492_Nosov_V._I.__Metody_povyshenija_pomekhoustojchivosti_sistem_radiosvjazi_..

q2		0		0
	1	q2
	0			0
Q		2				,	(6.3)
	0	0	qN2
				TX

где μk – коэффициент передачи канала k [38], k = 1, 2, …, NTX; NTX – количество передающих антенн в системе MISO.

В случае, если средние мощности сигналов, передаваемых с каждой антенны равны, величина qk2 определяется следующим образом [38]

q	2		PT		.	(6.4)
			c
			n
k				2

Произведение матриц K∙Q имеет вид

	2PT		0			0
	1	c
	2n	2
		1
			2PT
	0		2	c		0
				2
			2n						(6.5)
K Q				2				.
						2
							PT
	0		0			NTX	c
							TX
						2n2

Известно [38], что отношение энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума hk – определяется выражением

	h2		2PT
			k c	,	(6.6)
			nk2
	k

где Pc – средняя мощность сигнала, излучаемого с одной антенны; T – временной интервал передачи сигнала; ν2 – спектральная плотность мощности шума.

241

Тогда

	h2
		1	0			0
		2
			2
K Q		0		h2		0		H,
			2						(6.7)
						h2
		0	0			NTX
						2

где H – матрица отношений энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума.

6.1.1 Влияние пространственной и кодовой корреляции

Поскольку в системах MISO в рассматриваемом случае используется квазиортогональное STBC кодирование, то на помехоустойчивость приема влияет не только пространственный разнос антенн (коэффициент корреляции rTX), но и неортогональность кода (коэффициент корреляции rSTBC). Поэтому, для учета влияния двух факторов используется коэффициент множественной корреляции R. Таким образом, матрица KMISOQMISO имеет следующий вид [38]

KMISOQMISO = K∙Q∙R = H∙R,

(6.8)

где R – матрица множественной корреляции, с элементами Ri, которые рассчитываются по формуле [43, 62]

RX

CTRxx1C,

(6.9)

где С – вектор коэффициентов корреляции различных влияющих факторов, Rxx – матрица коэффициентов взаимной корреляции между этими факторами.

Значение C и Rxx определяются по формулам

C r	;r		R			1	r	r		,	(6.10)
				xx		r	TXi	STBCi
TX	STBC				r			1
						STBCi
					TXi

242

где rTXi – элемент матрицы пространственной корреляции, rSTBCi – элемент матрицы корреляции передаваемых сигналов.

Подставляя (6.10) в (6.9), получим коэффициент множественной корреля-

ции Rx

							1
		r				r2	r2		1
Rx
		TX				TX	STBC
	r					r	r
		STBC				TX STBC
					r2 r2			1
					TX		STBC

		rTX rSTBC
	r2 r2			1				;r	.
	TX		STBC				r
			1				TX	STBC	(6.11)
		r2	r2		1
		TX	STBC

Из выражения (6.11) следует, что коэффициент множественной корреляции при ненулевой корреляции между антеннами и ненулевой корреляции между кодовыми словами определяется выражением

R	r2	r2	2r2	r2
	TX	STBC	TX STBC		,	(6.12)
		1 r
x			2 r2
		TX STBC

Rx – это элемент матрицы множественной корреляции R.

Заметим, что при любых C rTX ;rSTBC результирующий коэффициент корреляции всегда больше или равен наибольшему коэффициенту корреляции.

6.1.2 Анализ матрицы коэффициентов передачи

Подставляя (6.11) и (6.12) в (6.8) получим матрицу отношений энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума, с учетом пространственной (rTX) и кодовой (rSTBC) корреляции [43]

243

h2

1

0

0

2

h2

KMISOQMISO

0

2

0

2

h2

0

0

NTX

2

2

2

2

2

rTXi

rSTBCi

2rTXirSTBCi

1

2

2

1 rTX rSTBC

i

i

2

2

2

2

rTX

rSTBC

2rTX rSTBC

i

i

i

i

1

1 r2

r2

TXi

STBCi

r2 r2

2r2

r2

r2

r2

2r2

r2

TXi

STBCi

TXi STBCi

TXi

STBCi

TXi STBCi

1 rTX2

rSTBC2

1 rTX2 rSTBC2

i

i

i

i

244

2		2		2	2
	rTXi	rSTBCi	2rTXirSTBCi
		2		2
		1 rTX rSTBC
			i	i
2		2		2	2
	rTX	rSTBC	2rTX rSTBC
	i	i			i	i
		1 r2		r2
		TXi		STBCi
									(6.13)
		1

