- •Введение
- •1. Лекция №1
- •1.1. Предмет механики жидкости и газа
- •1.2. Краткие исторические сведения о развитии науки
- •1.3. Физическое строение жидкостей и газов
- •1.4. Основные физические свойства: сжимаемость, текучесть, вязкость, теплоемкость, теплопроводность
- •2. Лекция №2
- •2.1. Гипотеза сплошности
- •2.2. Два режима движения жидкостей и газов
- •2.3. Неньютоновские жидкости
- •2.4. Термические уравнения состояния
- •2.5. Растворимости газов в жидкостях, кипение, кавитация. Смеси
- •3. Лекция №3
- •3.1. Два метода описания движения жидкостей и газов
- •3.2. Понятие о линиях и трубках тока. Ускорение жидкой частицы
- •3.3. Расход элементарной струйки и расход через поверхность
- •3.4. Уравнение неразрывности (сплошности)
- •4. Лекция №4
- •4.1. Массовые и поверхностные силы
- •4.2. Поверхностные силы и напряжения
- •4.3. Напряжения поверхностных сил
- •4.4. Уравнения движения в напряжениях
- •5. Лекция №5
- •5.1. Уравнения гидростатики в форме Эйлера и их интегралы
- •5.2. Напряжения сил вязкости, обобщенная гипотеза Ньютона
- •5.3. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
- •6. Лекция №6
- •6.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера
- •6.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения
- •7. Лекция №7
- •7.1. Закон изменения количества движения
- •7.2. Закон изменения момента количества движения
- •7.3. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки
- •8. Лекция №8
- •8.1. Уравнение баланса энергии
- •8.2. Турбулентное течение
- •9. Лекция №9
- •9.1. Подобие гидромеханических процессов
- •9.2. Понятие о методе размерностей. Пи-теорема
- •9.3. Роль чисел подобия
- •10. Лекция №10
- •10.1. Одномерные потоки жидкостей и газов
- •10.2. Уравнение д. Бернулли для струйки и потока реальной (вязкой) жидкости
- •10.3. Гидравлические потери (общие сведения)
- •11. Лекция №11
- •11.1. Ламинарное течение в круглых трубах
- •11.2. Течение при больших перепадах давления
- •12. Лекция №12
- •12.1. Потери напора при турбулентном течении в гидравлически гладких круглых трубах
- •12.2. Потери напора при турбулентном течении в шероховатых трубах. График и.И. Никурадзе
- •13. Лекция №13
- •13.1. Местные гидравлические сопротивления
- •13.2. Внезапное расширение русла
- •13.3. Внезапное сужение русла
- •13.4. Местные сопротивления при ламинарном течении
- •14. Лекция №14
- •14.1. Истечение жидкости через отверстие в тонкой стенке при постоянном напоре
- •14.2. Истечение через насадки при постоянном напоре
- •15. Лекция №15
- •15.1. Истечение через отверстия и насадки при переменном напоре
- •15.2. Неустановившееся движение жидкости в трубах
- •15.3. Гидравлический удар
- •16. Лекция №16
- •16.1. Расчет простых трубопроводов
- •16.2. Основные задачи по расчету простых трубопроводов
- •16.3. Последовательное соединение простых трубопроводов
- •16.4. Параллельное соединение простых трубопроводов
- •16.5. Разветвлённое соединение простых трубопроводов
- •17. Лекция №17
- •17.1. Расчет сложных трубопроводов
- •17.2. Трубопроводы с насосной подачей жидкости
- •17.3. Основы расчета газопроводов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Гоувпо «Воронежский государственный технический университет»
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
5.3. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости
Рассмотрим изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае плотность и вязкость будут величинами постоянными.
Подставим выражения компонент напряжений в соответствии с формулами (5.20) - (5.22) и (5.29) в уравнения в напряжениях (4.31) и, учитывая, что для несжимаемой жидкости
, (5.30)
получим уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости. Так, для проекции на ось х найдем
(5.31)
Проделав аналогичные преобразования с двумя другими уравнениями (4.31), будем иметь систему уравнений
(5.32)
где - оператор Лапласа.
Уравнения (5.32) представляют собой замкнутую систему с четырьмя неизвестными и р. Величины и , а также проекции массовых сил X, У и Z должны быть заданы.
Вспоминая выражение для ускорения (3.10), видим, что уравнения (5.32) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. В векторной форме они имеют вид
, (5.33)
где - вектор с проекциями и .
