- •Введение
- •Лекция 1 Математическое моделирование силового взаимодействия в зоне резания при изготовлении деталей на станках
- •Лекция 2 Порядок проведения силовых экспериментов и аппроксимации результатов измерений (получения математических моделей)
- •Лекция 3 Аналитическая обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов
- •Лекция 4-5 Математическое моделирование упругих деформаций в технологической системе
- •Лекция 6 Математическое моделирование точности обработки деталей на станках Основные факторы, определяющие погрешность обработки деталей
- •Расчетно – аналитический метод определения точности обработки
- •Моделирование точности обработки деталей на основе динамических характеристик станков
- •Моделирование управления производительностью, себестоимостью и точностью обработки деталей на станках с чпу
- •Расчет производительности гибких производственных систем
- •Лекция 10 Производительность и надежность автоматических и автоматизированных станочных систем Производительность и надежность сблокированных автоматических линий
- •Производительность и надежность гибких производственных систем
- •Лекция 11 Оптимизация выбора материалов, технологий и оборудования
- •Элементы теории надежности
- •Элементы исследования операций
- •Лекция 12 Оптимизация выбора материала
- •Сравнительная оценка по свойствам
- •Сравнительная оценка по стоимости
- •Сравнительная оценка по технологичности
- •Свойства сталей конкурирующих марок
- •Оптимизация выбора материала математическим моделированием
- •Лекция 13 Оптимизация выбора технологии и оборудования термической обработки Оптимизация выбора технологий
- •Оптимизация выбора оборудования
- •Оптимизация выбора систем и средств контроля
- •Оптимизация вариантов статистического управления качеством
- •О порядке проведения работ по выбору материалов и упрочняющих технологий
- •Лекция 15-16 Объемное планирование работы технологических станочных систем
- •Участка при достижении максимальной загрузки технологического оборудования
- •Задача о минимальной загрузке оборудования
- •Задача об оптимальном распределении деталей по станкам
- •Задача о производстве продукции при ограниченных запасах сырья
- •Формирование расписания работы оборудования методами линейного и динамического программирования
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
Лекция 3 Аналитическая обработка экспериментальных данных методом наименьших квадратов
Для понимания сути данного метода рассмотрим сначала рис. 5. На нем в обычных и логарифмических координатах изображены опытные значения (точки) и, соответственно, аппроксимирующая кривая и аппроксимирующая прямая.
Рис.5. Иллюстрация реализации метода наименьших квадратов
На данном рисунке y1, y2, …, yn – экспериментальные значения, f(x1), f(x2), …, f(xn) – расчетные значения аппроксимирующей функции. Аналогичные значения, но только в логарифмическом измерении, приведены на правой части рисунка.
В основе метода наименьших квадратов лежит следующее положение: наилучшее приближение аппроксимирующей функции y = f(x) к экспериментальным данным будет в том случае, когда сумма квадратов отклонений расчетных значений f(x1), f(x2), …, f(xn) от экспериментальных данных y1, y2 … yn, является минимальной, т.е.
или
Разность в выражении для S есть отклонение по ординате i – ой экспериментальной точки от заменяющей (аппроксимирующей) кривой. Квадраты отклонений берутся, чтобы компенсировать знаки «-» отклонений.
Сумма S’ будет минимальной, если ее частные производные по параметрам C и k равны нулю. Произведя дифференцирование и соответствующие преобразования, получают систему нормальных уравнений, которая затем решается для нахождения искомой постоянной C и показателя степени k. Существуют компьютерные программы для обработки экспериментальных данных с целью получения аппроксимирующих функций, реализующие метод наименьших квадратов.
Выражение является математической моделью объекта исследования (здесь процесса резания). Поэтому после получения численных значений C и k необходимо проверить степень соответствия (адекватность) принятой математической модели описываемому объекту. Проверку адекватности производят, например, по F-критерию Фишера. Если принятая аппроксимирующая функция не удовлетворяет критерию Фишера, то она должна быть заменена другой.
После получения частных зависимостей их объединяют в общую зависимость.
Пример объединения двух частных зависимостей. Пусть в результате проведения двух серий экспериментов получены следующие зависимости:
Обе серии экспериментов проводились при неизменных обрабатываемом и инструментальном материалах, скорости резания, СОТС и т.д [10]. Кроме этого первая серия экспериментов была выполнена при постоянной подаче s = s const, а вторая при постоянной глубине резания t = t const. Общая формула, выражающая одновременно влияние t и s на силу PZ, имеет вид:
Здесь неизвестна постоянная , которая описывает влияние на силу PZ всех факторов процесса резания, остававшихся постоянными при проведении обеих серий экспериментов, т.е. всех факторов, кроме подачи и глубины резания. Общая формула превращается в частные, если в нее подставить соответственно или , при которой проводилась первая серия экспериментов, или , при которой проводилась вторая серия экспериментов:
Используя данные первой и второй серии опытов, получим:
Вследствие неизбежных погрешностей экспериментов величины , полученные из первой и второй серии опытов, будут отличаться друг от друга. Поэтому окончательно принимают:
Подобным же образом объединяют три и более частных зависимости.
Полученные формулы не являются физическими законами. Они получены на основе обработки вполне реальных экспериментальных данных, поэтому имеют определенную область адекватности. Т.е. за пределами этой области их использовать нельзя. Например, если силовая зависимость была получена для подач от 0,1мм/об до 0,5 мм/об, то при подачах меньше 0,1 или больше 0,5 мм/об эту формулу использовать нельзя. Всякая экстраполяция за пределами области адекватности может привести к существенным ошибкам в расчетах.