1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_16_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (в предположении, что kкр >0):

K < - kкр , K > kкр,

или равносильным неравенством

|K| > kкр.

31

Теория вероятностей и математическая статистика

15.5. Отыскание правосторонней критической области

Найдем правостороннюю критическую область, которая определяется неравенством К > kкр, где kкр > 0.

Для отыскания правосторонней критической области достаточно найти критическую точку.

32

Теория вероятностей и математическая статистика

Для нахождения критической точки задаются достаточной малой вероятностью — уровнем значимости .

Затем ищут критическую точку kкр исходя из требования, чтобы

при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий К примет значение, большее kкр была равна принятому уровню значимости:

Р(К > kкр) = .

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию

Р(К > kкр) = (*).

Можно показать, что требование (*) определяет такие

значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а они и составляют правостороннюю критическую область.

.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание 1.

Когда критическая точка найдена, вычисляют по данным выборок наблюденное значение критерия

Кнабл и, если окажется, что Кнабл > kкр, то нулевую гипотезу отвергают; если же Кнабл < kкр, то нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

35

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание 2.

Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим kкр не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по

другим причинам (малый объем выборки, недостатки методики эксперимента и др.). В этом случае, отвергнув

правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ошибки равна уровню значимости .

Итак, пользуясь требованием Р(К > kкр) = , мы с вероятностью рискуем совершить ошибку первого рода.

36

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание 3.

Пусть нулевая гипотеза принята; ошибочно думать,

что тем самым она доказана. Действительно,

известно, что один пример, подтверждающий справедливость некоторого общего утверждения, еще не доказывает его. Поэтому более правильно говорить

«данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой и, следовательно, не дают оснований ее отвергнуть».

37

Теория вероятностей и математическая статистика

На практике для большей уверенности принятия гипотезы ее проверяют другими способами или повторяют эксперимент, увеличив объем выборки.

38

Теория вероятностей и математическая статистика

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно, известно, что достаточно привести один пример, противоречащий некоторому общему утверждению, чтобы это утверждение отвергнуть.

Если оказалось, что наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то этот факт и служит примером, противоречащим нулевой гипотезе, что позволяет ее отклонить.

39

Теория вероятностей и математическая статистика

15.6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей

Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей сводится (так же, как и для правосторонней) к нахождению соответствующих критических точек.

40