Учебное пособие 800669
.pdfH( ) (1 T2 |
2 )2 4 |
2T2 |
2 , |
|
|
|
|||
|
d |
|
|
|
d |
|
|
|
(3.89) |
( ) arctg |
2 Td |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
1 T2 2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
||
Логарифмируя первое уравнение (3.89), получим |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
. |
(3.90) |
||
L( ) 20lg H( ) 20lg |
|
(1 T 2 |
2 |
)2 4 2T2 |
2 |
||||
|
|
|
|
d |
|
d |
|
|
|
Сравнивая формулу (3.90) с выражением (3.67), можно установить, что
ЛАЧХ рассматриваемого дифференцирующего звена второго порядка пред-
ставляет зеркальное отображение относительно оси частот логарифмических амплитудных характеристик колебательного звена при k=1. Это же можно сказать и относительно ЛФЧХ этих звеньев (см. второе уравнение (3.89) и (3.66)).
По аналогии с дифференциальным звеном первого порядка к числу ти-
повых относят дифференциальные звенья второго порядка с правыми полю-
сами
W(s ) T2s2 |
2 T s 1, |
(3.91) |
d |
d |
|
W(s) T2s2 |
2 T s 1, |
(3.92) |
d |
d |
|
а также вырожденные дифференциальные звенья второго порядка с переда-
точными функциями
W ( s ) Td2 s2 |
1; |
|
||
W ( s ) T |
2 s2 |
1; |
. |
(3.93) |
d |
|
|
|
|
W ( s ) T |
2 s2 . |
|
|
|
d |
|
|
|
3.1.11.Звено чистого (транспортного) запаздывания
Передаточная функция звена чистого (транспортного) запаздывания
W( s ) e s |
(3.94) |
где время запаздывания.
Связь между входной и выходной величиной звена запаздывания мож-
но представить в виде /24/:
211
0, |
0 t |
; |
y(t ) |
|
(3.95) |
x(t ), |
t , |
т, е. выходная величина звена запаздывания отстает от входной величины на
время .
Если на входе звена запаздывания произведено мгновенное возму-
щающее воздействие, то на его выходе будет «копия» входной величины,
сдвинутая по оси абсцисс на время запаздывания.
Пусть на вход звена запаздывания поступают гармонические колебания
x(t ) x0ej t .
Тогда на выходе звена, как это ясно из предыдущего изложения, воз-
никнут колебания такой же амплитуды, но сдвинутые по фазе на угол
y(t ) x0ej ( t ) . |
|
Как следует из (3.94), АФЧХ звена запаздывания будет равна: |
|
W( j ) e j |
(3.96) |
Таким образом, модуль АФЧХ не зависит от частоты и равен единице
Н( ) =1, а фаза ( )= - , т.е. график АФЧХ представляет собой кривую,
навивающуюся на окружность единичного радиуса с центром в начале коор-
|
динат. |
|
|
|
|
ЛАЧХ и ЛФЧХ звена запаз- |
|||
|
дывания при = 1 приведены на |
|||
|
рис. 3.17. |
|
|
|
|
Анализ |
амплитудно-фазовых |
||
|
частотных характеристик |
рассмот- |
||
|
ренных динамических звеньев при |
|||
|
предельных |
значениях |
частоты |
|
Рис. 3.17. Логарифмические частотные |
( =0 и = ) позволяет сделать вы- |
|||
вод о наличии двух типов звеньев, |
||||
характеристики звена запаздывания |
которые называются минимально-фазовыми и неминимально-фазовыми. 212
К первым относятся звенья, у которых нули и полюса (включая и нуле-
вой полюс) располагаются в левой полуплоскости. В этом случае фазовая ха-
рактеристика может иметь вполне однозначное соответствие амплитуде, т. е.
при падении амплитудной характеристики типового звена на ±20n дБ/дек фа-
зовая характеристика стремится к n (n – порядок характеристического
2
уравнения). Расположение нулей и полюсов передаточной функции слева от мнимой оси определяет минимально-фазовые свойства не только звеньев, но и систем. Минимально-фазовые системы отличатся тем, что из всех возмож-
ных систем с одной и той же амплитудной характеристикой Н( ) сдвиг фазы будет у них наименьшим по сравнении с другими системами при любом зна-
чении частоты .
Если нули или полюса передаточных функций звеньев или систем рас-
положены в правой полуплоскости, то такие звенья или системы называются неминимально-фазовыми. Все трансцендентные звенья являются также не-
минимально-фазовыми.
