- •Введение
- •§1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •Скорость прямолинейного движения
- •Касательная к кривой
- •1.2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
- •1.4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
- •1.5. Производная сложной и обратной функций
- •1.6. Производные основных элементарных функций Степенная функция
- •Показательная функция
- •Логарифмическая функция
- •Тригонометрические функции
- •Обратные тригонометрические функции
- •1.7. Гиперболические функции и их производные
- •1.8. Таблица производных
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования
- •§2. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
- •2.1. Неявно заданная функция
- •2.2. Функция, заданная параметрически
- •§3. Логарифмическое дифференцирование
- •§4. Производные высших порядков
- •4.1. Производные высших порядков явно заданной функции
- •4.2. Механический смысл производной второго порядка
- •4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
- •4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
- •§5. Дифференциал функции
- •5.1. Понятие дифференциала функции
- •5.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •5.3. Основные теоремы о дифференциалах
- •5.4. Таблица дифференциалов
- •5.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- •5.6. Дифференциалы высших порядков
- •§6. Исследование функций при помощи производных
- •6.1. Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
- •6.2. Правила Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •6.3. Возрастание и убывание функций
- •6.4. Максимум и минимум функций
- •6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •6.6. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •6.7. Асимптоты графика функции
- •6.8. Общая схема исследования функции и построения графика
- •§ 7. Формула тейлора
- •7.1. Формула Тейлора для многочлена
- •7.2. Формула Тейлора для произвольной функции
- •Библиографический список
4.2. Механический смысл производной второго порядка
Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону . Как уже известно, производная равна скорости точки в данный момент времени: .
Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т.е. .
Пусть в момент времени скорость точки равна , а в момент — скорость равна , т. е. за промежуток времени скорость изменилась на величину .
Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время . Предел этого отношения при называется ускорением точки в данный момент и обозначается буквой : , т.е. .
Но . Поэтому , т. е. .
4.3. Производные высших порядков неявно заданной функции
Пусть функция задана неявно в виде уравнения .
Продифференцировав это уравнение по и разрешив полученное уравнение относительно , найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по первую производную, получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут , и .
Подставляя уже найденное значение в выражение второй производной, выразим через и .
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.
Пример 4.2. Найти , если .
Решение: Дифференцируем уравнение по : . Отсюда . Далее имеем: , т.е. (так как ), следовательно,
4.4. Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Пусть функция задана параметрическими уравнениями
Как известно, первая производная находится по формуле
. (4.1)
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически.
Из определения второй производной и равенства (4.1) следует, что
,
т.е.
. (4.2)
Аналогично получаем
, , …
Пример 4.3. Найти вторую производную функции
Решение: По формуле (4.1)
.
Тогда по формуле (23.2)
.
Заметим, что найти можно по преобразованной формуле (4.2):
,
запоминать которую вряд ли стоит.
§5. Дифференциал функции
5.1. Понятие дифференциала функции
Пусть функция имеет в точке отличную от нуля производную . Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать , где при , или .
Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух слагаемых и , являющихся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем :
.
Поэтому первое слагаемое называют главной частью приращения функции .
Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):
. (5.1)
Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной , т.е. дифференциал функции .
Так как , то, согласно формуле (5.1), имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: .
Поэтому формулу (5.1) можно записать так:
, (5.2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (5.2) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .
Пример 5.1 . Найти дифференциал функции
.
Решение: По формуле находим
.
Пример 5.2. Найти дифференциал функции
.
Вычислить при , .
Решение:
.
Подставив и , получим
.