- •I. Неопределенный интеграл
- •1. Таблица основных неопределённых интегралов
- •2. Основные свойства неопределённого интеграла
- •3. Замена переменной в неопределенном интеграле
- •Решение.
- •4. Интегрирование по частям
- •5. Интегрирование рациональных дробей
- •6. Интегрирование иррациональных выражений
- •7. Интегрирование тригонометрических функций
- •II. Определенный интеграл
- •1. Формула Ньютона-Лейбница
- •III. Несобственные интегралы
- •1. Несобственный интеграл I рода.
- •2. Несобственный интеграл II рода.
- •IV. Геометрические приложения определенного интеграла
- •1. Вычисление площадей плоских фигур
- •2. Вычисление длины дуги
- •3. Вычисление объёмов тел
- •Задание 1.
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6.
- •Задание 7.
- •Задание 8.
- •Задание 9.
- •Задание 10
- •Задание 11.
- •Задание 12.
- •Задание 13.
- •Задание 14.
- •Задание 15.
- •Задание 16.
- •Задание 17.
- •Задание 18.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5. Интегрирование рациональных дробей
Если рациональная дробь является неправильной, то есть т ≥ п, то ее можно представить в виде суммы
где Мт-п и Rr – многочлены степеней т-п ≥ 0 и r, причем r < n. Разложение правильной дроби в сумму простейших имеет вид:
= =
При этом каждая из простейших дробей, стоящих в правой части равенства, интегрируется в квадратурах.
Таким образом, для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо в случае, если она является неправильной, выделить целую часть, затем разложить знаменатель оставшейся правильной дроби на множители степени не выше второй и представить эту дробь в виде суммы простейших дробей, вычислив коэффициенты их числителей с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Пример 8. Найти интегралы:
а) ; б) .
Решение. а)
б)
.
Пример 9. Найти интегралы: а) ;
б) ; в) .
Решение. а) найдём разложение подынтегральной функции на сумму простых дробей.
;
;
;
Таким образом,
.
б) .
Разложим подынтегральную функцию на сумму простых дробей.
;
. (1)
x = 0; –8A = +5. A = –5/8,
x = 2; 24B = 3. B = 1/8.
Из равенства (1) следует (приравниваются коэффициенты при x3 и x):
Отсюда, зная уже A = –5/8 , B = 1/8, находим C = 1/2, D = 7/4. Таким образом,
.
в) Рациональная функция представляет собой неправильную дробь. Выделим целую часть делением уголком
x4 – 3x2 + 2x +7 x3 – 2x2 + x
x4 – 2x3 + x2 x + 2
2x3 – 4x2 + 2x + 7
2x3 – 4x2+2x
7
Таким образом,
.
Разложим правильную дробь на сумму простых дробей:
;
; (2)
x = 0; A = 7;
x = 1; B2 = 7.
Сравнивая старшие коэффициенты в обеих частях равенства (2), находим A + B1 = 0, B1 = –A = –7 . Таким образом,
Пример 10.
Решение. Подынтегральной функцией является правильная дробь, разложение которой в сумму простейших имеет вид:
Приводя правую часть к общему знаменателю, получаем:
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х, что приведет к линейной системе относительно A,B,C,D,E:
x4: A + B = 0
x³: -2B + C = 0
x²: 2A + B – 2C + D = 2
x: -2B + C – 2D + E = 2
x0: A – 2C – 2E = 13.
Отсюда A = 1, B = -1, C = -2, D = -3, E = -4. Следовательно,
, где
Таким образом, окончательный результат имеет вид:
6. Интегрирование иррациональных выражений
После соответствующей замены переменных многие иррациональные функции можно свести либо к рациональным дробям, либо к тригонометрическим выражениям, интегрирование которых будет рассмотрено ниже.
Для дробно-линейных иррациональностей удобной заменой является выбор в качестве новой переменной подкоренного выражения в степени , где р – наименьший общий знаменатель дробных степеней в подынтегральном выражении.
Пример 11. .
Решение. Сделаем замену переменной: x + 3 = t4. Тогда dx = 4 t³dt. Подставим полученные результаты в подынтегральное выражение:
При интегрировании квадратичных иррациональностей привести подынтегральное выражение к рациональному виду помогают тригонометрические замены:
x = asin t, если в подынтегральную функцию входит ,
x = atg t для ,
, если подынтегральная функция содержит .
Пример 12. .
Решение. Выделив полный квадрат в квадратном трехчлене, получим:
, где u = x + 1.
Теперь сделаем замену переменной:
Подынтегральное выражение при этом примет вид:
Иногда от квадратичных иррациональностей можно избавиться с помощью замен другого типа.
Пример 13. .
Решение. Сделаем так называемую обратную подстановку: .Тогда