3.2.Соединение звеньев и преобразование структурных схем
Структурой системы автоматического регулирования будем называть совокупность определенным образом связанных функциональных элементов системы. Функциональные элементы осуществляют необходимые преобразо-
вания информации; под связями будем понимать каналы передачи информа-
ции. Таким образом, говоря, что система автоматического регулирования об-
ладает той или иной структурой, будем предполагать, что система содержит те или иные элементы, связанные тем или иным образом.
Графически структуру системы отображает структурная схема.
Структурная схема может быть детализированной в различной степени.
По виду структурных схем системы автоматического регулирования разделяются на одноконтурные и многоконтурные.
213
Одноконтурной (рис. 3.18, а) называется система, структурная схема которой имеет форму замкнутого контура, образованного цепочкой последо-
вательно соединенных звеньев. Одноконтурные системы наиболее просты,
легче поддаются анализу.
На рис. 3.18 указаны нумерованные операторы отдельных звеньев,
представление которых определяется видом их математической модели.
|
|
(t) |
y1(t |
|
|
|
y(t) |
В |
пространстве |
сигналов |
||||||||||
g(t) |
|
|
|
|
операторами являются передаточ- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные функции звеньев, |
соединен- |
|||||||||
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ные одномерными линиями связи. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
а) |
|
|
|
|
|
|
y(t) |
В пространстве состояний реали- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зуется многомерная система, опи- |
||||||
|
|
|
(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
g(t) |
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
сываемая |
уравнениями |
состояния |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и выхода, полностью |
характери- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зуемая набором трех матриц: А, В, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С. Линии связи между звеньями в |
||
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этом случае также являются мно- |
||||
|
Рис. 3.18. Одноконтурная (а) и |
|||||||||||||||||||
|
гомерными. |
|
||||||||||||||||||
многоконтурная (б) структурные схемы |
|
Многоконтурной (рис. 3.18,
б) называется система, в структурной схеме которой звенья образуют не-
сколько замкнутых контуров. Многоконтурные системы значительно слож-
нее одноконтурных, допускают множество разновидностей, более сложно анализируются. Поэтому обычно с помощью несложных преобразований структурные схемы многоконтурных систем регулирования заменяют одно-
контурными схемами, составленными из более сложных звеньев. Отдельные звенья на фигуре обозначены прямоугольниками, а окружности с наклонны-
ми взаимно перпендикулярными диаметрами соответствуют суммирующим устройствам. Направление связей между звеньями и суммирующими устрой-
ствами нанесено сплошными линиями со стрелками на них. Если сигнал на
214
суммирующее устройство приходит с отрицательным знаком, то соответст-
вующий сегмент закрашивается черным цветом, либо рядом с соответст-
вующей стрелкой ставится знак «–». Знак «+» не указывается.
При преобразовании структурных схем несколько простых звеньев за-
меняется более сложным звеном, передаточная функция которого определя-
ется с помощью простейших правил.
3.2.1. Соединения звеньев, представленных передаточными функциями
|
Рассмотрим последовательное соединение звеньев, с операторами А1 и |
|||||||
А2 |
представленными передаточными функциями W1(s) и W2(s) (рис. 3.18, а). |
|||||||
В |
соответствии с (2.26), |
(2.30) |
можно записать Y1(s)=W1(s) (s); |
|||||
Y(s)=W2(s)Y1(s), или (s) |
Y(s) |
|
|
W (s)W |
|
(s), где (s), Y1(s), Y(s) – преоб- |
||
|
|
|
2 |
|||||
|
|
( s) |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
разованные по Лапласу сигналы (t), y1(t) и y(t). Распространяя результат на k
последовательно соединенных звеньев, получим:
k |
|
|
(s) Wi (s). |
(3.97) |
|
i |
1 |
|
Таким образом, преобразование цепочки последовательно включенных звеньев состоит в замене этой цепочки одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций отдельных звеньев,
Для оценки чувствительности соединения предположим, что изменя-
ются характеристики первого звена: W1( s ) W10 W1 . Передаточная функ-
ция соединения при этом запишется так /7/:
( s ) 0 (W10 W1 )W2 W10W2 W2 W2 ,
т. е. абсолютная функция чувствительности T W .
W1 2
Относительная чувствительность определяется по формуле (2.265): SW 1.
Тот же результат получится и для относительной чувствительности к W2.
