с отказами. Формулы для установившегося режима.
СМО с неограниченным ожиданием. Дисциплина очереди. Абсолютный и относительный приоритет. Формулы для установившегося режима.
СМО с ожиданием и с ограниченной длиной очереди. Формулы для установившегося режима.
Расчёт характеристик замкнутой СМО с ожиданием. Показатель загрузки системы.
Задачи для самостоятельного решения.
На стоянке автомобилей возле магазина имеются 3 места, каждое из которых отводится под один автомобиль. Автомобили прибывают на стоянку с интенсивностью 20 автомобилей в час. Продолжительность пребывания автомобилей на стоянке составляет в среднем 15 мин. Стоянка на проезжей части не разрешается. Определить среднее количество мест, не занятых автомобилями, и вероятность того, что прибывший автомобиль не найдёт на стоянке свободного места.
Дежурный по администрации города имеет 5 телефонов. Телефонные звонки поступают с интенсивностью 90 заявок в час, средняя продолжительность разговора составляет 2 мин. Определить показатели дежурного администратора как объекта СМО.
На вокзале в мастерской бытового обслуживания работают 3 мастера. Если клиент заходит в мастерскую, когда все мастера заняты, то он уходит из мастерской, не ожидая обслуживания. Среднее число клиентов, обращающихся в мастерскую за 1 ч, равно 20. Среднее время, которое затрачивает мастер на обслуживание одного клиента, равно 6 мин. Определить вероятность того, что клиент получит отказ, будет обслужен, а также среднее число клиентов, обслуживаемых мастерской в течение 1 ч, и среднее число занятых мастеров.
В грузовой речной порт поступает в среднем 6 сухогрузов в сутки. В порту имеется 3 крана, каждый из которых обслуживает 1 сухогруз в среднем за 8 ч. Краны работают круглосуточно. Определить характеристики работы порта как объекта СМО и в случае необходимости дать рекомендации по улучшению его работы.
5. В службе «Скорой помощи» посёлка круглосуточно дежурят 3 диспетчера, обслуживающие 3 телефонных аппарата. Если заявка на вызов врача к больному поступает, когда диспетчеры заняты, то абонент получает отказ. Поток заявок составляет 4 вызова в минуту. Оформление заявки длится в среднем 1,5 минуты. Определить основные показатели работы службы «Скорой помощи» как объекта СМО и рассчитать, сколько потребуется телефонных аппаратов, чтобы удовлетворить не менее 90 % поступающих вызовов врачей.
6. На автозаправочной станции установлены 2 колонки для выдачи бензина. Около станции находится площадка на 2 автомашины для ожидания заправки. На станцию прибывает в среднем одна машина в 3 мин. Среднее время обслуживания одной машины составляет 2 мин. Определить характеристики
работы автозаправочной станции как объекта СМО.