- •Введение
- •1. Пути повышения эффективности автоматизации проектирования на основе реализации
- •Принципы системного подхода к проектированию
- •Структура проектных спецификаций и иерархические уровни проектирования. Значение функционально-логического уровня при
- •Требования к математическому обеспечению сапр разных иерархических уровней
- •Обзор программного обеспечения сапр
- •2. Математическое обеспечение анализа проектных решений на функционально-логическом уровне
- •2.1. Общие требования к организации математического аппарата
- •2.2. Анализ систем во временной области
- •Принципы построения систем автоматического управления
- •2.3. Модели систем в переменных состояния
- •2.4. Анализ систем в частотной области
- •2.5. Методы анализа устойчивости и качества
- •3. Программные средства автоматизации
- •3.1. Основы работы в matlab
- •3.1.1. Среда matlab
- •3.1.2. Выполнение элементарных вычислений
- •3.1.3. Редактирование и отладка м-файлов
- •3.1.4 Переменные в Matlab. Массивы и матрицы
- •3.2. Этапы синтеза проектирования системы управления
- •3.2.1. Способы описания линейных динамических систем
- •3.2.2. Особенности построения частотных характеристик линейных систем в Control System Toolbox
- •3.2.3. Соединение звеньев lti-объекта
- •3.2.4. Синтез принятия решений при проектировании непрерывных систем на примере управления функционированием магнитного диска
- •3.3. Приложение для синтеза корректирующих звеньев
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Учебное издание
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14.
3.2.4. Синтез принятия решений при проектировании непрерывных систем на примере управления функционированием магнитного диска
В качестве примера рассмотрим процесс синтеза принятия управленческих решений при проектировании непрерывных систем, а именно: управление функционированием магнитного диска.
Рассмотрим управление скоростью вращения диска.
Во многих современных приборах используется диск, который должен вращаться с постоянной скоростью. Это, например, проигрыватель компакт-дисков или грампластинок, дисковод компьютера, требующие вращения с постоянной скоростью, несмотря на износ и изменение характеристик электродвигателя и вариацию других параметров. Наша задача состоит в синтезе системы управления скоростью вращения диска, которая гарантировала бы, что действительная скорость отличается от желаемой не более, чем на заданную величину. Мы рассмотрим два варианта решения этой задачи; разомкнутая система и система с обратной связью.
Чтобы обеспечить вращение диска, мы должны в качестве исполнительного устройства выбрать электродвигатель постоянного тока, скорость вращения которого пропорциональна приложенному напряжению. Этот входной сигнал двигателя должен иметь достаточную мощность, поэтому нам также потребуется выбрать усилитель.
Рис. 3.26. Разомкнутая система управления скоростью вращения диска (а);
функциональная схема системы (б)
Разомкнутая система (без использования обратной связи) изображена на рис. 3.26 (а). В этой системе для задания напряжения, пропорционального желаемой скорости, использована батарея. Затем это напряжение усиливается и подается на двигатель. Функциональная схема данной системы изображена на рис. 3.26 (б).
Чтобы реализовать систему с обратной связью, нам необходимо выбрать датчик. Одним из возможных решений является тахогенератор, выходное напряжение которого пропорционально скорости вращения его вала. Тогда замкнутая система будет иметь вид, изображенный на рис. 3.26 (а). Функциональная схема этой системы приведена на рис. 3.26 (б). Сигнал ошибки образуется как разность между входным напряжением и напряжением тахогенератора.
На рис. 3.27 схематично изображена процедура синтеза системы чтения информации с диска. Мы рассмотрели этапы (1-4), в соответствии с рис. 3.6., где мы установили цель управления, указали переменные, на которые необходимо воздействовать, сформулировали ограничения, накладываемые на эти переменные и сделали набросок конфигурации системы.
Информация обычно легко накапливается на магнитных дисках. Составной частью портативных и более крупных компьютеров различных модификаций являются дисководы. В 1996 г. во всём мире согласно оценке было продано порядка 100 млн дисководов. Схематическое изображение дисковода представлено на рис. 3.28.