Относительная чувствительность последовательного соединения к ва-
риациям любого из звеньев равна единице. Это значит, что изменение модуля
215
передаточной функции или амплитудно-частотной характеристики любого из звеньев на сколько-то процентов приводит к изменению модуля передаточ-
ной функции системы и ее частотной характеристики на столько же процен-
тов. Следовательно, нельзя изменить относительную чувствительность сис-
темы последовательным включением новых звеньев или удалением части существующих.
y1(t)
A1
x(t) |
y(t) |
Ak yk(t)
Рис. 3.19. Параллельное согласное соединение звеньев
соотношением:
В данном и последующих случаях предполагается, что все рассматриваемые звенья обладают направленностью дейст-
вия, т. е. являются детектирующими.
При параллельном согласном соеди-
нении звеньев (рис. 3.19) при Ai = Wi(s)
сигнал на выходе определяется очевидным
k |
|
|
( s) Wi ( s) |
(3.98) |
|
i |
1 |
|
Для оценки чувствительности рассмотрим два параллельно соединен-
ных звена с передаточными функциями W1 и W2, опустив, как и ранее, их за-
висимость от параметра s. Пусть изменяется первое звено:
W1( s ) W10 W1 . Передаточная функция системы при этом запишется так:
( s ) 0 W10 W1 W2 .
Следовательно, абсолютная функция чувствительности для этой струк-
туры всегда равна единице /7/: T |
W |
2 |
. |
|||
|
|
W1 |
|
|
||
Выражение для относительной функции чувствительности находится |
||||||
по формуле (2.265): S |
W1 |
. |
|
|
||
|
|
|
||||
W1 |
W W |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Чем больше модуль передаточной функции варьируемого звена, тем больше относительная чувствительность, т. е. вклад звена в передачу систе-
216
мы в целом. Если |
|
W |
( s ) |
|
|
|
W |
( s ) |
, то |
S |
1; если |
|
W |
( s ) |
|
|
|
W |
( s ) |
, то |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
W1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SW1 0. Уменьшить чувствительность передачи системы к вариациям звена
можно увеличением усиления неварьируемого звена, подсоединенного па-
раллельно.
Вслучае параллельного встречного соединения (рис. 3.20) (соединение
собратной связью) при условии A1= W1(s), A2=
g(t) |
|
(t) |
y(t) |
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
y1(t) |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 3.20. Параллельное встречное соединение звеньев
W2(s), A3= W3(s), передаточная функция соеди-
нения определяется из системы равенств ис-
ключением промежуточной переменной Y1(s)
( s ) G( s ) Y1(s ) |
(3.99) |
|||
Y ( s ) W |
(s )Y(s ) |
, |
||
1 |
2 |
|
|
|
Y( s ) W1(s ) (s ) |
|
|
||
|
|
в виде
( s) |
Y(s ) |
|
|
W1 |
(s) |
|
(3.100) |
G( s) |
|
|
|
||||
|
1 W1(s)W2 ( s) |
|
Знак «+» в (3.100) соответствует отрицательной обратной связи, а знак
«–» - положительной.
Таким образом, структурная схема любой сложности может быть при-
ведена к единственному эквивалентному звену, передаточная функция кото-
рого устанавливает связь «вход-выход» между выбранными переменными исходной схемы. Например, рассматривая в качестве выхода сигнал ошибки
(рассогласования) (t) при отрицательной обратной связи, на основании уравнений (3.99) имеем
W(s) |
(s) |
|
1 |
(3.101) |
|
|
G(s) 1 W1(s)W2(s)
Рассмотрим изменения функций чувствительности при вариации пара-
метров отдельных звеньев. Пусть, как и ранее W1( s ) W10 W1 , т.е. изме-
няется передача звена, находящегося в прямом канале. Абсолютная функция чувствительности соединения находится дифференцированием выражения
217
(W1) /7/:
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
TW1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
(1 W W ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
Относительная функция чувствительности определяется по формуле |
||||||||
(2.265): S |
1 |
|
и равна отношению передаточной функции системы |
|||||
1 W W |
|
|||||||
W1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
к передаточной функции варьируемого звена S |
|
|
. |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
W1 |
W1 |
В результате можно заключить, что использование обратной связи по-
зволяет существенно изменить относительную чувствительность.
При повышении усиления контура за счет любого из звеньев относи-
тельная чувствительность системы с отрицательной обратной связью умень-
шается.
Отрицательная обратная связь существенно уменьшает влияние изме-
нений прямого канала на передачу всего соединения, если усиление контура велико.