Подставив значения пространственной корреляции rTX и перемножив матрицы, получим

KMISOQMISO

2

h1

2

h2

rTX2

rSTBC2

2rTX2 rSTBC2

2

i

i

2

1 rTX2

rSTBC2

i

h

2

r

N 1 2

r

2

2r

N 1 2

r

2

N

TX

STBC

TX

STBC

i

i

2

1 rN 1 2r2

TX

STBC

i

h

2

rN 1 2 r2

2rN 1 2r2

TX

STBC

TX

STBC

1

i

i

2

1 rN 1 2r

2

TX

STBC

i

h

2

rN 2 2 r2

2rN 2 2r2

TX

STBC

TX

STBC

2

i

i

2

1 rN 2 2r2

TX

STBC

i

h2

N

2

h	2		r2	r	2			2r2	r2
			TX	STBC				TX STBC
1						i			i
2				1 r2				r2
						TX STBC
								i
						h2
					2
						2

	h	2		rN 2 2	r2	2rN 2 2r2
				TX	STBC	TX	STBC
	N				i		i
	2				1 rN 2 2r2
					TX	STBC
						i
								(6.14)

где hi2 – отношение энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума i-го канала, rSTBCi – элемент матрицы RSTBC коэффициентов корреляции кода STBC, N – количество передающих антенн, rTX – коэффициент пространственной корреляции между антеннами.

Полученная формула (6.14) является корреляционной моделью канала для системы MISO с М передающими антеннами, для каналов передачи с релеевскими замираниями hi2, рассчитанными для каждой антенны, с учетом пространственной корреляции между антеннами rTX, а также с учетом неортогональности (rSTBC) любого пространственно-временного кода STBC.

Рассмотрим несколько частных случаев, вытекающих из полученной корреляционной модели (6.14).

245

1. В случае, если каналы (пути распространения) являются статистически однородными h12 h22 hi2 h2 , тогда

KMISOQMISO

r2

r2

2r2

r2

1

TX

STBCi

TX

STBCi

1 r2

r2

TX

STBC

i

r2

r

2

2r2

r2

h2

TX

STBC

TX

STBC

1

i

i

1 r2

r2

2

TX STBCi

rN 1 2

r

2

2rN 1 2r2

rN 2 2

r2

2rN 2 2r

2

TX

STBCi

TX

STBCi

TX

STBCi

TX

STBCi

1 rTXN 1 2rSTBC2

1 rTXN 2 2rSTBC2

i

i

rN 1 2

r2

2rN 1 2r2

TX

STBCi

TX

STBCi

1 rN 1 2r2

TX

STBC

i

rN 2 2

r2

2rN 2 2r2

TX

STBC

TX

STBC

i

i

(6.15)

1 rN 2 2r2

TX

STBCi

1

2. В случае, если каналы статистически однородны и код STBC является ортогональным, т.е. rSTBCi = 0 , тогда

1

r

rN 1

r

TX

TX

h2

1

rN 2

K

MISO

Q

MISO

TX

TX

.

(6.16)

2

rN 2

1

rN 1

TX

TX

3. В случае, если каналы статистически однородны, пространственная корреляция между антеннами относительно мала, и можно пренебречь корреляцией между несоседними антеннами, тогда (при rSTBC = 0)

246

								1	rTX	0		0
						2	r		1	r
K		Q			h		TX			TX
	MISO		MISO				0		r	1		0	.	(6.17)
				2					TX			r
												TX
								0		0	r	1
											TX

4. В случае, если каналы статистически однородны, код STBC является квазиортогональным расширенным кодом Аламоути, тогда при пренебрежении корреляцией между несоседними антеннами