Тахогенератор
Рис.3.27. Замкнутая система управления скоростью вращения диска (а);
функциональная схема системы (б)
Рис. 3.28. Схема дисковода
Целью системы управления является позиционирование считывающей головки на определенной дорожке диска (этап 1). Переменная, которой нужно управлять с высокой точностью (этап 2), — это положение считывающей головки, закрепленной на конце рычага. Диск вращается со скоро стью от 1800 до 7200 об/мин, а головка плавает над диском на расстоянии менее 100 нм. Исходное требование к точности позиционирования (этап 3) составляет 1 мкм. Кроме того, мы хотели бы, если это возможно, чтобы перемещение от дорожки а к дорожке b совершалось не более чем за 50 мс. В данной замкнутой системе для перемещения рычага со считывающей головкой в заданное положение относительно диска будет использован электродвигатель.
Одной из задач управления дисководом рассмотрим задачу позиционирования считывающей головки точно на заданную дорожку и обеспечивать возможность переход от одной дорожки к другой в пределах 10 мс (этапы 4 и 5 процесса синтеза, рис. 3.6.).
Нам необходимо выбрать исполнительное устройство, датчик и регулятор (этап 4). Затем следует разработать модель объекта, , и датчика. Для приведения в действие рычага считывающей головки используется двигатель с постоянными магнитами. При производстве дисководов его называют двигателем со звуковой катушкой. Головка считывания закреплена на скользящем элементе, закрепленном на рычаге. Гибкая пластина дает возможность головке плавать над диском с зазором менее 100 нм. Тонкопленочная головка воспринимает магнитный поток и формирует сигнал, поступающий на усилитель. Сигнал ошибки на рис. 3.29(а) формируется на основании заданного номера дорожки. Полагая, что положение считывающей головки определяется точно, можно считать, что передаточная функция датчика Н(s) = 1, как показано на рис. 3.29(б). На этом рисунке также приведены модели двигателя с постоянными магнитами и линейного усилителя. Двигатель, управляемый по цепи якоря, достаточно хорошо представляется в виде модели на рис. 2.20 при Кь = 0. В полной модели системы на рис. 3.29(6) предполагается, что пластина является жесткой, а не слишком гибкой.
Рис. 3.29. Структурная схема считывающей системы дисковода
Рис. 3.29. Продолжение
Таблица 3.2
Типичные параметры дисковода
Параметр |
Обозначение |
Типичное значение |
Момент инерции рычага и считывающей головки |
|
1 H*м*с2/рад |
Коэффициент трения |
b |
20 кг/м/c |
Коэффициент усиления |
|
10-1000 |
Сопротивление якоря |
R |
1Ом |
Коэффициент передачи двигателя |
|
5 H*м/А |
Индуктивность якоря |
L |
1 мГн |
Типичные параметры дисковода приведены в табл. 3.2. Следовательно, мы имеем
(3.5)
Выражение можно представить в виде
, (3.6)
где и . Поскольку << , мы можем принебречь величиной .
Тогда
,
или
Структурная схема замкнутой системы приведена на рис. 3.30. На основании правил преобразования структурных схем (табл. 2.1) можно записать
(3.7)
Используя аппроксимацию вторым порядком, мы получим
Рис. 3.30. Структурная схема замкнутой системы
Если то
Полагая , т.е. , с помощью функции step мы получим реакцию системы y(t).
Высококачественные диски имеют до 5000 дорожек на см. Ширина дорожек обычно порядка 1 мкм. Поэтому предъявляются очень жесткие требования к точности позиционирования считывающей головки и к ее перемещению от одной дорожки к другой. Теперь мы разработаем модель дисковода в переменных состояния, которая будет учитывать эффект изгиба пластины.