Этим широко пользуются на практике. Поскольку объект управления находится в прямом канале, то повышение усиления контура при стабильной обратной связи (датчик управляемой переменной) уменьшает чувствитель-
ность передачи системы по каналу воспроизведения задающего воздействия.
В динамических системах усиление контура на различных частотах не-
одинаково. Следовательно, обратная связь уменьшает чувствительность только в тех интервалах частот, где усиление велико. На частотах, где усиле-
ние контура мало, относительная чувствительность характеристики замкну-
той системы будет близка к единице.
Большое усиление контура обеспечивает инвариантность переменной выхода системы с обратной связью к сигнальному возмущению и одновре-
менно ослабляется и влияние параметрических воздействий среды. В этом заключается универсальность обратной связи.
218
Пусть теперь изменяется звено обратной связи: W2 (s ) W20 W2 .
Абсолютная функция чувствительности передачи системы к вариациям
звена
|
|
W12 |
|
TW2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
(1 W1W2 ) . |
|
Выражение для относительной чувствительности имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
W1W2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SW2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 W W |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 . |
|
|
|
|
Она равна произведению передаточной функции системы и передаточ- |
||||||||||||
ной функции варьируемого звена с обратным знаком: S |
W |
2 |
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 |
|
|
|
При повышении усиления контура относительная чувствительность |
||||||||||||
увеличивается: |
|
W |
( s )W |
|
( s ) |
|
, |
S 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
W2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применительно к системам управления, реализующим принцип управ-
ления по отклонению, можно говорить о необходимости стабильной обрат-
ной связи.
В общем случае структурных преобразований, особенно при наличии нестационарных звеньев, применим метод уравнивающих операторов /9, 42/.
В случае систем произвольной структуры для анализа чувствительности це-
лесообразно использовать частотный метод структурной теории чувстви-
тельности /20/.
3.2.2. Соединения звеньев, представленных уравнениями состояния и выхода
В данном случае необходимо определить результирующие матрицы со-
единений, позволяющие представить его в виде (2.102). Пусть операторы со-
единяемых звеньев представлены в пространстве состояний соотношениями:
x1 |
A1 x1 |
B1 g1 |
, |
y1 |
C1 x1 |
(3.102) |
x2 |
A2 x2 |
B2 g2 |
, |
y2 |
C2 x2 |
(3.103) |
|
|
|
219 |
|
|
|
Условие последовательного соединения звеньев имеет вид: g2 = y1 при совпадающей размерности соответствующих векторов. Тогда из (3.102) и (3.103) следует: g2=y1 = C1x1. Полагая далее g1 = g, y2 = y, перепишем соотно-
шения (3.102) и (3.103) в виде
x |
|
|
|
A |
0 x |
|
|
B |
|
x |
|
(3.104) |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
g, |
y2 (0 C2 ) 1 |
|
|
x2 |
B2C1 |
A2 x2 |
|
0 |
|
x2 |
|
Полагая x=(x1, x2)T, и сравнивая с (2.102) при D = 0, получим матрицы соединения
|
A |
|
0 |
|
B |
|
C (0 C2 ) |
(3.105) |
|
A |
1 |
|
A |
, |
B |
1 |
, |
||
|
B C |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
При параллельном согласном соединении (рис. 3.19) двух звеньев, опи-
сываемых (3.102) и (3.103), можно записать: y=y1+y2, g=g1+g2 при равной раз-
мерности соответствующих векторов.
Тогда
|
A |
0 |
|
|
B |
|
C (C1 C2 ). |
(3.106) |
A |
1 |
A |
, |
B |
1 |
, |
||
|
0 |
|
|
B |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
В случае соединения с обратной связью условия соединения имеют вид: g1=g±y2, g2=y1, g2=y1.
Положим в (3.102) g1= g ± y2 = g ± С2x2, а в (3.103) g2=С1x1. Поскольку y=y1, уравнение эквивалентной системы имеет вид:
x |
|
|
|
A |
B C |
|
x |
|
|
B |
|
y2 (C1 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
|
1 |
g, |
0 ) |
1 |
|
|||
x2 |
B2C1 |
A2 |
|
x2 |
|
0 |
|
|
x2 , |
откуда, полагая x=(x1, x2)T и сравнивая с (2.102) при D = 0, получим матрицы соединения
|
A |
B C |
|
|
B |
|
, |
C (C1 |
0 ) |
(3.107) |
|
A |
1 |
1 |
2 |
, |
B |
1 |
|
||||
B2C1 |
A2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
В (3.107) знак «+» соответствует положительной, а знак «–» – отрицательной обратной связи.
220