Учебное пособие 800669
.pdf
|
1 ( 1) 1 |
1 |
1 ( 1) |
1 |
|
||||||
U( ) |
j |
|
|
|
|
;V( ) j |
|
|
|
|
(3.51) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
На рис. 3.10 приведены АФЧХ интегрирующих звеньев при =2 и =3.
Сопоставляя их с рис. 3.8, б, нетрудно придти к выводу, что увеличение
(порядка астатизма) приводит к повороту АФЧХ на угол по часовой
2
стрелке. На столько же изменяется и ФЧХ соответствующего звена.
Из выражения (3.50) нетрудно получить
H( ) |
1 |
; |
( ) |
|
. |
(3.52) |
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
Логарифмируя формулы (3.52), получим
L( ) 20lg H( ) 20 lg ; ( )
2 .
Таким образом, ЛАЧХ звеньев имеет наклон -20 дБ/дек, а ЛФЧХ
идет по оси .
2
Реальные интегрирующие звенья обычно обладают определенной инерцион-
ностью, вследствие чего их выходная вели-
чина не равна точно интегралу от входной
Рис. 3.10. АФЧХ интегрирующих величины. Передаточная функция реально-
звеньев: а – при =2; б – при =3
го интегрирующего звена содержит инер-
ционную (балластную) составляющую и имеет вид:
W( s) |
k |
(3.53) |
s(Ts 1)
Поэтому реальное интегрирующее звено не является типовым элемен-
тарным звеном, т. к. его можно представить в виде соединения типовых звеньев – идеального интегрирующего, усилительного и апериодического первого порядка.
201
3.1.6. Колебательное звено
Колебательное звено получается при наличии двух соединенных емко-
стей, способных запасать количество энергии двух видов и взаимно обмени-
ваться этими количествами. Если в результате колебаний запас энергии, по-
лученный в начале возмущения, в звене уменьшается, то колебания затухают и звено является устойчивым. Колебательное звено характеризуется переда-
точной функцией вида
W( s ) |
Y( s ) |
|
k |
(3.54) |
|
|
|||
|
X( s ) T2 s2 2 Ts 1 |
|
где k - коэффициент усиления; T - постоянная времени; - коэффициент за-
тухания.
Вводя обозначения T1= T, |
T2 |
2 , запишем (3.54) в виде |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
T1 |
|
|
|
|||
W( s ) |
Y( s ) |
|
|
k |
|
(3.55) |
||
|
|
T s 1 |
||||||
|
X( s ) T2 s2 |
|
||||||
1 |
2 |
|
|
Пусть Т1 и Т2 связаны следующим условием малости Т2 по сравнению с
|
|
|
T2 |
|
1 |
|
(3.56) |
|
|
|
2T1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Это означает, что корни характеристического уравнения |
||||||||
|
T2 2 |
T 1 0, |
(3.57) |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
соответствующего дифференциальному уравнению |
|
|||||||
|
T2 |
d2 y |
|
dy |
|
(3.58) |
||
|
|
T |
y kx |
|||||
|
1 dt2 |
|
2 dt |
|
|
|
||
и равные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 T22 4T12 |
|
j |
1 2 |
||||
|
2T2 |
|
|
|
|
(3.59) |
||
1,2 |
|
|
|
|
T |
|
T |
|
Т1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1
являются комплексными.
202
Уравнение установившегося (статического) режима этого звена, со-
гласно (3.58), имеет вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
yуст kxуcт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.60) |
||||||
Переходная функция, являющаяся решением |
уравнения (3.58) при |
||||||||||||||||||||||||
х=[1], имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
h(t ) k 1 |
|
|
|
|
|
e t sin |
t arctg |
|
|
(3.61) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
4T12 |
T22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
T2 |
|
|
, |
|
|
|
|
1 2 |
; |
|
|
|
1 2 |
|
– соответствен- |
|||||||||
2T2 |
|
|
2T |
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
T |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но действительная, мнимая части корней (3.59) характеристического уравне-
ния (3.57) и их отношение (тангенс фазового угла).
На рис. 3.11, а показаны переходные характеристики колебательного звена для ряда значений . Как видно из рисунка, с ростом значения коле-
бательность переходного процесса уменьшается, исчезая совсем при 1.
По экспериментально снятой переходной характеристике можно найти значения параметров T1, Т2 и k уравнения звена:
k |
y |
уст |
, T |
1 |
|
, T |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.62) |
|||
xуст |
|
|
|
2 |
2 |
|||||||
|
1 |
|
2 2 |
2 |
|
|
Входящие сюда величины и вычисляются непосредственно по пе-
реходной характеристике следующим образом.
Согласно (3.61) величина , являясь частотой колебаний, равна
|
2 |
, |
(3.63) |
|
|||
|
|
|
где – период колебаний, определяемый по переходной характеристике
(рис. 3.11, а). Величина в соответствии с (3.61) характеризует степень зату-
хания колебаний и может быть найдена из выражения
203
Рис. 3.11. Характеристики колебательного звена
ymax2 e
ymax1 |
, |
где ymax1, ymax2 – амплитуды колебания у относительно конечного устано-
вившегося его значения, отстоящие друг от друга на время, равное периоду
колебаний (рис. 3.11, а).
