- •М.Е. Семенов, н.Н. Некрасова математическое моделирование физических процессов
- •Оглавление
- •Предисловие
- •Введение
- •Общие принципы математического моделирования
- •1.1. Математическое моделирование на основе фундаментальных законов природы
- •1.2. Вариационные принципы и математические модели
- •Контрольные вопросы и задания
- •Классификация уравнений математической физики как моделей атмосферных процессов. Уравнение волновых движений
- •2.1. Понятие об общем решении уравнений в частных производных
- •2.2. Классификация уравнений
- •2.3. Волновые уравнения
- •Продольные колебания стержня
- •Контрольные вопросы и задания
- •Методы решения волновых уравнений
- •3.1. Метод Даламбера
- •3.2. Собственные колебания
- •Контрольные вопросы и задания
- •3.3. Метод Фурье
- •Контрольные вопросы и задания
- •Уравнение теплопроводности
- •4.1. Вывод уравнения теплопроводности. Первая краевая задача
- •4.2. Решение уравнения теплопроводности методом Фурье
- •4.3. Охлаждение бесконечного стержня
- •Контрольные вопросы и задания
- •5. Хаос в дискретных моделях
- •5.1. Одномерные отображения
- •5.2. Теорема Шарковского
- •5.3. Двумерные отображения, сохраняющие площадь
- •Контрольные вопросы и задания
- •Система лоренца
- •Задача о конвекции в подогреваемом снизу слое
- •6.2. Вывод уравнений Лоренца
- •Контрольные вопросы и задания
- •Динамика системы лоренца
- •Результаты численного моделирования уравнений Лоренца
- •7.2. Ограниченность и диссипативность системы Лоренца
- •Контрольные вопросы и задания
- •Неподвижные точки. Устойчивость. Бифуркация
- •. Неподвижные точки
- •Устойчивость неподвижных точек
- •Бифуркации в системе Лоренца
- •Контрольные вопросы и задания
- •Обобщенные размерности
- •9.1. Информационные размерности
- •Величину d1 называют информационной размерностью.
- •9.2. Корреляционная размерность
- •Контрольные вопросы и задания
- •Обработка реализаций. Характеристики хаотической динамики
- •10.1. Реконструкция фазового пространства. Оценка корреляционной размерности по наблюдаемой
- •10.2. Вычисление ляпуновских показателей
- •Контрольные вопросы и задания
- •Заключение
- •Библиографический список
- •3 94006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
1.2. Вариационные принципы и математические модели
Дадим упрощенную формулировку вариационного принципа Гамильтона для механической системы. На его основе выведем уравнения движения шарика на пружине и маятника, в поле сил тяжести. Сопоставим результаты получения моделей из фундаментальных законов и из вариационного принципа.
Общая схема принципа Гамильтона. Пусть имеется механическая система, формального и строгого определения которой пока давать не будем, имея в виду, однако, что все взаимодействия между элементами такой системы определяются законами механики. Введем понятие обобщенных координат , полностью определяющих положение механической системы в пространстве. Величина может быть декартовой координатой (например, координата в системе «шарик пружина»), радиусом-вектором, «угловой координатой», набором координат материальных точек, составляющих систему, и т. д. Величину естественно назвать обобщенной скоростью механической системы в момент времени . Набор величин и определяет состояние механической системы во все моменты времени.
Для описания механической системы вводится функция Лагранжа, построение которой - отдельный вопрос, более подробно рассматриваемый.
В простейших случаях функция Лагранжа имеет ясный смысл и записывается в виде
где – кинетическая и потенциальная энергии системы соответственно. Для целей данного раздела нет необходимости давать общее определение величин , поскольку в рассматриваемых примерах они вычисляются очевидным образом.
Введем далее величину называемую действием:
. (1.7)
Интеграл, очевидно, является функционалом от обобщенной координаты функции , т.е. функции , заданной на отрезке он ставит в соответствие некоторое число S (действие).
Принцип Гамильтона для механической системы гласит: если система движется по законам механики, то – стационарная для функция или
. (1.8)
Фигурирующая в принципе наименьшего действия функция некоторая пробная функция, обращающаяся в нуль в моменты t1, t2 и удовлетворяющая тому условию, что – возможная координата данной системы (в остальном произвольна).
Смысл принципа в том, что из всех априори мыслимых (допускаемых) траекторий (движений) системы между моментами t1, t2 выбирается (реализуется) движение, доставляющее минимум функционалу действия (отсюда происходит и название принципа). Функция называется вариацией величины .
Итак, схема применения принципа Гамильтона для построения моделей механических систем состоит в следующем: определяются обобщенные координаты и обобщенные скорости системы, строятся функция Лагранжа и функционал действия минимизация которого на вариациях координаты и дает искомую модель.
Способ получения модели системы «шарик – пружина»
Воспользуемся принципом Гамильтона для построения модели движения шарика, соединенного с пружиной. В качестве обобщенной координаты системы естественно выбрать обычную эйлерову координату шарика r(t). Тогда обобщенная скорость – обычная скорость шарика. Функция Лагранжа, равная L = EК – EП, записывается через значения кинетической и потенциальной энергии системы:
(1.9)
Для величины действия получаем выражение
(1.10)
Теперь в соответствии со схемой вычислим действие на вариациях координаты
(1.11)
Последнюю формулу необходимо продифференцировать по ε (учитывая, что функции от ε не зависят):
и положить в ней ;
(1.12)
Воспользовавшись формулой интегрирования по частям, последнее соотношение преобразуется к виду
(1.13)
Поскольку пробная функция , фигурирующая в формулировании принципа наименьшего действия, произвольна, то часть выражения, стоящая под знаком интеграла в квадратных скобках, должна быть равна нулю во все моменты времени t1 < t < t2:
(1.14)
Таким образом, полученное уравнение совпадает с уравнением (1.1).