Поскольку для быстрого перемещения головки необходимо иметь малую массу рычага, то нам придется учесть эффект изгиба пластины, изготовленной из очень тонкой упругой стальной ленты. Еще раз отметим, что нам необходимо с высокой точностью управлять положением головки у{1), как это показано на рис. 3.31(а) (шаг 2 процедуры синтеза на рис. 3.6). Прежде всего мы попытаемся разработать модель системы, изображенной на рис. 3.31(а). Обозначим массу двигателя через М1 а массу головки через М2. Изгиб пластины будем характеризовать коэффициентом упругости к. Сила и(t), приводящая в движение массу М1, создается двигателем постоянного тока. Если пластина является абсолютно жесткой (не подверженной изгибу), то мы получим упрощенную модель, изображенную на рис. 3.31(б). Типичные параметры этой системы с двумя массами приведены в табл. 3.3.
Рис. 3.31. Модель системы с двумя массами и упругой пластиной а).
Упрощенная модель с жесткой пластиной б)
Таблица 3.3.
Типичные параметры системы с двумя массами
Параметры |
Обозначение |
Величина |
Масса двигателя |
M1 |
20 г=0,02 г |
Коэффициент упругости пластины |
k |
10 |
Масса головки |
M2 |
0,5 г=0,0005 кг |
Коэффициент трения массы 1 |
b1 |
410*10-3кГ/м/с |
Положение головки |
y(t) |
переменное, мм |
Сопротивление обмотки возбуждения |
R |
1 Ом |
Индуктивность обмотки возбуждения |
L |
1 мГн |
Постоянная электродвигателя |
Km |
125 Н*м/А |
Коэффициент трения массы 2 |
b2 |
4,1*10-3кГ/м/с |
Сначала мы получим передаточную функцию упрощенной модели на рис. 3.31(б) (шаг 5 процедуры синтеза на рис. 3.6). . Тогда мы имеем
(3.8)
Следовательно, передаточная функция модели
С учетом параметров таблицы 3.3., получим
Структурная схема считывающего устройства с учетом обмотки электродвигателя приведена на рис. 3.32.
Рис. 3.32. Структурная схема считывающего устройства с жесткой пластиной
При R=1 Ом, L=1 мГн и мы имеем
(3.9)
Теперь получим модель в переменных состояния с двумя массами, изображенной на рис. 3.31(а). Дифференциальные уравнения имеют вид:
для массы М1:
для массы М2:
Выберем в качестве переменных состояния и . Тогда
и .
Тогда уравнение состояния в векторно-матричной форме:
,
где
, , . (3.10)
Заметим, что выходом является Кроме того, пренебрегая индуктивностью обмотки двигателя . Выбрав значение k =10 и используя остальные параметры таблицы получим:
и
Скрипт M-файла реакции переменной на ступенчатое воздействие представлен на рис. 3.33 Реакция переменной при отображена на рис.3.34. Характер процесса является сильно колебательным, поэтому ясно, что необходимо иметь пластину с большей жесткостью, т.е выбирать k>100.
|
|
Рис.3.33. Скрипт M-файла реакции переменной на ступенчатое воздействие |
Рис.3.34. Переходная характеристика |
Синтез системы чтения информации с диска является примером оптимизации и принятия компромиссных решений. Система должна точно позиционировать считывающую головку и в то же время обладать способностью уменьшать влияние изменения параметров и внешних ударов и вибраций. Механический рычаг и пластина могут резонировать на частотах, с которыми появляются внешние возмущения, например тряска портативного компьютера. К числу возмущений относятся также физические удары, износ или биения в подшипниках привода, изменение параметров элементов системы. В этом разделе мы исследуем реакцию системы на возмущения и ее поведение при изменении параметров. Кроме того, получим оценку установившейся ошибки при ступенчатом изменении задания и пронаблюдаем, как повлияет на переходную характеристику изменение коэффициента усиления усилителя Ка. Таким образом, мы выполним шаги 6 и 7 процедуры синтеза, представленной на рис. 3.35.
