6.2. Вязкость жидкости

До сих пор мы пренебрегали силами трения, которые возникают внутри жидкости в определенной степени влияют на движение жидкости.

Рассмотрим течение жидкости вдоль трубы постоянного сечения с манометрическими трубками (рис.34):

Рис.34

Если жидкость покоится, высота столбиков жидкости в манометрических трубах будет одинаковой. Если жидкость движется с некоторой скоростью, то будет наблюдаться понижение уровня жидкости в манометрических трубах в направлении движения. Это наводит на мысль, что давление вдоль трубок в направлении течения падает. В то же время скорость потока в различных сечениях трубок одна и та же. Кроме того, если принять, что в жидкости действуют только силы давления, это … бы к тому, что за счет разности давлений между сечениями 1 и 2 возникло бы ускорение жидкости. Однако этого не возникает. Следовательно на жидкость действуют еще какие-то силы, направленные навстречу движению жидкости, уравновешивающие давление. Эти силы будут действовать не только между внешним слоем жидкости и трубой, но и между отдельными слоями жидкости скользящей друг относительно друга. Распределение слоев скоростей слоев жидкости в таком случае дано на следующем схематическом рисунке (рис. 35):

Рис. 35

Видно, что скорость слоев жидкости прилегающих к стенкам трубы практически равны нулю, и принимает минимальное значение у центральной оси трубы.

Представим себе плоский слой жидкости, заключенный между двумя пластинами (рис. 36).

Рис. 36

Верхняя пластина движется с постоянной скоростью , а нижняя покоится. При этом на нижнюю пластину со стороны жидкости действует сила , которую можно измерить. Для данной жидкости сила оказывается прямо пропорциональной скорости верхней пластинки и площади пластинки и обратно пропорциональной расстоянию между пластинками. Кроме того, эти силы зависят от свойств жидкости, именно от ее вязкости. Например, для глицерина эти силы при прочих равных условиях больше, чем для воды. Силу в соответствии со сказанным выше можно записать следующим образом:

(6.10)

где - площадь пластинки, - расстояние между пластинками, - коэффициент пропорциональности, различный для различных жидкостей. Этот коэффициент называется коэффициентом вязкости данной жидкости.

Коэффициент вязкости в системе СИ имеет размерность (см. 6.10). И носит название «пуазона» в честь Пуазейля

Вернемся к нашему рисунку. Верхний слой прилипает к верхней пластинке и движется со скоростью . Нижний слой прилипает к нижней пластинке и его скорость равна нулю. В промежуточных слоях скорость непрерывно изменяется, то есть представляет собой некоторую функцию от . Производная этой функции от называется градиентом скорости. В рассматриваемом случае все промежуточные слои находятся в одинаковых условиях, поэтому скорость от слоя к слою изменяется на одинаковую величину и градиент скорости есть величина постоянная.

С другой стороны, все слои движутся с некоторой постоянной во времени, но различной по величине скоростью. Поэтому на любую горизонтальную площадку , лежащую на границе данного слоя должна действовать та же сила, что и на пластинки к которым прилегает жидкость, то есть силы:

или

Рассмотрим теперь стационарное течение жидкости по трубе. Мысленно выделим расположенный вдоль оси трубы цилиндр длины и радиус (рис. 37).

Рис. 37

Из-за действия сил вязкости, скорость жидкости в разных точках сечения трубы различна. Она зависит от расстояния до стенок, и градиент скорости есть .

С внешней стороны на единицу поверхности цилиндра действует сила вязкости

, а на всю поверхность рассматриваемого цилиндра – сила:

Так как скорость течения в каждой точке постоянна, то сила должна уравновешивать разность сил давления и на торцах цилиндра. Следовательно,

откуда

Получим обычное дифференциальное уравнение I-го порядка с разделяющимися переменными, интегрируя которые, получим:

У стенок трубы , отсюда:

, где

- радиус трубы.

Таким образом .

Скорости по сечению трубы растут по квадратному закону от нуля у стенок до максимальной скорости у оси трубы.

Подсчитаем количество жидкости, протекающей через все сечения трубы. Для этого разобьем сечение на тонкие кольца радиуса и ширины (рис.38).

Рис. 38

Через площадь такого кольца в единицу времени протекает объем жидкости.

