- •Магнитное поле линейных и пространственных проводников с током методические указания
- •Магнитное поле линейных и пространственных проводников с током
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •1. Магнитное поле линейных проводников с током Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •2. Магнитное поле соленоида и тороида Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •3. Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции к расчёту полей Основные законы и формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •5. Магнитное поле вращающихся заряженных тел
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Библиографический список
- •Содержание
Задачи для самостоятельного решения
1. Катушка длиной содержит витков. По обмотке катушки идёт ток . Диаметр катушки равен . Определить магнитную индукцию в точке, лежащей на оси катушки на расстоянии от её конца.
Ответ: .
2. Обмотка катушки сделана из проволоки диаметром . Витки плотно прилегают друг к другу. Считая катушку достаточно длинной, найти индукцию магнитного поля внутри катушки при силе тока в .
Ответ: В=1,57мТл.
3. Из проволоки диаметром надо намотать соленоид, внутри которого индукция должна быть равна 30,17мТл. Предельная сила тока, которую можно пропускать по проволоке равна . Из какого числа слоёв будет состоять обмотка соленоида, если витки наматывать плотно друг к другу? Диаметр катушки считать малым по сравнению с её длиной.
Ответ: из слоёв.
4. Требуется получить индукцию магнитного поля, равную 1267мкТл, в соленоиде длиною и диаметром . Найти: 1) число ампер-витков, необходимых для этого соленоида, 2) разность потенциалов, которую надо приложить к концам обмотки, если для неё употребляется медная проволока диаметром . Считать поле соленоида однородным.
Ответ: NI=200 ампер-витков.
5. Какую ошибку мы допускаем, при нахождении индукции магнитного поля в центре соленоида, принимая соленоид задачи 3.4 за бесконечно длинный?
Ответ: .
6. Обмотка соленоида выполнена тонким проводом, плотно прилегающими друг к другу витками. Длина катушки равна , её диаметр . По обмотке идёт ток. Вычислить размеры участка на осевой линии, в пределах которого магнитная индукция может быть рассчитана по формуле бесконечного соленоида с погрешностью не превышающей .
Ответ: ; границы участка отстоят от концов катушки на .
3. Применение теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции к расчёту полей Основные законы и формулы
Теорема о циркуляции вектора :
.
Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов и . В некоторых случаях – при наличии специальной симметрии – теорема о циркуляции оказывается эффективной, позволяя очень просто находить .
Закон полного тока:
.
Примеры решения задач
1. Ток течёт по бесконечно длинному прямому проводу, имеющему круглое сечение, радиусом . Найти индукцию поля снаружи и внутри провода.
Решение.
Линии вектора должны иметь вид окружности, с центром на оси провода. Применим теорему о циркуляции
вектора для кругового контура радиусом (рис. 3.1 а): ,
г де , - поверхностная плотность тока.
Н
Рис. 3.1 а
.
Поле вне проводника определяется из условия
.
З
Рис. 3.1 б
Рис. 4.2 а
Решение.
Л
Рис. 3.2 а
где - поверхностная плотность тока, - площадь охватываемая контуром. , .
2) , , .
3) , , .
4) , , .
5) , ,
.
6) ,
,
.
На рис. 3.2 б представлен график зависимости индукции от расстояния от оси проводника. Из данного графика следует, что магнитное поле сосредоточено внутри коаксиального кабеля.
3
Рис. 3.3
Найти магнитную индукцию внутри полости.
Решение.
Искомую величину можно представить согласно принципу суперпозиции, как
,
где - магнитная индукция в том случае, если бы проводник был сплошным (без полости), а - магнитная индукция поля в той же точке от тока, текущего в противоположном направлении по части провода, которая удалена, образовав полость кругового сечения.
Найдём внутри сплошного провода на расстоянии от его оси (рис. 3.3). Воспользовавшись теоремой о циркуляции, запишем
.
Найдём также
.
Представим полученные равенства в векторной форме, учитывая, что - взаимно перпендикулярны, и искомую величину найдём из принципа суперпозиции
,
где .
Окончательно
.
4. Ток течет по длинному прямому проводнику круглого сечения. Пренебрегая влиянием вещества проводника, найти магнитный поток через одну из половин его осевого сечения в расчёте на один метр длины.
Решение.
Искомый поток будем искать через сечение 1234 (рис. 3.4). Для этого воспользуемся стандартной формулой для расчёта потока и применим теорему о циркуляции вектора магнитной индукции
,
,
где .
Для контура радиуса r можно записать
Рис. 3.4
Поток через половину осевого сечения высотой найдётся как
.
Поток на один метр длины проводника найдём, поделив найденное значение на
.
5. Определить индукцию магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержащей витков, идёт ток . Внешний диаметр тороида равен , внутренний .
Решение.
Для контура радиуса , проходящего внутри тороида, обмотка которого содержит витков, в соответствии с теоремой о циркуляции, можно написать
Учитывая, что - средняя линия тороида
,
найдём .
6. На рис.3.5 показан кольцевой соленоид прямоугольного сечения. Найти магнитный поток через это сечение, если ток в обмотке , полное число витков , отношение внешнего диаметра к внутреннему и толщина .
Решение.
Для контура радиусом , проходящего внутри соленоида, содержащего витков, можно написать
.
Магнитный поток через элемент поверхности высотой и шириной равен
.
Полный магнитный поток через сечение соленоида найдётся интегрированием по в пределах от до
.