- •394026 Воронеж, Московский просп., 14 оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Введение в теорию систем
- •1.1. Основные понятия, характеризующие строение и функционирование систем
- •1.2. Закономерности систем
- •1.3. Системный подход и системный анализ
- •1.4. Сложная и большая система
- •1.5. Классификация систем
- •1.6. Система как всеобщность свойства материи
- •1.7. Методика системного анализа
- •Глава 2. Методы описания систем
- •2.1. Качественные методы описания систем
- •2.2. Количественные методы описания систем. Уровни описания систем
- •2.3. Методы формализованного представления систем
- •2.4. Кибернетический подход к описанию систем
- •Глава 3. Моделирование систем
- •3.1. Классификация видов моделирования систем
- •3.2. Построение моделей систем
- •3.3. Проверка адекватности моделей, анализ чувствительности и работоспособности
- •3.4. Основные положения теории планирования эксперимента
- •3.4.1. Этапы планирования эксперимента
- •3.4.2. Полный факторный эксперимент
- •3.4.3. Дробный факторный эксперимент
- •3.5. Обработка и анализ результатов моделирования систем
- •3.5.1. Метод наименьших квадратов
- •3.6. Аналитические модели сложных систем
- •3.6.1. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях
- •3.6.2. Метод Эйлера и его модификации
- •3.6.3. Метод Рунге-Кутта
- •3.6.4. Приближенное решение дифференциальных уравнений n-го порядка при заданных начальных условиях
- •3.6.5. Приближенное решение дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях (краевых задач)
- •3.6.6. Метод начальных параметров
- •3.6.7. Редукция к задаче Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка
- •3.7. Имитационное моделирование
- •3.7.1. Композиция дискретных систем
- •3.7.2. Содержательное описание сложной системы
- •3.7.3. Пример построения имитационной модели анализа надежности сложной системы
- •3.8. Когнитивное моделирование
- •Глава 4. Модели многосвязных технических систем
- •4.1. Типы элементов
- •4.2. Источники энергии и преобразователи. Аналоги топологических уравнений
- •4.3. Метод получения топологических уравнений.
- •Глава 5. Конечно-элементные модели. Метод конечных элементов
- •5.1. Общий ход решения задачи на основе метода конечных элементов
- •5.2. Сети одномерных конечных элементов
- •5.3. Виды конечных элементов
- •5.4. Выделение конечных элементов
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
5.3. Виды конечных элементов
Выше были рассмотрены системы, включающие одномерные симплекс-элементы, при этом функции формы элемента (5.4) оставались одинаковыми для задач из разных предметных областей. Физическая сущность задачи отображается матрицей жесткости. В электрических системах эта матрица зависит от сопротивлении R, емкостей С, индуктивностей L элементов, составляющих систему. В системах, характеризующих работу строительных конструкций, матрица жесткости непосредственно связана с погонными жесткостями для растянутых (сжатых) элементов, – для изгибаемых элементов и т.д. Для нелинейных систем, например, для схемы «в» (рис. 5.2), где связь между напором V и расходом J имеет вид , матрица жесткости будет представлять уже не массивы констант, а некоторые функции от напора жидкости.
В случае функции двух переменных х, у используют плоские конечные элементы в виде многоугольников, обычно треугольника и прямоугольника.
Рассмотрим двумерный симплекс-элемент, представляющий собой плоский треугольник (рис. 5.3).
Интерполяционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию v(x, у) внутри симплекс-элемента, имеет вид
(5.16)
Рис. 5.3. Двумерный симплекс-элемент
Для придания этому выражению вида, удобного для применения в методе конечных элементов, будем поступать так же, как это делали на втором этапе п.п. 5.1 [см. формулы (5.1)...(5.6)]. Граничные условия будут иметь вид:
при функция v(x, у) примет значение ;
при функция v(x, у) примет значение .
