- •Часть 1
- •Часть 1
- •Введение
- •Занятие № 1
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 2 матрицы. Действия с матрицами. Ранг матрицы
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Задачи и упражнения для самостоятельного решения
- •Занятие № 3 использование и решение однородных систем
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 4 смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 5 линейные пространства
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 6 симметричные матрицы. Приведение к диагональному виду
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 7
- •Преобразование общего уравнения
- •Кривой второго порядка
- •К каноническому виду
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 8 канонические уравнения поверхностей второго порядка. Метод сечений
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 9 основные элементарные функции, их свойства, графики
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 10 бесконечно малые и их основные свойства. Равнение бесконечно малых
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 11
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 12 исследование поведения функций с помощью первой производной
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 13 вектор-функция скалярного аргумента. Кривизна кривой
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 14
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Часть 1
- •В авторской редакции
Занятие № 13 вектор-функция скалярного аргумента. Кривизна кривой
Литература: [12], c. 195-211, 305-313; [7], c. 237-247.
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение вектор-функции скалярного аргумента. Где, в каких теоретических и практических приложениях используется эта функция?
2. Что такое годограф вектор-функции? Как найти его для конкретно заданной функции?
3. Что такое и как находится производная вектор-функции?
4. Как находится предел вектор-функции?
5. Как найти касательную к пространственной кривой? Как написать уравнение нормальной плоскости?
6. Что называется кривизной плоской и пространственной кривой в данной точке?
7. Что такое радиус кривизны? Как он находятся?
8. Что такое эволюта и эвольвента кривой? Как они находятся?
9. Что такое кручение пространственной кривой в заданной точке?
Примеры решения задач
Пример 1. Найти траекторию точки, движущейся по закону .
Решение. Параметрические уравнения траектории
,
поэтому траекторией движения является эллипс с полуосями 2 и 3 и центром в начале координат, направление движения показано стрелкой (рис. 7).
Рис. 7
Пример 2. Дано уравнение движения материальной точки . Определить траекторию, скорость и ускорение движения точки. Построить векторы скорости и ускорения для момента времени .
Решение. Параметрические уравнения траектории
Воспользовавшись основным тождеством для гиперболических функций, исключаем параметр и получаем
.
Таким образом, траекторией движения точки является парабола , лежащая в плоскости (рис. 8). Для того, чтобы определить направление движения точки по траектории, вычислим пределы
,
.
Полученное направление движения показано на рис. 8 стрелкой. Далее определяем вектор скорости
и вектор ускорения
.
Из записанных выражений получаем значения векторов скорости и ускорения в точке с координатами , , . Эти векторы изображены на рис. 8.
Рис. 8
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [7], 5.533, 5.537, 5.549, 5.550, 5.558-5.561, 5.563, 5.564, 5.566, 5.570, 5.581, 5.583; [13], 1529, 1337, 1544, 1554, 1556, 1572.
Форма отчетности: устный опрос, домашняя контрольная работа с последующим отчетом по ней.
Занятие № 14
КОРНИ МНОГОЧЛЕНА. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ НА МНОЖИТЕЛИ
Литература: [12], c. 230-235.
Контрольные вопросы и задания
1. Что такое многочлен степени ?
2. Что называется корнем многочлена?
3. Как читается и доказывается теорема Безу?
4. Сформулируйте основную теорему алгебры.
5. Как раскладываются на множители многочлены -oй степени (приведенные, не приведенные)?
6. Какие многочлены называются равными?
7. Что такое кратность корня многочлена? Как выглядит разложение многочлена на множители при наличии кратных корней?
Примеры решения задач
Пример 1. Решить уравнение
.
Решение. Подставляя делители свободного члена в уравнение, получаем, что его корнями являются числа: 1, -2, -3. Следовательно, уравнение можно записать в виде .
Пример 2. Разложить на множители многочлен
.
Решение. Нетрудно убедиться, что один из делителей свободного члена является корнем многочлена – . Выполняем деление на
и получаем . Приравниваем это выражение к нулю. Решения полученного биквадратного уравнения имеют вид: , . Отсюда , , , . Итак, многочлен имеет действительный корень , кратность которого равна 2, действительный простой корень и два простых взаимно-сопряженных комплексных корня . Таким образом, разложение на множители данного многочлена будет иметь следующий вид:
.
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [7], 1.512, 1.514, 1.518, 1.523, 1.525.
Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа.