- •5. Теория напряженно – деформированного состояния
- •6. Сложное сопротивление
- •6.1.2. Пространственный косой изгиб
- •6.2. Изгиб с растяжением (сжатием)
- •6.3. Изгиб с кручением бруса круглого поперечного сечения
- •7. Расчет на прочность осесимметричных
- •7 .1 Тонкостенные безмоментные оболочки
- •7.2. Толстостенные цилиндры
- •9. Задачи динамики
- •9.1.2. Кручение
- •9.2. Расчеты на прочность и жесткость при ударе
- •9.2.1. Растягивающий (сжимающий) удар
- •9.2.2. Крутящий удар
- •9.3.2. Крутильные колебания
- •10. Расчёт на прочность при переменных напряжениях
- •11. Расчет по предельному состоянию
9.2.2. Крутящий удар
9.31. Шкив весом Q=0,6 кН и диаметром D=240мм насажен на вал АВ (рис.9.25), вращающийся с угловой скоростью ω0=10π рад/с. Проверить прочность вала в тот момент, когда конец вала В внезапно останавливается. Определить при этом
угол закручивания. Принять [τ]д = 100МПа, G=8·104 МПа. Массой вала пренебречь.
Решение
1. Записывают условие прочности
и формулу для определения φд
φд =Kд· φс..
2. Записывают формулу для определения Kд, которая при заданном условии задачи имеет вид [2]
где - кинетическая энергия шкива; - момент инерции массы шкива; Uc – потенциальная энергия вала при статическом нагружении.
3. При внезапном торможении часть вала между тормозом и шкивом скручивается.
4. Решают статическую задачу, считая Мкс=const.
;
.
5. Проверяют выполнимость условия прочности:
Условие прочности выполнено.
6. Определяют угол закручивания вала в момент его внезапной остановки
9.32. На выступ АВ, жестко закрепленный на стальном стержне, падает груз Q=200Н с высоты Н=2см (рис.9.26,а). Проверить прочность стержня, если [τ]д=100МПа, ρ=4см, =20см, диаметр стержня d=1см, G=2,8·104 МПа. Выступ АВ – абсолютно жесткий.
Рис. 9.26
Решение
1. Записывают условие прочности
.
2. Записывают формулу для определения динамического коэффициента, которая при заданных условиях задачи имеет вид
,
где δс – вертикальное перемещение точки падения груза под действием силы Q, приложенной статически в этой точке.
3. Рассматривают статическое нагружение, когда сила Q приложена на стержень к концу выступа в точке В. Вертикальное перемещение точки В зависит только от поворота выступа вокруг точки А, так как сам выступ абсолютно жесткий и сечение А не получает вертикального перемещения при указанных закреплениях. Так как выступ жестко связан с сечением стержня, то его угол поворота равен углу поворота сечения А стержня при его нагружении вращающим моментом М=Qρ (см. рис.9.26,б)
δc= .
4. Решают задачу статического кручения стержня
Система (см. рис.9.26,б) статически неопределимая. Раскрываем статическую неопределимость:
5. Проверяют выполнимость условия прочности:
Условие прочности не выполнено.
9.33. На стальной вал диаметром 100 мм насажены два маховика с одинаковыми моментами инерции Jm=300Нм·с2. Расстояние между маховиками 3 м. Один маховик постоянно закреплен на валу, а другой, свободно вращающийся со скоростью 30 об/мин, посредством особого приспособления можно мгновенно сцепить с валом и привести в движение всю систему. Проверить прочность вала в момент сцепления, если [τ]д=120МПа, G=8·104МПа.
9.34. На стальной вал диаметром d=100мм, вращающийся с угловой скоростью ω0=2π рад/c, насажен маховик, момент инерции которого Jm=180Нм·с2 (рис.9.27). Определить величину наибольших динамических напряжений при внезапной остановке вала. Массу вала не учитывать. Задачу решить в двух вариантах:
а) тормозное устройство установлено на левой опоре;
б) тормозное устройство установлено на правой опоре.
