- •Введение
- •§1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Скорость прямолинейного движения
- •Касательная к кривой
- •1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •1.5. Производная сложной и обратной функций
- •1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •1.7. Гиперболические функции и их производные
- •1.8. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •2.1. Неявно заданная функция
- •2.2. Функция, заданная параметрически
- •§3. Логарифмическое дифференцирование
- •§4. Производные высших порядков
- •4.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •4.2. Механический смысл производной второго порядка
- •4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§5. Дифференциал функции
- •5.1. Понятие дифференциала функции
- •5.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •5.3. Основные теоремы о дифференциалах
- •5.4. Таблица дифференциалов
- •5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5.6. Дифференциалы высших порядков
- •§6. Исследование функций при помощи производных
- •6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •6.2. Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •6.3. Возрастание и убывание функций
- •6.4. Максимум и минимум функций
- •6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •6.7. Асимптоты графика функции
- •6.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 7. Формула тейлора
- •7.1. Формула Тейлора для многочлена
- •7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •Библиографический список
§ 7. Формула тейлора
В определении функции не говорится о том, при помощи
каких средств находятся значения по значениям . В тех случаях, когда функция является формулой вида , значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций , при любых (допустимых) значениях аргумента?
Для того, чтобы вычислить значения данной функции , ее заменяют многочленом степени , значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.
7.1. Формула Тейлора для многочлена
Пусть функция есть многочлен степени :
.
Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени относительно разности , где — произвольное число, т. е. представим , в виде
. (7.1)
Для нахождения коэффициентов продифференцируем раз равенство (7.1):
,
,
,
...................................................................................... .
Подставляя в полученные равенства и равенство (7.1), имеем:
, , , ,
...
т.е. , , , ,
...
.
Подставляя найденные значения в равенство (7.1), получим разложение многочлена -й степени по степеням ( ):
. (7.2)
Формула (7.2) называется формулой Тейлора для многочлена степени .
Пример 7.1. Разложить многочлен по степеням .
Решение: Здесь , , , . Поэтому , , , . Следовательно,
,
т.е.
.
7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
Рассмотрим функцию . Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
Теорема 7.1. Если функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в ней производные до ( )-го порядка включительно, то для любого из этой окрестности найдется точка такая, что справедлива формула
( , ). (7.3)
Формула (7.3) называется формулой Тейлора для функции . Эту формулу можно записать в виде ,
где
называется многочленом Тейлора, а
называется остаточным членом формулы Тейлора, записанным в форме Лагранжа. есть погрешность приближенного равенства . Таким образом, формула Тейлора дает возможность заменить функцию у = многочленом с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена .
При получаем частный случай формулы Тейлора — формулу Маклорена:
. (7.4)
где находится между 0 и ( , ).
При формула Тейлора (7.3) имеет вид или , т.е. совпадает с формулой Лагранжа конечных приращений. Рассмотренная ранее формула для приближенных вычислений (см. «дифференциал функции») является частным случаем более точной формулы
.
Пример 7.2. Найти число с точностью до 0,001.
Решение: Запишем формулу Маклорена для функции . Находим производные этой функции: , , …, . Так как , , …, , то по формуле (7.4) имеем:
.
Положим :
.
Для нахождения с точностью 0,001 определим из условия, что остаточный член меньше 0,001. Так как , то .
Поэтому при имеем
.
Итак, получаем приближенное равенство
,
т.е. .
Приведем разложения по формуле Маклорена некоторых других элементарных функций:
,
,
,
Примерные варианты контрольных заданий по теме
«Дифференцирование функций»
Вариант 1
1. Вычислить производные
а) б) , -?
в) г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 2
1. Вычислить производные
а) б) , -?
в) г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 3
1. Вычислить производные
а) б) , -?
в) г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 4
1. Вычислить производные
а) , -? б)
в) г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 5
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 6
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 7
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 8
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 9
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 10
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 11
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 12
1. Вычислить производные
а) , -?
б)
в) г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 13
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 14
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 15
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 16
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 17
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 18
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
Вариант 19
1. Вычислить производные
а) , -?
б) в)
г)
2. Найти дифференциал
а) б)
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Данное учебное пособие содержит основные сведения из разделов курса высшей математики, таких как: элементы линейной алгебры, элементы векторной алгебры, аналитическая геометрия на плоскости, аналитическая геометрия в пространстве, введение в математический анализ.
Последовательное изложение учебного материала от более простых понятий к более сложным, должны способствовать глубокому усвоению студентами дисциплины «Высшая математика». Рассмотренные конкретные примеры позволяют изучить все существенные особенности, которые могут возникать при решении задач.