- •Элементы уравнений математической физики
- •Введение
- •1. Основные уравнения математической физики
- •1.1. Уравнение колебаний струны.
- •1.2. Решение задач о колебаниях бесконечной и полуограниченной cтруны (метод Даламбера)
- •1.3. Продольные колебания стержня
- •1.4. Колебания стержня с одним закрепленным концом
- •1.5. Продольный удар груза по стержню
- •1.6. Метод Фурье решения задачи о колебаниях конечной струны с закрепленными концами
- •1.7. Вынужденные колебания струны с закрепленными концами
- •1.8. Общая схема метода разделения переменных (метода Фурье). Задача Штурма-Лиувилля
- •1.9. Уравнение колебаний мембраны.
- •1.10. Решение задачи о радиальных колебаниях круглой мембраны
- •1.11. Решение задачи о продольные колебания стержня методом Фурье
- •1.12. Уравнение распространения тепла в изотропном твердом теле.
- •1.13. Решение задачи теплопроводности бесконечного и полуограниченного стержня
- •1.14. Задача теплопроводности в бесконечном цилиндре
- •1.15. Решение задачи теплопроводности в конечном стержне
- •1.16. Решение задачи теплопроводности в однородном шаре
- •1.17. Задачи, приводящие к уравнению Лапласа
- •1.18. Общий вид уравнения эллиптического типа
- •1.19. Фундаментальные решения. Функция Грина
- •1.20. Условия разрешимости граничных задач
- •1.21. Понятие гармонической функции.
- •1. Случай пространственной области.
- •2. Случай плоской области.
- •1.22. Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье.
- •1.23. Решение задачи Дирихле в шаре для уравнения Лапласа ( метод Фурье)
- •1.24. Задача Дирихле для одномерного и двумерного случаев.
- •2. Классификация уравнений второго порядка
- •2. I. Типы уравнений второго порядка.
- •2.2. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •2.3. Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
- •3. Уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными
- •3.1. Задача Коши
- •3.2. Задача Гурса
- •3.3. Метод Римана
- •Задачи электротехники
- •4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
- •4.2. Телеграфное уравнение
- •4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
- •5. Уравнения первого порядка
- •5.I. Квазилинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными
- •5.2. Нелинейные дифференциальные уравнения с двумя независимыми переменными.
- •5.3. Нелинейные дифференциальные уравнения с п независимыми переменными.
- •6.2. Метод сеток решения задачи Дирихле на плоскости
- •6.3. Метод сеток решения уравнения гиперболического типа
- •6.4. Метод сеток решения уравнения параболического типа на отрезке
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Задачи электротехники
4.1. Дифференциальные уравнения свободных электрических колебаний
При прохождении по проводу электрического тока вокруг него образуется электромагнитное поле, которое вызывает изменения как силы тока, так и величины напряжения. Благодаря этим изменениям в проводе возникает определенный колебательный процесс, изучением которого мы и займемся. Проведем ось Ох вдоль оси провода, а начало координат поместим в один из его концов; длину провода обозначим через l. Сила тока i и напряжение v в какой-нибудь точке провода будут функциями абсциссы х и времени t. Величины i и v связаны между собой некоторыми дифференциальными уравнениями с частными производными 1-го порядка. При выводе этих уравнений мы будем предполагать, что емкость, активное сопротивление, самоиндукция и утечка распределены вдоль провода непрерывно и равномерно, и что постоянные С, R, L и G, их характеризующие, рассчитаны на единицу длины провода.
Рассмотрим часть провода, заключенную между двумя сечениями х = х1 и х=х2. Применяя закон Ома к этой части провода, будем иметь
Так как, с другой стороны
то имеет место равенство
из которого, в силу произвольности х1 и х2, следует, что
Количество электричества, протекающего через рассматриваемый участок (х1, х2) провода за единицу времени
равно сумме количества электричества, необходимого для зарядки этого участка провода, и количества электричества, теряющегося вследствие несовершенства изоляции:
Таким образом,
откуда
4.2. Телеграфное уравнение
Используя результаты предыдущего раздела можно
получить:
Аналогично выводится дифференциальное уравнение
которому удовлетворяет сила тока i. Таким образом, получим, что напряжение v и сила тока i удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению
где
Это уравнение называют телеграфным уравнением. Если ввести новую функцию u(х, t), положив
то уравнение примет более простую форму:
где
4.3. Интегрирование телеграфного уравнения по методу Римана
Применим метод Римана к нахождению решения телеграфного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям
Прежде всего преобразуем это уравнение к каноническому виду, введя новые независимые переменные £ и г] по формулам
Тогда уравнение примет вид
Рис. 4.1.
Прямая t = 0 в новых переменных будет биссектрисой (рис. 4.1): Далее, можно записать
откуда следует, что
или, в силу начальных условий , имеем
а также
Полагая в формуле Римана а = 0, b = 0, f= 0 получим
Найдем теперь функцию Римана . Она должна удовлетворять сопряженному уравнению
и обращаться на характеристиках MP и MQ в единицу. Будем искать решение уравнения в виде
Подставив это выражение в уравнение для ν и обозначив через λ корень , найдем, что функция v удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
частным решением, которого является функция Бесселя нулевого порядка:
Тогда v=J0(λ) получим решение уравнения, которое имеет на
характеристиках ξ=ξ0 , η=η0 значение 1, так как здесь λ=0. И
Вычисляя
Получим, используя
В старых координатах имеем:
где