9.35. Определить наибольшее допустимое число оборотов вращающегося сплошного стального диска диаметром D=80см и толщиной t=8мм, насаженного на стальной вал диаметром d=60мм так, чтобы при внезапном торможении вала в сечении, расположенном на расстоянии 1,6м от диска, наибольшее касательное напряжение в вале не превышало 100МПа. Принять γ=78·103 Н/м3, G=8·104 МПа.
9.36. Определить max τд в вале, вращающемся с угловой скоростью ω0 и несущем маховик с моментом инерции массы Jm (рис 9.28) при резком зажиме вала:
а) в одном подшипнике;
б) в обоих подшипниках одновременно.
Дано: , Jm, d, G, ω0.
9 .37. Определить расстояние от маховика до тормозного устройства, если вал, вращающийся со скоростью 1000об/мин и несущий маховик с моментом инерции Jm=50Нм·с2, мгновенно останавливается. Диаметр вала d=6см, G=8*104МПа,
[τ]д=100МПа.
9.2.3. Изгибающий удар
9.38. Шарнирно опертая по краям балка подвергается посередине пролета =2м удару при падении груза Q=2кН, обладающего к моменту соударения с балкой кинетической энергией Т=1,6кН·см (рис. 9.29, а). Сечение балки двутавр № 16, стойка которого расположена горизонтально. Проверить прочность балки при [σ]д=160МПа без учета и с учетом массы балки, если γ=78кН/м3.
Решение
1. Записывают условие прочности
.
2. Записывают формулу для определения Кд, которая при заданных условиях имеет вид [2]
а) без учета массы балки ;
б) с учетом массы балки
где UC – потенциальная энергия балки при статическом приложении силы Q в точке удара; mA=Q/g – масса падающего груза; mB=F γ/g- масса балки; F=20,2 см2 – площадь сечения двутавра №16; β – коэффициент приведения массы балки к точке удара, который в данной задаче равен 17/35 [2].
3. Вычерчивают схему статического нагружения балки силой Q (см. рис. 9.29,б.). Вид деформирования - поперечный изгиб.
4. Решают статическую задачу
Для определения maxMхс строят эпюру изгибающих моментов Mхс (см. рис. 9.29,в)
5. Определяют Кд
В этой задаче учет собственного веса немного уменьшает динамический коэффициент.
6. Проверяют выполнимость условия прочности
а)
б)
Условие прочности не выполнено.
9.39. На стальную шарнирно опертую балку двутаврового сечения №22 а падает груз Q=1 кН посередине пролета. Какова скорость груза в момент соударения, если длина балки =2м, E=2·105 МПа наибольшие нормальные напряжения при ударе σд=120МПа. Задачу решить без учета массы балки и с учетом ее, если γ=78кН/м3.
9.40. Решить предыдущую задачу при условии, что одна из опор упругая, т.е. ее смещение на единицу приложенной к ней нагрузки равно 4·10-4мм/Н. Собственный вес балки не учитывать.
9.41. Груз Q=450 Н падает с высоты Н=10 см на балку, которая прогибается от удара на 2,5 см. Какая статическая нагрузка, приложенная в том же сечении балки, вызовет такой же прогиб ?
9.42. Двутавровая балка №60, шарнирно опертая по краям, подвергается посередине пролета удару грузом Q=8 кН, падающим с высоты 5 см. Стенка двутавра расположена вертикально. Определить максимальные напряжения в балке с учетом ее веса, если длина балки =4м, вес одного погонного метра равен 1,04 кН.
9.43. Деревянная балка прямоугольного поперечного сечения (h=20см,b=12 см) повергается удару грузом Q в точке В (рис.9.30). Наибольший прогиб балки в сечении D оказался равным 6мм. Чему равна высота падения груза, если Q=1кН, =1м, E=1·104МПа.