Рис. 3.35. Система управления положением считывающей головки дисковода
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.35. В этой системе в качестве регулятора используется усилитель с настраиваемым коэффициентом усиления. С учетом параметров, приведенных в табл. 3.2, мы получим структурную схему, изображенную на рис. 3.35а. Сначала определим установившуюся ошибку при единичном ступенчатом входном воздействии, , полагая D(s)= 0. Поскольку H(s) = 1, то
,
Следовательно,
(3.11)
Отсюда следует, что несмотря на любые изменения параметров системы.
Рис. 3.35а. Система 3.35 с параметрами из таблицы 3.2.
Теперь получим переходную характеристику системы при разных значениях коэффициента Ка. Передаточная функция замкнутой системы с учетом условия D(s) = 0 имеет вид:
(3.12)
С помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 3.36 (а), мы получим переходные характеристики системы при значениях Ка = 10 и Ка = 80. Эти характеристики изображены на рис. 3.36 (б). Очевидно, что система быстрее отрабатывает задающее воздействие в случае Ка = 80, но реакция имеет колебательный характер, что, по-видимому, неприемлемо.
|
|
|
Рис. 3.36. Переходные характеристики замкнутой системы (а) Скрипт МАТLAB. (б) Переходные характеристики при и |
Теперь определим влияние возмущения D(s) = 1/s, полагая R(s) = 0, Желательно, чтобы это влияние было незначительным.
С помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 3.36 (а), при Ка = 80 и D(s) = 1/s мы получим реакцию системы, изображенную на рис. 3.36 (6). Чтобы еще сильнее уменьшить влияние возмущения, нам потребовалось бы взять коэффициент Ка больше, чем 80. Однако при этом реакция системы на сигнал r(i) = 1, t > 0 была бы сильно колебательной.
Далее мы попытаемся определить оптимальное значение Ка, предъявив определенные требования к быстродействию системы и величине перерегулирования.
Нашей целью является получение наилучшего быстродействия при отработке ступенчатого сигнала r(t) с учетом (1) ограничения на величину перерегулирования и колебательный характер реакции и (2) необходимости уменьшения влияния возмущения на положение считывающей головки. Требования к качеству системы сведены в табл. 3.4.
Таблица 3.4
Требования к переходной характеристики
Показатель качества |
Желаемое значение |
Относительное перерегулирование |
Менее 5% |
Время установления |
Менее 250 мс |
Максимальная реакция на единичное ступенчатое воздействие |
Менее 5*10-3 |
Рассмотрим модель второго порядка для двигателя и рычага, в которой мы пренебрегли индуктивностью обмотки двигателя. В этом случае замкнутая система имеет вид рис. 3.37. Для входной переменной при условии D(s)=0 можно записать:
Рис. 3.37. Модель системы управления второго порядка
Отсюда следует, что и . Далее мы можем определить реакцию системы с помощью скрипта MATLAB, приведенного на рис. 3.38. В табл. 3.5 представлены показатели качества, соответствующие различным значениям .
Таблица 3.5
Реакция системы второго порядка на ступенчатый входной сигнал
Показатель качества |
20 |
30 |
40 |
60 |
80 |
|
Относительное перерегулирование |
0 |
1,2% |
4,3% |
10,8% |
16,3% |
|
Время установления (с) |
0,55 |
0,40 |
0,40 |
0,40 |
0,40 |
|
Коэффициент затухания |
1 |
0,82 |
0,707 |
0,58 |
0,50 |
|
Максимальная значение выходной переменной при единичном ступенчатом воздействии |
-10*10-3 |
-10*10-3 |
-10*10-3 |
-10*10-3 |
-10*10-3 |
|
|
|
|||||
а) |
б) |
|||||
Рис. 3.38.Реакция системы на единичный ступенчатый сигнал, а) Скрипт MATLAB; б) Реакция системы при =30. |
При увеличении Ка до 60 влияние возмущения уменьшается почти в 2 раза. Если мы хотим удовлетворить требования, предъявляемые к системе, то нам придется выбрать компромиссное значение Ка. Очевидно, в данном случае наилучшим компромиссом будет значение Ка = 40. Однако это значение не удовлетворяет всем требованиям.
