- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
Рассмотрим квазилинейное уравнение второго порядка с двумя независимыми переменными
где коэффициенты A, В и С суть функции от х и у, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно. Будем предполагать, что A, В и С не обращаются одновременно в нуль. Нашему уравнению соответствует квадратичная форма
Дифференциальное уравнение принадлежит:
1) гиперболическому типу, если В2 — AС> 0 (квадратичная форма знакопеременная);
2) параболическому типу, если В2 — AС = 0 (квадратичная форма знакопостоянная);
3) эллиптическому типу, если В2 —AС<0 (квадратичная форма знакоопределенная).
Введем вместо (х, у) новые независимые переменные (ξ,η). Пусть
— дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем якобиан
в области D.
В новых независимых переменных ξ и η наше уравнение запишется так:
где
Непосредственной подстановкой нетрудно проверить, что
Отсюда легко видеть, что преобразование независимых переменных не меняет типа уравнения. В преобразовании в нашем распоряжении две функции ξ (х, у) и η (х, у). Покажем, что их можно выбрать так, чтобы выполнялось только одно из условий
1) A=0, С = 0; 2) A=0, В = 0; 3) A = С, В = 0.
Тогда, очевидно, преобразованное наше основное уравнение примет наиболее простой вид.
1) В2 — AС> 0. В рассматриваемой области D уравнение принадлежит гиперболическому типу. Можно считать, что в точке (x0,y0) в окрестности которой мы будем приводить уравнение к каноническому виду, либо А≠0, либо С≠0.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
Пусть А≠0. Так как B2 — AС> 0, то уравнение можно записать в виде
Это уравнение распадается на два:
Для интегрирования уравнений составим соответствующие им системы обыкновенных дифференциальных уравнений
или
Заметим, что это уравнение можно записать в виде одного уравнения
Коэффициенты дифференциальных уравнений имеют непрерывные частные производные до второго порядка, что следует из предположений о коэффициентах А, В и С. Так как А(x0,y0)≠0, то существуют интегралы
уравнений и их левые части имеют непрерывные частные производные до второго порядка в окрестности точки
(х0, у0). Левые части интегралов будут соответственно решениями уравнений . Кривые называются характеристическими кривыми или просто характеристиками уравнения , а уравнение — уравнением характеристик.
Для уравнения гиперболического типа В2 — АС>0 и, следовательно, интегралы вещественны и различны. При этом мы имеем два различных семейства вещественных характеристик. Положим в преобразовании
где φ1 (x, у) и φ2 (х, у) —соответственно суть дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнений . Эти решения можно выбрать так, чтобы якобиан в некоторой окрестности точки (х0, у0) области D. Действительно, так как А≠0, то из уравнений получим
Отсюда, в силу В2 — АС > 0 и уравнений , следует, что если якобиан в некоторой точке равен нулю, то в этой точке равны нулю обе частные производные первого порядка от φ1 или φ2. Таким образом, надо строить такие решения уравнений, у которых обе частные производные первого порядка одновременно не равны нулю. Функции φ1(х, у) и φ2(х, у) удовлетворяют соответствующим уравнениям и в уравнении А=С = 0. Коэффициент В≠0 всюду в рассматриваемой области. Разделив на коэффициент 2В наше уравнение , приведем его к виду
Этот вид уравнения также называется каноническим.
Если основное уравнение было линейным относительно производных первого порядка и самой функции и, то преобразованное уравнение также будет линейным:
Положив приведем это уравнение к виду
Это—канонический вид уравнения гиперболического типа.