Используя формулу (5.16), получим систему трех уравнений для определения коэффициентов Подставляя эти коэффициенты в полином (5.16) и проделав необходимые преобразования, аналогичные рассмотренным в § 5.1, запишем аналогичную (5.5) формулу
(5.17)
где функции формы элемента имеют вид:
(5.18)
Здесь ∆ – площадь треугольника конечного элемента;
– коэффициенты, определяемые путем круговой перестановки индексов выражений:
. (5.19)
Формулы (5.16)...(5.19) будут одинаковыми для всех задач, где используют треугольные симплекс-элементы. Матрицы жесткостей будут зависеть от физической сущности задачи. Рассмотрим это на примере плоской задачи теории упругости. Заметим, что в этом случае каждый узел имеет две степени свободы, поэтому вектор имеет две компоненты vx и каждую из которых определяют по формуле (5.17).
Деформации внутри конечного элемента можно выразить через перемещения с помощью зависимостей Коши:
Выполняя дифференцирование равенства (5.17) с учетом обозначений (5.18), запишем зависимости Коши в матричной форме:
(5.20)
или
. (5.20 а)
Для перехода от деформаций тела к напряжениям используем закон Гука при плоском напряженном состоянии:
(5.21)
или
. (5.21 а)
Матрицы D и В содержат всю информацию о конечном элементе: матрица D определяет его упругие характеристики а матрица В – геометрические. Остается определить еще одну матрицу (матрицу жесткости К), которая связывает усилия, действующие в узлах конечного элемента, с перемещениями этих узлов. Для записи этой матрицы воспользуемся принципом возможных перемещений, согласно которому при равновесии тела работа внешних сил Р на возможных перемещениях узлов т. е. равна по величине работе внутренних сил на тех же перемещениях: , где – деформация, отвечающая возможным перемещениям; – объем конечного элемента. В результате преобразований получим искомую связь между усилиями в узлах конечного элемента и перемещениями этих узлов:
, (5.22)
где матрица жесткости К будет равна
(5.23)
Матрица жесткости (5.23) конечного элемента не зависит от действующих на элемент нагрузок и поэтому остается неизменной для всех нагружений. Элементы этой матрицы представляют собой коэффициенты канонических уравнений метода перемещений для расчета одного конечного элемента.
Рассмотрим объединение конечных элементов в ансамбль на примере простейшей сети из трех конечных элементов (рис. 5.4).
Для каждого конечного элемента мы можем записать формулу (5.17), заменяя узлы конкретными номерами. Так, для первого элемента
.
Поступая аналогично с остальными узлами, получим:
(5.24)
Рис. 5.4. Ансамбль трех конечных элементов
Напомним, что узловые значения искомой функции
пока еще не известны и подлежат определению. С этой целью нужно использовать какой-нибудь принцип, выражающий физическую сущность задачи. В задачах строительной механики таким принципом могут быть уравнения равновесия с учетом совместности перемещений. Когда мы все это проделаем, задача будет решенной, поскольку формулы (5.20), (5.21), (5.24) с учетом обозначений (5.18), (5.19) позволяют определить в любой точке области нормальные и касательные напряжения, найти угловые и линейные деформации, вычислить перемещения данной точки в направлении осей х и у. Совокупность указанных формул, полностью определяющих поведение исследуемой системы, составляет ее математическую модель.
Перейдем к объединению конечных элементов в систему.
Пусть в узлах системы конечных элементов действуют внешние силы, определяемые вектором
(5.25)
К каждому i-му узлу сети примыкает в общем случае конечных элементов, каждый из которых вносит свой вклад в матрицу жесткости. Поэтому для каждого i-го узла суммарная матрица жесткости будет представлять собой сумму элементов матриц жесткости всех примыкающих к узлу элементов, т. е.
, (5.26)
в то время, как узловые перемещения для всех этих элементов будут общими в силу совместности перемещений всех элементов, соединенных в i-м узле. Поскольку узлы имеют две степени свободы, вектор перемещения i-го узла будет содержать две компоненты перемещений точно так же, как внешняя сила [см. формулу (5.25)] имеет две компоненты Pxi, Pyi. Совокупность перемещений всех m неопорных узлов сети конечных элементов определится m-мерным вектором перемещений:
(5.27)
Общую матрицу жесткости для всей конструкции можно выразить в виде
. (5.28)
Окончательная зависимость между вектором сил (5.25) и вектором перемещений (5.27) будет иметь вид
. (5.29)
Таким образом, вектор узловых значений искомой функции будет равен
. (5.30)