В задаче синтеза системы управления положением считывающей головки мы занимались подбором коэффициента Ка. Теперь мы займемся анализом устойчивости этой системы в зависимости от параметра Ка и изменим конфигурацию системы, как это предусмотрено шагом 4 процедуры синтеза.
Рассмотрим систему, изображенную на рис. 3.39. Это та же самая система с моделью двигателя и нагрузки, с которой мы имели дело ранее, за исключением того, что теперь в нее добавлен датчик обратной связи по скорости. Сначала рассмотрим случай, когда ключ разомкнут. Тогда передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид:
(3.13)
где
и
Рис. 3.39. Замкнутая система управления положением считывающей головки с возможностью реализации обратной связи по скоростям
Характеристическое уравнение системы:
(3.14)
или
Составим таблицу Рауса:
где
Случай соответствует нахождению системы на границе устойчивости, при этом . Вспомогательное уравнение имеет вид:
откуда следует, что на мнимой оси находятся корни .
Чтобы система была устойчива, должно выполняться условие . Теперь введем обратную связь по скорости, замкнув ключ на рис. 3.39. Передаточная функция замкнутой системы примет вид:
(3.15)
поскольку обратная связь теперь представлена фактором , как изображено на рис. 3.40.
Запишем характеристическое уравнение:
или
Рис. 3.40. Эквивалентная схема с обратной связью по скорости (ключ замкнут)
Отсюда имеем:
Составим таблицу Рауса:
где
Чтобы обеспечить устойчивость системы, параметры и надо выбрать так, чтобы было , где . На рис. 3.41 приведена реакция системы, рассчитанная с помощью МАТLАВ при и . Время установления (по критерию 2%) приблизительно равно 260 мс, а перерегулирование отсутствует. Показатели качества системы приведены в табл. 3.6. Требования, предъявляемые к качеству системы, практически удовлетворены, однако требуется некоторая подгонка коэффициента чтобы добиться желаемого времени установления 250 мс.
Таблица 3.6
Показатели качества системы управления положением считывающей головки при наличии обратной связи по скорости
Показатель качества |
Желаемое значение |
Действительное значение |
Относительное перерегулирование |
Менее 5% |
0% |
Время установления |
Менее 250 мс |
260 с |
Максимальная реакция на единичное ступенчатое воздействие |
Менее 5*10-3 |
2*10-3 |
|
|
а) |
б) |
Рис.3.41. Переходная характеристика системы с обратной связью по скорости а) Скрипт MATLAB; б) реакция системы при ; |
В предыдущем разделе мы рассмотрели новую конфигурацию системы управления, в которой была использована обратная связь по скорости. Теперь мы разберём случай, когда заданное качество системы обеспечивается с помощью ПИД-регулятора. Для выбора параметров регулятора в данной главе мы воспользуемся методом корневого годографа. ПИД-регулятор имеет передаточную функцию
(3.16)
Поскольку в модели объекта уже присутствует операция интегрирования, то мы примем . В результате мы получим ПД-регулятор:
, (3.17)
а целью синтеза является выбор параметров и , удовлетворяющих требованиям к качеству системы. Структурная схема системы приведена на рис. 3.42. Передаточная функция замкнутой системы равна
где .
Рис. 3.42. Система управления положением считывающей головки
с ПД регулятором
Чтобы построить корневой годограф, представим в виде
,
где . Параметр мы выберем, чтобы задать положение нуля z, а затем построим корневой годограф зависимости от . Примем z=1, тогда
(3.18)
Разность между числом полюсов и числом нулей равна 2, поэтому можно ожидать, что асимптоты будут расположены под углами , а их центроид будет в точке
,
как это показано на рис. 3.43. На этом же рисунке изображён набросок корневого годографа. С помощью МАТLАВ определены значения корней при разных значениях . Корни, соответствующие =100, показаны на рис. 3.43. При этом показатели качества системы, также определённые с помощью МАТLАВ, приведены в табл. 3.7, откуда следует, что синтезированная система удовлетворяет всем выдвинутым требованиям. Время установления, равное 20 мс, — это время, необходимое системе для того, чтобы переходная характеристика «практически» достигла установившегося значения. В действительности реакция системы, достигнув 97% от конечного значения, очень медленно приближается к последнему.
