13.7. Невозможность введения понятия коэффициента объёмного расширения для твёрдого тела в гармоническом приближении

Авторы [8] пытаются ввести для твёрдых тел, рассматриваемых в гармоническом приближении, теоретическое значение коэффициента их объёмного расширения при низких температурах

, (13.20)

где , . Cогласно сказанному в пункте 6.20 и, следовательно, . Нахождение теоретического значения коэффициента объёмного расширения возможно согласно пункту 6.21 только при рассмотрении твёрдого тела уже в приближении нелинейной теории упругости.

13.8. Свободная энергия твёрдого тела при высоких температурах

При высоких температурах ) авторы [8] используют следующее разложение

, (13.21)

а

(13.22)

Тогда выражение в (13.1) приобретает следующий вид

. (13.23)

Далее они вводят понятие средней арифметической частоты

(13.24)

и первые два члена в (13.23) представляют так

(13.25)

где

. (13.26)

Наконец, авторы [8] вводят среднюю геометрическую частоту согласно её определению

[12]

. (13.27)

Тогда для свободной энергии твёрдого тела при высоких температурах они получают

(13.28)

Авторы работы [8] не объясняют физического смысла последнего члена в выражении (13.28).

13.9. Нахождение внутренней энергии твёрдого тела при высоких температурах

С помощью известной формулы

. (13.29)

они находят внутреннюю энергию твёрдого тела при высоких температурах

(13.30)

Из (13.30) делается неправильный вывод, что случай высоких температур соответствует классическому рассмотрению колебаний атомов, так как формула (13.30) полностью согласуется с законом равнораспределения: на каждую из колебательных степеней свободы приходится доля энергии, равная

13.10. Теплоёмкость твёрдого тел при высоких температурах

Дифференцируя уравнение (13.30) по , авторы получают выражение для теплоёмкости твёрдого тела при высоких температурах

, (13.31)

где - теплоёмкость на одну ячейку. В частности, должна быть одинакова и равна для твёрдых тел с простой кристаллической решёткой – так называемый закон Дюлонга и Пти. Здесь авторы опять пишут теплоёмкость просто как , имея ввиду, что у твёрдых тел разница между и вообще незначительна. Однако, так как для твёрдых тел, рассматриваемых в гармоническом приближении, ввести невозможно, то в (13.31) авторы нашли всё-таки .