2. Распределения вероятностей

2.1. Биномиальное распределение

Рассмотрим теперь простейший случай повторения одного и того же испытания при постоянных условиях, причем в качестве элементарных исходов каждого отдельного испытания мы будем различать лишь два исхода: появление некоторого события А и не появление его (т. е. появление события, противоположного А), так что

Вероятность появления события для каждого испытания постоянна и равна где

Для события будем иметь:

Пусть произведено п независимых испытаний, которые мы будем рассматривать как одно сложное испытание.

Нас интересуют вероятности различных результатов этого сложного опыта.

Будем говорить, что опыты независимы, если вероятность появления любого исхода каждого опыта не зависит от результатов других опытов.

Действительно, обозначая через какой-нибудь возможный исход i-го опыта, видим, что n опытов независимы тогда и только тогда, когда события независимы, т. е. когда условные вероятности события относительно всех событий и относительно всех возможных совмещений этих событий равны безусловной вероятности события А_i.

Будем говорить, что опыты производятся в одинаковых условиях, если вероятность интересующего нас события А во всех опытах имеет одно и то же значение р.

В результате п опытов событие А может ни разу не появиться, появиться один раз, два раза, .,., п раз. Необходимо найти вероятности различных значений числа появлений события А.

Обозначим Р_m,n вероятность того, что при п независимых опытах, произведенных в одинаковых условиях, событие А появится ровно т раз

Для решения поставленной задачи возьмем п клеточек и будем регистрировать результаты каждого опыта, записывая в соответствующую клеточку А, если событие А появляется в этом опыте, и в противоположном случае.

Тогда задача сведется к определению вероятности того, что какие-нибудь т клеточек будут заняты буквой А, а остальные клеточек — буквой

Так как нам безразлично, какие именно клеточки будут заняты буквой А, лишь бы число таких клеточек было равно т, то, применяя принцип сложения вероятностей, приходим к заключению, что искомая вероятность p_т,n равна сумме вероятностей всех возможных расстановок т букв А и п — т букв в n клеточках.

А вероятность появления события А ровно т раз при п опытах равна сумме слагаемых, каждое из которых представляет собой вероятность получения в результате опыта определенной расстановки т букв Aиn — т букв в п клеточках.

Вероятность каждой такой расстановки на основании теоремы умножения вероятностей для независимых событий равна

Действительно, для того чтобы, например, первые т клеточек оказались занятыми буквой А, а последние — буквой , необходимо совмещение следующих событий: появление А в первом опыте, появление А во втором опыте и так далее, появление А в опыте, не появление А в опыте, не появление А в (т+ 2)-м опыте и так далее, не появление А в n-м опыте.

Перемножая вероятности этих событий, мы и получим

Таким образом, искомая вероятность того, что событие A появится m раз при п опытах, равна

Совокупность вероятностей

При

т. е.

называется биномиальным распределением вероятностей.

Так как эти вероятности соответствуют несовместимым событиям, образующим полную группу, то

Часто нужно вычислить вероятность того, что событие встретится не более раз в испытаниях, т. е. или ... , или раз. Эта вероятность называется кумулятивной, или «накопленной», вероятностью биномиального распределения и обозначается символом причем по правилу сложения получим:

Пример 1.4.1. Монета бросается шесть раз.

Найти вероятность того, что герб появится не менее двух раз.

Обозначим через А появление герба при одном бросании. Тогда и Вероятность сложного события, заключающегося в появлении события А не менее двух в раз при шести бросаниях, подсчитывается по вышеприведенной формуле