Рис. 3.43. Набросок корневого годографа
Таблица 3.7.
Требуемые и действительные значения показателей качества системы чтения информации с диска
Показатель качества |
Желаемое значение |
Действительное значение |
Относительное перерегулирование |
Менее 5% |
0% |
Время установления |
Менее 250 мс |
20 мс |
Максимум реакции на единичное возмущение |
Менее 5*10-3 |
2*10-3 |
В дисководе считывающая головка закреплена на гибкой пластине, как показано на рис. 3.31. Эту пластину можно представить в виде модели, состоящей из пружины и массы. Далее мы к модели двигателя и нагрузки добавим эффект гибкости пластины.
Представим модель пластины с закреплённой на ней головкой в виде массы М, пружины с жёсткостью k и элемента трения с коэффициентом b, как показано на рис. 3.44. Будем предполагать также, что сила , прикладываемая к пластине, создаётся рычагом.
Рис. 3.44. Модель пластины и головки в виде пружины, массы и трения
Передаточная функция системы, состоящей из пружины и массы будет иметь вид:
Типичные параметры пластины и головки: и собственная резонансная частота .Следовательно, как показано на структурной схеме системы (рис. 3.45).
Рис. 3.45. Система управления положением головки дисковода
с учетом упругости пластины
Переходная характеристика системы управления и скрипт представлены на рис. 3.46.
|
|
Рис. 3.46 Скрипт MATLAB (а) |
Переходная характеристика (б) |
Сначала мы построим амплитудные характеристики (асимптотическую и точную) диаграммы Боде для разомкнутой системы (они приведены на рис. 3.47). Заметим, что на резонансной частоте точная характеристика имеет превышение над асимптотической в 10 дБ. Эти характеристики построены для системы, изображённой на рис. 3.45 при К = 400 согласно выражению . Поскольку амплитудная характеристика имеет всплеск на частоте , то естественным является избежать возбуждения системы на этой частоте.
Рис. 3.47. Амплитудная характеристика диаграммы Боде для системы (рис.3.45)
Амплитудные характеристики разомкнутой и замкнутой систем представлены на рис. 3.48. Полюса пропускания замкнутой системы равна . Считая, что для этой системы и , мы можем оценить время установления (по критерию 2%) с помощью выражения
,
что составляет 2,5 мс. И пока выполняется условие К < 400, резонанс, свойственный упругой пластине с головкой, находится вне полосы пропускания системы.
|
|
Рис. 3.48. Амплитудные характеристики диаграмм Боде (а) и для разомкнутой и (б) для замкнутой системы |
Мы рассмотрели частотные характеристики систем управления, представляющие собой реакцию системы в установившемся режиме на синусоидальный входной сигнал. Были рассмотрены несколько альтернативных способов графического изображения частотных характеристик, включая изображение в полярных координатах и в логарифмическом масштабе (последний способ часто называют диаграммой Боде). Была отмечена простота построения диаграммы Боде для отдельных сомножителей функции , что наглядно проиллюстрировано примером. Построение диаграммы Боде значительно облег чается при использовании асимптотической аппроксимации частотных характеристик. Были рассмотрены некоторые параметры частотных характеристик, характеризующие качество системы; среди них важнейшими являются максимум амплитудной характеристики и резонансная частота . Была отмечена связь между диаграммой Боде и коэффициентами ошибки и . И, наконец, было показано, как частотные характеристики системы можно представить в виде логарифмической амплитудно-фазовой диаграммы.