Отсюда
|
1 |
ln |
ymax2 |
|
1 |
2,31 lg |
ymax2 |
(3.64) |
|
ymax1 |
|
ymax1 |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
204 |
|
|
Амплитудно-фазовая частотная характеристика согласно (3.55)
W( j ) |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(1 T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 ) jT |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
(3.65) |
||
|
k(1 T2 |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
kT |
|
|
|||||||||
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
U( ) jV( ) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
|||||
|
(1 T |
|
) |
T |
|
|
|
(1 T |
|
) |
T |
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Соответствующая характеристика показана на рис. 3.11, в.
Частотные характеристики звена определяются выражениями, сле-
дующими из (3.65):
H( ) |
|
|
k |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(1 T2 2 )2 |
T2 2 |
|
|
|
|
|||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
(3.66) |
|||||
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) arctg |
|
|
, |
|
|
|
|
|||||
1 T2 2 |
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L( ) 20lg H( ) 20lgk 20lg |
|
(1 T2 2 |
)2 |
T2 2 . |
(3.67) |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|||
На рис. 3.11, г приведены точные ЛАЧХ колебательного звена при k = 1. |
||||||||||||
Для построения асимптотической ЛАЧХ, как и ранее, рассмотрим два |
||||||||||||
интервала частот >>1 и <<1. При <<1 из (3.67) следует: |
|
|||||||||||
L( ) 20lgk 20lg1 20lgk . |
|
|
|
(3.68) |
Согласно (3.68) первая асимптота идет параллельно оси абсцисс на вы-
соте 20lgk.
При >>1, пренебрегая T22 2 и 1 по отношению к T14 4, перепишем
(3.67) в виде
L( ) 20lgk 20lg T4 4 20lgk 40lgT |
(3.69) |
||||
1 |
|
1 |
|
||
Из уравнения (3.69) следует, что вторая асимптота имеет наклон -40 |
|||||
дБ/дек. |
|
|
|
|
|
Приравнивая (3.68) к (3.69) и решая полученное уравнение, относи- |
|||||
тельно определим частоту сопряжения |
|
|
1 |
. Асимптотическая ЛАЧХ |
|
0 |
|
||||
|
|
T |
|
||
|
|
1 |
|
|
колебательного звена при k=1 приведена на рис. 3.11, г.
205
При 0,4 < < 0,7 расхождение между асимптотической и истинными ЛАЧХ не превышает 3 дБ, как и в случае апериодического звена (см. рис. 3.7,
г). Поэтому для звеньев с таким значением можно пользоваться асимптоти-
ческими ЛАЧХ. При других значениях асимптотическую ЛАЧХ корректи-
руют с помощью готовых графиков поправок, дающих разность между ис-
тинной и асимптотической ЛАЧХ. Эти графики приведены на рис. 3.12.
ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях
приведены на рис. 3.11, г вме-
сте с ЛАЧХ.
|
3.1.7. Апериодическое звено |
|
второго порядка |
Рис. 3.12. Графики поправок к асимптотической |
Рассмотрим звено, опи- |
ЛАЧХ колебательного звена |
сываемое уравнением (3.58), но |
|
при T2 1, т.е. при невыполненном условии (3.56).
2T1
В этом случае согласно (3.59) характеристическое уравнение, соответ-
ствующее дифференциальному уравнению (3.58), имеет не комплексные, а
отрицательные действительные корни. Поэтому такое звено уже не является колебательным. Оно называется апериодическим звеном второго порядка.
Передаточная функция (3.55) в этом случае может быть представлена в виде
W( s ) |
k |
(3.70) |
, |
(T3s 1)(T4 s 1)
|
T |
T2 |
4T2 |
|
где T |
2 |
2 |
1 |
. |
|
|
|
||
3,4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Операторное дифференциальное уравнение второго порядка, соответ-
ствующее (3.70), может быть заменено двумя операторными дифференци-
альными уравнениями первого порядка:
206
(T3s 1)z kx,
(T4 s 1)y z,
где z – промежуточная переменная. Это означает, что рассматриваемое апе-
риодическое звено второго порядка может быть заменено в структурной схе-
ме двумя звеньями первого порядка, описываемыми этими уравнениями, и,
следовательно, его нельзя считать элементарным звеном.
3.1.8. Консервативное звено
Еще одним частным случаем звена, описываемого уравнением (3.58),
является так называемое консервативное звено. У этого звена T2 = 0 и, следо-
вательно, дифференциальное уравнение имеет вид:
2
T2 d y y kx (3.71) dt2
а передаточная функция –
W(s) |
k |
|
. |
(3.72) |
T2s2 |
|
|||
|
1 |
|
Переходная характеристика такого звена представляет собой незату-
хающие колебания.
3.1.9. Идеальное дифференцирующее звено |
|
||
Дифференциальное уравнение звена |
|
||
y T |
dx |
, |
(3.73) |
|
|||
d dt |
|
где Td – постоянная времени дифференцирования.