2) В2 — аС = 0. В рассматриваемой области D наше уравнение принадлежит параболическому типу. Так как мы предполагаем, что коэффициенты А, В и С уравнения не обращаются одновременно в нуль, то, в силу условия В2 — АС = 0, следует, что в каждой точке этой области один из коэффициентов А и С отличен от нуля. Пусть, например, А≠0 в точке (х0, у0), в окрестности которой мы будем приводить наше уравнение к каноническому виду. Тогда оба уравнения относительно φ совпадают и обращаются в уравнение
Нетрудно видеть, что всякое решение уравнения , в силу условия В2 — АС = 0, удовлетворяет также уравнению
Мы можем, как и в предыдущем пункте, найти такое решение φ(x, у) уравнения , что функция φ(х,у) имеет непрерывные частные производные второго порядка и ее первые производные не обращаются в нуль одновременно в некоторой окрестности точки (х0, у0). Отметим, что для уравнения параболического типа мы имеем одно семейство вещественных характеристик φ(х, у) = const. , а за η(х, у) возьмем любую дважды непрерывно дифференцируемую функцию так, чтобы якобиан в окрестности точки (х0, у0). Тогда в уравнении А≡0, а коэффициент при принимает следующий вид:
То В≡0 в окрестности точки (х0, у0). Коэффициент С в уравнении преобразуется к виду
Откуда С≠0, так как в противном случае, якобиан . Разделив на С≠0 уравнение, приведем его к виду
Это — канонический вид уравнения параболического типа.
3) В2 — АС<0. В рассматриваемой области D уравнение принадлежит эллиптическому типу. Будем считать, что коэффициенты А, В и С суть аналитические функции от х и у. Тогда можно утверждать, что уравнение относительно φ имеет аналитическое решение
в окрестности точки (х0, у0) и в этой окрестности. Положим в преобразовании
Нетрудно показать, что .Разделяя теперь в тождестве вещественную
и мнимую части, получим
Отсюда, следует, что А = С, В = 0.
В силу определенности квадратичной формы
коэффициенты А=С могут обратиться в нуль только в том случае, если
Но решение φ(х, у) выбрано так, что вышеприведенные равенства не выполняются одновременно. Таким образом, в нашем уравнении А= С≠0 и после деления на А оно приводится к виду
Это — канонический вид уравнений эллиптического типа. Замечание. Может оказаться, что в различных частях области D рассматриваемое уравнение принадлежит различным типам. Как уже было сказано, точки параболичности уравнения характеризуются равенством В2 — АС = 0. Предположим, что множество точек области D, является простой гладкой кривой σ. Кривая σ называется линией параболического вырождения. Если кривая σ делит область D на две части, в одной из которых основное уравнение принадлежит эллиптическому типу, а в другой — гиперболическому типу, то мы скажем, что в области D основное уравнение смешанного типа. Например:
Уравнение Трикоми
— уравнение смешанного типа в любой области D, содержащей точки оси Ох. При у > 0 оно принадлежит эллиптическому типу, при у<0 — гиперболическому типу, у= 0 — линия параболичности.
2) Уравнение
— уравнение смешанного типа в любой области D, содержащей точки оси Ох; у = 0 — линия параболичности, которая одновременно является характеристикой (у = 0 —огибающая семейства характеристик).
Пример. Рассмотрим уравнение
. Это уравнение гиперболического типа, так как В2-АС=sin2x+cos2x=1. Согласно общей теории, составляем уравнение (22а) dy2 - 2sinхdxdy-cosxdx2 = 0 или dy + (l + sinx)dx=0, dy-(1-sinx)dx = 0, интегрируя эти уравнения, получим X+y-cosx=C1, x-y+cosx=C2.
Вводим новые переменные (ξ,η) по формулам
ξ = х + у — cosx, η= x-y+cosx. Тогда наше уравнение в новых независимых переменных приводится к виду
Положив ξ=α+β, η=α-β, приведем уравнение к каноническому виду:
. Уравнение можно проинтегрировать в замкнутом виде, т. е. найти формулу, дающую все решения этого уравнения. Действительно, перепишем это уравнение в виде
Тогда где θ(η) — произвольная функция η. Интегрируя полученное уравнение по η, считая ξ параметром, найдем, что , где φ(ξ) — произвольная функция по ξ. Полагая получим
u=φ(ξ)+ψ(η), или, возвращаясь к старым переменным (x, у), получим решение основного уравнения в виде
u(x,y)=φ(x+y-cosx)+ψ(x-y+cosx).
Задачи для самостоятельного решения.
Привести к каноническому виду уравнения:
Ответы: