- •Часть 1
- •Часть 1
- •Введение
- •Занятие № 1
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 2 матрицы. Действия с матрицами. Ранг матрицы
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Задачи и упражнения для самостоятельного решения
- •Занятие № 3 использование и решение однородных систем
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 4 смешанное произведение векторов. Двойное векторное произведение
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 5 линейные пространства
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 6 симметричные матрицы. Приведение к диагональному виду
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 7
- •Преобразование общего уравнения
- •Кривой второго порядка
- •К каноническому виду
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 8 канонические уравнения поверхностей второго порядка. Метод сечений
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 9 основные элементарные функции, их свойства, графики
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 10 бесконечно малые и их основные свойства. Равнение бесконечно малых
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 11
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 12 исследование поведения функций с помощью первой производной
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 13 вектор-функция скалярного аргумента. Кривизна кривой
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Занятие № 14
- •Контрольные вопросы и задания
- •Примеры решения задач
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Часть 1
- •В авторской редакции
Занятие № 12 исследование поведения функций с помощью первой производной
Литература: [12], с. 144-154.
Контрольные вопросы и задания
1. Какая функция называется возрастающей и убывающей?
2. Как применяется производная для исследования функции на возрастание и убывание (докажите теорему)?
3. Дайте определение максимума и минимума функции в точке.
4. Сформулируйте и докажите необходимое условие существования экстремума.
5. Каковы достаточные условия существования экстремума функции в точке?
6. Какова схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной.
Примеры решения задач
Пример 1. Провести исследование и построить график функции .
Решение.
1. Область определения функции находим из условия . Решая квадратное уравнение , находим значения корней , . Таким образом
.
2. Находим точки пересечения с осями координат:
; при .
3. Очевидно, что данная функция не является периодической, так как не содержит элементарных периодических функций. Для проверки функции на четность или нечетность находим
.
Полученное выражение не равно ни ни , поэтому данная функция не является ни четной ни нечетной.
4. Исследуем точки разрыва функции.
.
.
Так как пределы бесконечные, то является точкой разрыва второго рода, а прямая является вертикальной асимптотой.
.
.
Так как пределы бесконечные, то является точкой разрыва второго рода, а прямая является вертикальной асимптотой.
5. Проверяем наличие у функции наклонных асимптот, имеющих уравнение
.
.
Таким образом, функция имеет горизонтальную асимптоту , совпадающую с осью .
6. Исследуем функцию на экстремум и участки монотонности, для чего находим ее производную
.
Производная не существует при и . Производная не равна нулю, так как квадратное уравнение имеет отрицательный дискриминант. Результаты исследований первой производной помещаем в таблицу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы видно, что данная функция не имеет точек экстремума, так как производная всегда положительна.
7. Исследуем функцию на точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости, для чего находим ее вторую производную
.
Вторая производная не существует при и . Но в этих точках функция не определена, поэтому они не могут являться точками перегиба. Для нахождения других критических точек приравниваем вторую производную нулю и получаем . Результаты исследований второй производной помещаем в таблицу
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вогнутая |
|
выпуклая |
|
вогнутая |
|
выпуклая |
Из таблицы видно, что при вторая производная равна нулю и меняет знак, следовательно, эта точка является точкой перегиба графика функции.
8. По результатам всех исследований выполняем построение графика данной функции (рис. 5).
Рис. 5
Пример 2. Провести исследование и построить график функции .
Решение.
1. Областью определения функции является вся числовая ось. Таким образом .
2. Находим точки пересечения с осями координат:
; при .
3. Очевидно, что данная функция не является периодической, так как не содержит элементарных периодических функций. Для проверки функции на четность или нечетность находим
.
Полученное выражение не равно ни ни , поэтому данная функция не является ни четной ни нечетной.
4. Данная функция определена всюду, поэтому точек разрыва нет и вертикальных асимптот тоже нет.
5. Проверяем наличие у функции наклонных асимптот, имеющих уравнение
.
Следовательно, правой асимптоты у функции нет.
.
.
Таким образом, при функция имеет горизонтальную асимптоту , совпадающую с осью .
6. Исследуем функцию на экстремум и участки монотонности, для чего находим ее производную
.
Производная определена при любом значении и равна нулю при . Результаты исследований первой производной помещаем в таблицу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из таблицы видно, что функция при имеет точку минимума, так как производная в этой точке равна нулю и меняет знак.
7. Исследуем функцию на точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости, для чего находим ее вторую производную
.
Вторая производная определена при любом значении и равна нулю при . Результаты исследований второй производной помещаем в таблицу
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выпуклая |
|
вогнутая |
Из таблицы видно, что при вторая производная равна нулю и меняет знак, следовательно, эта точка является точкой перегиба графика функции.
По результатам всех исследований выполняем построение графика данной функции (рис. 6).
Рис. 6
Задачи и упражнения для самостоятельного решения
Решить задачи: [13], 1399-1414, 1437, 1462-1464, 1465-1469, 1472-1477.
Форма отчетности: конспект, устный опрос.