Таким образом, в соответствии с названием выходная величина такого звена пропорциональна производной от входной величины.
Переходная функция согласно (3.73)
h(t ) Td (t ). |
(3.74) |
Передаточная функция
207
W( s ) Td s .
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
W ( j ) jTd
т. е. она совпадает с положительной мнимой полуосью (рис. 3.13, а).
Согласно (3.76),
H( ) T , |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
( ) arctg |
T |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||
0 |
2 |
|
(3.75)
(3.76)
(3.77)
Рис. 3.13. Характеристики идеального дифференцирующего звена
Соответственно
L( ) 20lg H( ) 20lgTd 20lg |
(3.78) |
Общий вид логарифмических амплитудной и фазовой характеристик
звена приведены на рис. 3.13, б, в.
Передаточная функция и соответственно характеристики дифференци-
рующего звена обратны передаточной функции и характеристикам интегри-
рующего звена.
Реальные дифференцирующие звенья обладают конечной инерционно-
стью, вследствие чего осуществляемое ими дифференцирование не является точным. Передаточная функция реального дифференцирующего звена имеет вид
W( s) Td s (Ts 1).
Поэтому, как и реальное интегрирующее звено, реальное дифференци-
рующее звено не является типовым, поскольку его можно заменить соедине208
нием идеального дифференцирующего звена и апериодического звена перво-
го порядка.
3.1.10. Дифференцирующие звенья первого и второго
порядков
Передаточная функция дифференцирующего звена первого порядка
имеет вид:
Рис. 3.14. Переходная функция дифференцирующих звеньев: а) – первого порядка; б) – второго порядка
W( s) |
Y( s ) |
|
T s 1, |
(3.79) |
|
X( s ) |
|||||
|
d |
|
тогда дифференциальное уравнение этого звена можно записать в виде
y(t ) T |
dx |
x(t ). |
(3.80) |
|
|||
d |
dt |
|
Из уравнения (3.80) при нулевых начальных ус-
ловиях и x(t)= [1] найдем переходную функцию диф-
ференцирующего звена первого порядка
h(t ) Td (t ) [1] |
(3.81) |
Переходная функция, соответствующая |
(3.81) |
представлена на рис. 3.14. Амплитудно-фазовая час-
тотная характеристика дифференцирующего звена первого порядка получается из выражения (3.79), ес-
ли в него подставить s=j :
U( ) 1, V( ) Td
|
АФЧХ дифференцирующего |
|
звена первого рода представлена на |
Рис. 3.15. АФЧХ дифференцирующих звеньев: |
рис. 3.15. |
|
|
а) – первого порядка; б) – второго порядка |
Для дифференцирующих |
звеньев с нулями в правой полуплоскости вида W( s ) Td s 1, |
W ( s ) 1 Td s |
209 |
|
|
АФЧХ приведены на рис. 3.16 а, |
|||||||
|
б. Из (3.82) следует |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H( ) Td |
2 2 1, |
(3.83) |
|||||
|
( ) arctgTd . |
|
|
|
||||
|
На основании (3.83) ЛАЧХ |
|||||||
Рис. 3.16. АФЧХ звеньев с нулями |
звена определяются выражения- |
|||||||
ми |
|
|
|
|
|
|
||
в правой полуплоскости: |
|
|
|
|
|
|
||
а – W(s)=Tds-1, б – W(s)=1- Tds |
|
|
|
|
(3.84) |
|||
L( ) 20lgH( ) 20lg Td |
2 2 1, |
|||||||
|
( ) arctgTd . |
|
|
|
|
|
|
Сравнивая (3.31) и (3.84) можно придти к выводу, что ЛАЧХ диффе-
ренцирующего звена первого порядка представляет собой зеркальное ото-
бражение относительно оси Т соответствующих ЛАЧХ апериодического звена.
Передаточная функция дифференцирующего звена второго порядка
имеет вид:
W(s) |
Y(s) |
|
T2s2 2 Ts 1. |
(3.85) |
||||
X(s) |
||||||||
|
d |
|
||||||
Соответствующее дифференциальное уравнение будет |
|
|||||||
y(t ) T 2 |
d2 x |
2 T |
dx |
x(t ) . |
(3.86) |
|||
|
|
|||||||
d dt2 |
|
dt |
|
Из (3.86) можно получить переходную функцию звена (рис. 3.14, б) в виде
h(t ) T |
2 |
d |
2 T (t ) [1] . |
(3.87) |
|
|
dt |
||||
d |
|
d |
|
|
|
АФЧХ дифференцирующего звена второго порядка получается по пе- |
|||||
редаточной функции (3.85) после подстановки s = j : |
|
||||
U( ) 1 T2 2 ; |
V( ) 2 T |
(3.88) |
|||
|
|
|
d |
d |
|
Имея в виду выражение (3.88)), можно построить АФЧХ для диффе-
ренцирующего звена второго порядка (см. рис. 3.15, б). На основании выра-
жения (3.88) определим
210