KMISOQMISO

1

rTX

0

r2

r2

2r2

r2

r

1

TX

STBC

TX

STBC

TX

1 r2

r2

TX

STBC

h2

0

r2 r2

2r2

r2

1

TX

STBC

TX

STBC

2

1 r2

r2

TX

STBC

r

r

STBC

STBC

rSTBC

rSTBC

2

2

2

2

2

2

rTX rSTBC

2rTX rSTBC

1 rTX rSTBC

2

2

2

2

rTX

rSTBC

2rTX rSTBC

1

2

2

1 rTX rSTBC

rTX2 rSTBC2 2rTX2 rSTBC2

1 rTX2 rSTBC2

(6.18)

247

6.2Расчет вероятности ошибки для частных случаев

Вычисление собственных чисел λk матрицы отношений энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума (6.14) является непростой задачей, т.к.

для этого необходимо найти корни уравнения
| KMISOQMISO - λI| = 0,	(6.19)

где | ∙ | – детерминант матрицы, а I – единичная матрица.

Для нахождения собственных чисел некоторых матриц, воспользуемся программным средством математических вычислений MathCad.

Рассмотрим наиболее простые результаты аналитических расчетов в общем (аналитическом виде) для случаев с 2-я и 4-я передающими антеннами.

6.2.1 2-х антенная система

Пусть коэффициенты корреляции неизвестны, и обозначены соответственно: rTX – корреляция между соседними передающими антеннами, rSTBC – корреляция между 2-мя векторами сигналов, разнесенных (кодированных) с помощью произвольного STBC-кода.

Матрица отношений энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума равна

						h	2		1	r
			KMISOQMISO					r			TX	.			(6.20)
						2					1
									TX
Тогда собственные числа матрицы KMISOQMISO для 2-х антенн равны
			h2									h2
				(1 r	) (3.21),								(1 r ).		(6.21)
		2										2
1				TX						2				TX
Поскольку любой		STBC-код			размера				2 2		является			ортогональным,

то rSTBC = 0 для двух любых сигналов.

248

Вероятность ошибки, вычисленная для данного случая равна

1

1 r

(1 r )h2

1 r

(1 r )h2

p

TX

TX

TX

TX

2

1

. (6.22)

2rTX

(1 r

)h2 2

2rTX

(1 r

)h2 2

2

TX

TX

Полученный

результат

для

системы

MISO

[43] полностью

совпадает

с классической теорией помехоустойчивости разнесенного приема [38], где используется система SIMO.

Данный результат получен исходя из предположения, что мощность сигнала, излучаемого с каждой антенны в системе MISO равна мощности, излучаемой одной антенной при разнесенном приеме. Но в реальных системах MISO полная мощность, как правило, делится поровну между всеми передающими антеннами. При этом помехоустойчивость системы ухудшается, поскольку отношение полной энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума hi2 для каждого канала равен [3]

	2		h2
	hi		S	,	(6.23)
			N

где hS – отношение полной энергии сигнала к спектральной плотности мощности шумаx.

В этом случае, при Nt = 2 формула (6.22) примет вид [43]

1

1 r

(1 r )h2

1 r

(1 r )h2

TX

TX S

TX

TX S

p2

1

.

(6.24)

2

2r

(1 r

)h2 4

2r

(1 r

)h2 4

TX

TX

S

TX

TX

S

График данной функции (рис. 6.1) для системы MISO с двумя передающими антеннами сдвинут вправо на 3 дБ относительно графика функции помехоустойчивости для сдвоенного приема (6.22) (система SIMO). Т.е. наблюдается проигрыш по помехоустойчивости системы MISO относительно системы SIMO, вследствие равномерного распределения мощности между передающими антеннами в системе MISO.

249

Еb / No dB

Рис. 6.1. Зависимость вероятности ошибки от SNR для 2-х антенной системы MISO с кодом Аламоути для коэффициентов пространственной корреляции

rTX = 0, 0.5, 1, модуляция BPSK

6.2.2 4-х антенная система

Матрица отношений энергии сигнала к спектральной плотности мощности шума для данного случая определяется выражением

250