9.44. Груз весом 45 кН, приложенный посередине пролета балки, шарнирно опертой по концам, вызывает прогиб в этом сечении 2 см. Какой может быть наибольшая скорость груза весом 5 кН при его ударе по балке, чтобы прогиб балки не превышал 20 см.
9.45. На шарнирно-опертую по концам деревянную балку прямоугольного поперечного сечения 12×24 см посередине пролета =4м с высоты 5 см падает груз Q=1 кН. Определить наибольшие напряжения при изгибающем ударе по балке для двух вариантов:
а) в плоскости наибольшей жесткости;
б) в плоскости наименьшей жесткости.
9.46. К свободному концу двутавровой консольной балки длиной 1,6м внезапно без начальной скорости приложен груз Q=1,5 кН (рис.9.31). Проверить жесткость балки, если прогиб под грузом не должен превышать 2см. Модуль Юнга E=2·105МПа.
9 .47. На свободный край консольной балки падает груз Р. Для какой схемы нагружения (рис.9.32,а или 9.32,б) максимальный прогиб при ударе будет больше. Дано: Р, Н, Е, а, J.
9.48. Проверить прочность при ударе систем, изображенных на рис. 9.33,а,б,в и определить прогиб в месте удара. Принять E=2·105 МПа, [σ]д=160МПа.
9.3. Вынужденные колебания упругих систем
с одной степенью свободы
9.3.1. Продольные колебания
9.49. Электродвигатель весом Р=7 кН, укрепленный в узле А кронштейна ВАС (рис 9.34, а), делает nоб=2400об/мин. Центробежная сила инерции Н, возникающая вследствие неполной сбалансированности двигателя, равна 3 кН. Пренебрегая силами сопротивления и рассматривая лишь вертикальные вынужденные колебания, найти наибольшее нормальное напряжение в кронштейне и вертикальное перемещение узла А, если E=2·105МПа, F=20см2.
Решение
1. Так как сила Р (вес двигателя) и наибольшее значение возмущающей силы параллельны, статическое вертикальное перемещение от действия силы Р совпадает по направлению с перемещением от возмущающей силы, поэтому max σд и max δc определяет по формулам
2. Записывают формулу для определения динамического коэффициента Кд при отсутствии затухания (n=0) [2]
где - частота вынужденных колебаний; - частота собственных колебаний; δс – статическое перемещение точки приложения силы Р в направлении колебаний, то есть
3. Решают статическую задачу. Систему нагружают силой Р (рис. 9.34,б) и определяют вид деформирования – растяжение, сжатие. Для определения используют метод Максвелла-Мора (рис.9.34, в)
;
; ;
;
;
; .
- наиболее нагружен сжатый стержень.
4. Определяют ω и Кд
5. Определяют
9.50. Решить предыдущую задачу в предположении, что имеются силы сопротивления с коэффициентом затухания колебаний n=4с-1. Определить длину , при которой наступит резонанс и определить при этом величину max σд.
9 .51. На жестком брусе АВ, закрепленном, как указано на рис.9.35. установлен электромотор, вес которого Р=10кН. Центробежная сила Н, возникающая вследствие неполной уравновешенности частей двигателя, равна 4кН. Определить число оборотов мотора, при котором наступает резонaнс и наибольшие напряжения при этом, если коэффициент затухания равен n=3c-1, E=2·105МПа.
9 .52. К грузу Р=1кН, укрепленному на конце стержня длиной =1м и площадью поперечного сечения
F=1см2, подвешен груз Р1=20Н, который вращается на плече ρ=8см с частотой nоб=2400об/мин
(рис.9.36). Модуль упругости материала стержня E=2·105МПа. Проверить прочность стержня, если [σp]=[σ]=160МПа, силы сопротивления отсутствуют, массу стержня не учитывать.
Указания:
Центробежная сила инерции вызывает продольные колебания.
Линейное перемещение точки приложения груза Р при статическом нагружении в направлении продольных колебаний есть удлинение . Частота собственных колебаний , жесткость С =