,

а через все сечение трубы протекает объем жидкости

интегрируя получим:

(6.11)

- формула Пуазейля – позволяет по скорости истечения жидкости измерять ее вязкость.

Силы вязкости нарушают распределение давления, вытекающее из закона Бернулли. Этот закон был получен в предположении, что силы вязкости отсутствуют. Интересно выяснить границы применяемости закона Бернулли к реальным жидкостям и газам.

Закон Бернулли будет приблизительно справедлив в том случае, когда потери энергии на трение малы по сравнению с общей энергией текущей жидкости.

Введем среднюю скорость течения жидкости по трубе:

Тогда по формуле (6.11)

Но - есть разность сил давления.

Они должны быть равны силе , действующей на столб жидкости длиной со стороны стенок трубы, то есть

.

При перемещении этого столба жидкости на расстояние сила трения о стенки трубы совершает работу , то есть

.

Рассмотрим теперь объем жидкости, заключенный в отрезке трубы, длина которой равна радиусу трубы . Кинетическая энергия единицы объема есть и всего объема:

Закон Бернулли будет хорошо соблюдаться если , или

(6.12)

(числовой коэффициент ввиду незначительной его величины был отброшен).

Следовательно для того, чтобы закон Бернулли был справедлив, необходимо соблюдать следующие требования: чем больше вязкость жидкости, тем большую длину трубы (радиус трубы) нужно выбирать, а также сообщить этой жидкости большую скорость.

Итак, работа сил вязкости зависит от размеров поверхности рассматриваемого элемента жидкости и пропорциональна , а энергия элемента жидкости зависит от его объема и пропорциональна , где - линейные размеры элемента жидкости.

Поэтому отношение энергии элемента жидкости к работе сил вязкости, то есть безразмерная величина:

(6.13)

Характеризует относительную роль сил вязкости. Эта величина называется числом Рейнольда. Чем меньше число Рейнольда, тем большую роль играют силы вязкости в движении жидкости.

Если размеры тел, с которыми соприкасается жидкость или газ, очень малы, то даже при малой вязкости будет мало и силы трения будут играть преобладающую роль. Наоборот, если скорости и размеры величины, то даже значительная вязкость мало будет влиять на характер движения.

Помимо и число существенно зависит от отношения вязкости жидкости (или газа) к ее плотности . Поэтому относительное влияние сил вязкости определяется величиной , которую называют кинетической вязкостью жидкости или газа.

В системе СИ единицей кинетической вязкости служит м²/сек. Эта единица называется стокс.

При малых скоростях жидкость течет по трубе спокойно (подкрашенную струю жидкости представляет собой линию, параллельную оси трубы) жидкость течет как бы отдельными слоями, скользящими друг относительно друга. В трубе круглого сечения скользящие слои нужно представлять себе как вложенные друг в друга трубки.

Течение жидкости в этих трубках распределены точно так же, как это было показано выше. Такое сечение называется ламинарным (спокойным).

При увеличении скорости течения жидкости в трубе возникают завихрения, которые нарушают ламинарное течение жидкости. (Подкрашенная струя разрывается и краска перемешивается в трубе). Такое течение называется Турбулентным. При турбулентном течении падение давления в трубе резко возрастает. Оно оказывается пропорциональным уже не скорости течения как в законе Пуазейля, а квадрату скорости. Изменяется и распределение скоростей по сечению трубы. Скорости гораздо быстрее растут у края трубы и мало изменяются в средней части. Градиент скорости у стенок трубы оказывается очень большим.

Для определенных условий втекания жидкости в трубу турбулентность возникает при определенных значениях числа . Например, для трубы с острыми краями, вставленной в гладкую стенку, турбулентность возникает при . Падение давления в трубе в случае турбулентного течения, так же как и в случае ламинарного, очень сильно зависит от сечения трубы. Так, большое падение давления в трубах малого сечения используется для регулирования при помощи крана количество вытекающей воды. Вращая ручку крана, мы изменяем сечение внутреннего отверстия, через которое течет вода. Чтобы вода вытекала с малой скоростью давления в выходной трубке крана должно быть мало. Пока кран открыт не очень широко, сечение внутреннего отверстия мало и почти все давление водопроводной сети теряется в кране. Если же широко открыть кран, и затем прикрыть пальцем выходное отверстие, то давление под пальцем будет почти равно давлению водопроводной сети. (Т.К. падение давления в широко открытом кране не происходит).