- •Часть 3
- •Введение
- •1. Основные положения динамики и уравнения движения точки
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные аксиомы классической механики
- •1.3. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •Частные случаи
- •1.4. Две основные задачи динамики точки
- •Первая задача
- •Вторая задача
- •1.5. Основные виды прямолинейного и криволинейного движения точки
- •1.6. Движение несвободной материальной точки
- •Движение точки по поверхности
- •Движение точки по гладкой кривой линии
- •1.7. Элементы теории колебаний материальной точки
- •Затухающие колебания
- •Свободные колебания
- •Вынужденные колебания
- •2. Относительное движение материальной точки
- •2.1. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
- •2.2. Частные случаи Относительное движение по инерции
- •Относительное равновесие
- •Инерциальные системы отсчета
- •2.3. Движение точки относительно Земли
- •Маятник Фуко
- •Отклонение движущихся тел вправо в Северном полушарии
- •Отклонение падающих тел к востоку
- •2.4. Невесомость
- •3. Геометрия масс
- •3.1. Центр масс
- •3.2. Моменты инерции
- •Моменты инерции относительно точки и оси
- •Моменты инерции относительно осей координат
- •3.3. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей (теорема Штейнера))
- •3.4. Моменты инерции простейших однородных тел
- •О z' днородный стержень
- •Прямоугольная пластина
- •Круглый диск
- •Круглый цилиндр
- •3.5. Моменты инерции относительно осей, проходящих через заданную точку
- •3.6. Эллипсоид инерции
- •3.7. Свойства главных осей инерции
- •4. Общие теоремы динамики точки и системы
- •4.1. Простейшие свойства внутренних сил системы
- •4.2. Дифференциальные уравнения движения системы
- •4.3. Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Вычисление количества движения системы
- •Элементарный и полный импульсы силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс системы
- •Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела
- •4.4. Теорема об изменении кинетического момента
- •Кинетический момент относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы
- •Законы сохранения кинетических моментов
- •Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема Резаля
- •4.5. Теорема об изменении кинетической энергии Работа силы
- •Примеры вычисления работы силы
- •Кинетическая энергия
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы
- •Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении
- •4.6. Потенциальное силовое поле
- •Потенциальное силовое поле и силовая функция
- •Поверхности уровня. Силовые линии
- •Потенциальная энергия
- •Силовая функция и потенциальная энергия системы
- •4.7. Закон сохранения механической энергии Закон сохранения механической энергии точки
- •Закон сохранения механической энергии системы
- •5. Принцип даламбера. Динамические реакции при вращении тела вокруг неподвижной оси
- •5.1. Принцип Даламбера Принцип Даламбера для материальной точки
- •Принцип Даламбера для системы материальных точек
- •Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
- •5.2. Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси Формулы для реакций
- •Статическая уравновешенность
- •Динамическая уравновешенность
- •Основные виды неуравновешенностей
- •6. Аналитическая механика
- •6.1. Связи и их классификация
- •6.2. Возможные перемещения
- •6.3. Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
- •6.4. Принцип возможных перемещений
- •6.5. Обобщенные координаты системы
- •6.6. Обобщенные силы
- •6.7. Условия равновесия системы
- •6.8. Общее уравнение динамики
- •6.9. Уравнения Лагранжа
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •Часть 3
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
Свободные колебания
Рассмотрим свободные колебания как частный случай затухающих колебаний. Предположим, что сопротивление среды настолько мало по сравнению с упругой силой пружины, что им при решении задач можно пренебречь. Тогда , следовательно, . Из (34) получаем уравнение свободных колебаний точки:
. (37)
Общее решение этого уравнения вытекает из (32), если в нем положить :
. (38)
Следовательно, свободные колебания точки являются гармоническими колебаниями. Период свободных колебаний находим из (34):
. (39)
Отсюда следует, что период свободных колебаний меньше периода затухающих колебаний.
Вынужденные колебания
Силы, вызывающие вынужденные колебания, называют возмущающими силами. В большинстве случаев возмущающие силы являются периодическими функциями времени. Ограничимся следующим видом возмущающей силы:
, (40)
где – амплитуда возмущающей силы, – ее частота, – начальная фаза.
Сопротивлением среды пренебрегаем. На точку, таким образом, действуют силы: .
Дифференциальное уравнение движения точки найдем из второго закона Ньютона в проекции на ось :
. (41)
Учитывая, как и раньше, и вводя обозначения ; из (41) получим:
. (42)
Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение таких уравнений складывается из двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения. Общее решение однородного уравнения определяется из (31) или (32) соответственно при в виде:
или . (43)
Частное решение ищем в виде
. (44)
Дифференцируя (45) дважды по времени и подставляя в (42), находим неизвестный коэффициент , предполагая, что :
.
Следовательно, частное решение уравнения (42) есть
.
Общее решение принимает вид:
. (45)
Постоянные интегрирования определим из начальных условий задачи.
Пусть в начальный момент времени
: , . (46)
Общее решение (45) после удовлетворения начальных условий (46) приобретает вид:
. (47)
На основании данного решения получаем, что движение точки в рассматриваемом случае есть результат наложения трех видов колебаний. Первых два слагаемых определяют свободные колебания. Они зависят от начальных условий и имеют частоту свободных колебаний . Третье слагаемое не зависит от начальных условий, но зависят от возмущающей силы и частоты свободных колебаний. Движения, определяемые этими слагаемыми, называются вынужденными колебаниями, имеющими частоту свободных колебаний. Последнее слагаемое определяет вынужденные колебания. Они не зависят от начальных условий и имеют частоту возмущающей силы.
Перейдем к рассмотрению случая , при котором возникает так называемый резонанс.
Из теории интегрирования дифференциальных уравнений известно, что частное решение уравнения (42) в этом случае нужно искать в виде:
, (48)
где известные постоянные , находятся из (42). Однако можно предложить другой способ нахождения частного решения при резонансе. Т.к. решение (47) справедливо при значениях сколь угодно близких к , то решение при найдем как предельный случай. Применим правило Лопиталя к третьему и четвертому слагаемым в формуле (47), сумма которых при обращается в неопределенность вида :
. (49)
Следовательно, движение точки в случае резонанса определяется выражением:
. (50)
Здесь последнее слагаемое определяет вынужденные колебания при резонансе, оно неограниченно возрастает с течением времени. Если рассматривать множитель перед косинусом в последнем числе как амплитуду вынужденных колебаний, то можно утверждать, что амплитуда вынужденных колебаний неограниченно растет пропорционально первой степени времени. График вынужденных колебаний при резонансе показан на рис.9.
Рис. 9
Размахи колебаний с течением времени возрастают. В различных сооружениях при наступлении резонанса может произойти их разрушение. Здесь резонанс нежелателен. Вспомним, что мы пренебрегали силами сопротивления, которые при резонансе создают стабилизирующее действие и амплитуда вынужденных колебаний при резонансе имеет конечное значение при неограниченном возрастании времени . Однако и при наличии сил сопротивления приближение частоты возмущающих сил к частоте свободных колебаний может стать угрожающим для прочности сооружений. В некоторых областях техники, например, радиотехнике явление резонанса имеет доминирующее значение для работы прибора.