Уравнения (5.32) впервые были получены в 1845 г. Стоксом и поэтому часто называются уравнениями Стокса.
Для решения системы (5.32) следует задать граничные условия. При наличии же локальных составляющих ускорения, т.е. в нестационарном потоке, необходимы и начальные условия.
Начальные условия ставятся так же, как и для идеальной жидкости, в виде распределения скоростей во всей рассматриваемой области в момент времени , т.е. задается вид функций
.
Граничные условия задаются на поверхности обтекаемого тела и на бесконечности, в невозмущенной жидкости. На бесконечности, как правило, считают известными величины скорости и давления, а для внутренней задачи - расход жидкости.
Тип граничных условий для любого уравнения в частных производных, называют именами известных ученых: Дирихле, Неймана или Робина.
Условие Дирихле соответствует случаю, когда на границе замкнутой области задано значение искомой функции, т.е. и = f. Если на границе замкнутой области задано значение не самой искомой функции, а лишь ее производной по нормали, т.е. ди/дп= f , то такое граничное условие называют условием Неймана. Смешанные граничные условия Дирихле и Неймана в виде ди / дп + ku = f , где k > 0, носят название граничного условия Робина.
6. Лекция №6
6.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера
Из всех моделей жидкости, рассматриваемых в гидромеханике, наиболее простой является модель идеальной жидкости. Идеальной жидкостью называют жидкость, в которой отсутствуют внутреннее трение и теплопроводность. Таким образом, при движении идеальной жидкости касательных сил трения нет и все взаимодействие между соприкасающимися объемами жидкости сводится к действию нормальных поверхностных сил.
Допущение об отсутствии касательных поверхностных сил означает, что недиагональные компоненты напряжений в точке движущейся жидкости обращаются в нуль
.
Таким образом принимают, что при движении идеальной жидкости, так же как при состоянии равновесия любой сплошной среды, нормальное напряжение в данной точке не зависит от направления площадки, к которой оно приложено.
В гидростатике и гидродинамике скалярную величину нормального напряжения давления в данной точке потока идеальной жидкости будем называть гидродинамическим давлением или давлением в данной точке.
Несмотря на то, что идеальная жидкость в действительности не существует, многие теоретические решения, полученные в предположении идеальности жидкости, имеют большое практическое значение.
Это объясняется тем, что идеальная жидкость сохраняет основные свойства реальных жидкостей (непрерывность или сплошность).
Для вывода уравнения движения воспользуемся уравнением в напряжениях, проекция которого на ось х будет
(6.1)
где - проекция ускорения;
- проекция массовой силы, отнесенной к единице объема.
Остальные три слагаемых представляют собой производные от нормальных и касательных напряжений в жидкости.
Так как в идеальной жидкости вязкость отсутствует, а касательные напряжения равны нулю, то величина нормальных напряжений будет . Поэтому уравнения движения идеальной жидкости в проекциях на оси координат имеют вид
(6.2)
Полученную систему уравнений в векторной форме можно представить в виде
. (6.3)
Это уравнение движения идеальной жидкости часто называют уравнением Эйлера.
В общем случае скорость движения жидкости зависит как от координат, так и от времени, поэтому
. (6.4)
Подставив соответственно выражение для и в уравнение (6.2), получим следующий вид дифференциальных уравнений движения (уравнений Эйлера)
(6.5)
Для интегрирования дифференциальных уравнений движения необходимо иметь некоторые начальные и граничные условия.
Преобразуем левую часть уравнения Эйлера. Ускорение жидкости в проекции на ось х записывалось в уравнении Эйлера в виде
Добавлением и вычитанием величины этому выражению можно придать вид
. (6.6)
Так как
(6.7)
и
, (6.8)
то левая часть уравнения Эйлера будет иметь вид
, (6.9)
где - проекция векторного произведения двух векторов на ось x.
Преобразуя аналогично остальные уравнения Эйлера, запишем уравнения движения идеальной жидкости в форме Громека
(6.10)
Особенность уравнения Эйлера в форме Громека заключается в выделении в явном виде члена, содержащего вихрь вектора скорости. При равенстве нулю слагаемого система уравнений (6.10) сильно упрощается и нетрудно получить интеграл этого уравнения. Последнее слагаемое обращается в нуль в трех случаях: 1) скорость потока равна нулю; 2) векторы скорости и вихря скорости параллельны и поэтому векторное произведение равно нулю. Это случай так называемого винтового движения, весьма редко встречающегося в практике; 3) вихрь скорости равен нулю. Это - безвихревой или так называемый потенциальный поток.