- •Введение
- •1. Пути повышения эффективности автоматизации проектирования на основе реализации
- •Принципы системного подхода к проектированию
- •Структура проектных спецификаций и иерархические уровни проектирования. Значение функционально-логического уровня при
- •Требования к математическому обеспечению сапр разных иерархических уровней
- •Обзор программного обеспечения сапр
- •2. Математическое обеспечение анализа проектных решений на функционально-логическом уровне
- •2.1. Общие требования к организации математического аппарата
- •2.2. Анализ систем во временной области
- •Принципы построения систем автоматического управления
- •2.3. Модели систем в переменных состояния
- •2.4. Анализ систем в частотной области
- •2.5. Методы анализа устойчивости и качества
- •3. Программные средства автоматизации
- •3.1. Основы работы в matlab
- •3.1.1. Среда matlab
- •3.1.2. Выполнение элементарных вычислений
- •3.1.3. Редактирование и отладка м-файлов
- •3.1.4 Переменные в Matlab. Массивы и матрицы
- •3.2. Этапы синтеза проектирования системы управления
- •3.2.1. Способы описания линейных динамических систем
- •3.2.2. Особенности построения частотных характеристик линейных систем в Control System Toolbox
- •3.2.3. Соединение звеньев lti-объекта
- •3.2.4. Синтез принятия решений при проектировании непрерывных систем на примере управления функционированием магнитного диска
- •3.3. Приложение для синтеза корректирующих звеньев
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14.
2.4. Анализ систем в частотной области
В предыдущем разделе мы имели дело со ступенчатым и линейным тестовыми сигналами. В данной главе мы рассмотрим реакцию системы в установившемся режиме на синусоидальный тестовый сигнал. Мы покажем, что в этом случае выходной сигнал также является синусоидальным той же частоты, что и входной, однако отличается от него по амплитуде и по фазе, причём эти отличия зависят от частоты входного сигнала. Поэтому нас будет интересовать реакция системы на синусоидальный сигнал, частота которого изменяется во всём возможном диапазоне.
С помощью замены мы перейдём от передаточной функции к и рассмотрим способы графического представления комплексного выражения в зависимости от частоты w. Один из наиболее эффективных методов анализа и синтеза систем управления связан с применением диаграмм Боде (логарифмических характеристик), поэтому мы уделим данному вопросу серьёзное внимание. Мы рассмотрим также способы изображения частотных характеристик в полярных координатах (на комплексной плоскости) и в логарифмическом масштабе. Мы покажем, как некоторые показатели качества системы во временной области можно оценить по её частотным характеристикам, а также введём понятие полосы пропускания системы.
Cуждение о качестве системы и её реакции на внешние воздействия основывалось на расположении на комплексной плоскости переменной s полюсов и нулей передаточной функции. Альтернативным методом анализа и синтеза систем управления, имеющим важное практическое значение, является метод частотных характеристик.
Частотная характеристика определяется как реакция системы в установившемся режиме на синусоидальный входной сигнал при изменении его частоты во всём возможном диапазоне. При этом в линейной системе как входной сигнал, так и сигнал в любой другой точке в установившемся режиме являются синусоидальными; они отличаются от входного сигнала только по амплитуде и по фазе.
При исследовании и создании САУ, аппарат частотных характеристик был одним из первых, т.к. они наиболее полно отражают физическую природу процессов, происходящих в динамических объектах.
В качестве преобразования функции f(t) используется преобразование Фурье
. |
(2.40) |
Преобразование Фурье позволяет разложить непериодическую функцию f(t) для которой выполняется условие сходимости в бесконечный ряд
(интеграл существует) |
(2.41) |
гармоник, образующих непрерывный спектр частот в интервале от – до + с бесконечно малым интервалом частот между смежными частотами ( 0).
Отметим, что по сравнению с преобразованием Лапласа преобразование Фурье позволяет отобразить оригинал только на мнимую ось, в преобразовании Лапласа же используется вся комплексная плоскость.
Для перехода к частотным характеристикам, необходимо в уравнение ПФ вместо оператора Лапласа p подставить оператор Фурье j (pj), получим частотную характеристику
. |
(2.41) |
Рассмотрим понятие о частотных характеристиках.
Если на вход линейной разомкнутой системы (или звена) подать гармонический входной сигнал, то по истечении некоторого времени окончания переходных процессов на выходе системы (звена) установится также гармонический выходной сигнал той же частоты. Амплитуда и фаза при прочих равных условиях будут зависеть от частоты входного сигнала. По ним, как будет показано дальше, можно судить о свойствах САУ.
Достоинством частотных методов является то, что частотные характеристики можно снять экспериментально. Чтобы снять частотную характеристику необходимо на вход подавать гармонический сигнал, изменяя частоту от 0 до , а на выходе измерять амплитуду и фазу для частот i.
Отметим еще, что в выражении передаточной функции и частотной характеристики для реальных систем степень знаменателя всегда больше степени числителя n>m, т.к. полоса пропускания частот реальной системы всегда ограничена. Действительно, если n<m, то на выходе системы при увеличении частоты могут возникнуть колебания с бесконечно большой амплитудой.
Частотная характеристика (ЧХ) элемента или системы W(j) может быть представлена в двух видах:
,
.
где P() – вещественно-частотная характеристика (ВЧХ);
Q() – мнимо-частотная характеристика (МЧХ);
A() – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);
() – фазо-частотная характеристика (ФЧХ).
Часто ЧХ представляется графически (рис. 2.22) на комплексной плоскости, где все указанные величины связаны между собой по следующим соотношениям.
Рис. 2.22. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
– АЧХ.
– ФЧХ.
Часто при исследовании систем используются логарифмические частотные характеристики.
Понятие о логарифмических частотных характеристиках
При исследовании САУ, амплитудную и фазовую частотные характеристики удобно строить в логарифмических координатах. Это связано с двумя обстоятельствами:
В логарифмических масштабах кривизна характеристик резко уменьшается, что позволяет в большинстве практических случаев приближенно изображать АЧХ ломанными линиями.
В логарифмических масштабах АЧХ цепочки звеньев равна сумме АЧХ отдельных звеньев .
АЧХ в логарифмических масштабах строится в координатах 20lgA и lg, а ФЧХ – в виде зависимости от lg.
Единицей измерения 20lgA служит децибел, равная 0,1 бела. Бел – единица измерения десятичного логарифма коэффициента усиления мощности сигнала, т.е. 1 бел соответствует усилению мощности в 10 раз, 2 бела – в 100 раз и т.д. Так как мощность сигнала пропорциональна квадрату амплитуды A2 (Пример: для электрической цепи ), , то усиление в белах, выраженное через отношение амплитуд A, равно , соответственно в децибелах оно равно
Рис. 2.23. Логарифмическая плоскость для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ.
По оси абсцисс откладывается в логарифмическом масштабе частота (десятичный логарифм) (изменение частоты в 10 раз – декада), а около отметок указывается само значение частоты. Иногда применяется логарифм частоты при основании 2 (изменение частоты в два раза – октава) одна октава равно 0,303 декады, т.к. .
Для построения логарифмических фазовых характеристик (ЛФХ) на оси абсцисс используется аналогичная шкала частот или , а по оси ординат (обычно используется нижняя часть плоскости) откладывается фаза в градусах.
Отметим ещё, т.к. точка в логарифмическом масштабе находится слева (в –), то ЛАФХ строятся не от , а от достаточно малого, но конечного значения , которое и откладывается в начале координат.