- •П.О. Гуков
- •Министерство сельского хозяйства Российской Федерации
- •Теоретические основы электротехники: примеры решения типовых задач
- •Воронеж 2004
- •Предисловие
- •Глава 1. Основные теоретические сведения
- •1.1. Линейная электрическая цепь постоянного тока
- •1.2. Линейная электрическая цепь синусоидального тока
- •1.3. Трехфазные цепи
- •1.4. Цепи несинусоидального периодического тока
- •1.5. Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •Расчет переходных процессов операторным методом
- •1.6. Нелинейные цепи синусоидального тока
- •1.7. Графо-аналитический метод расчета разветвленной магнитной цепи с постоянной намагничивающей силой
- •1.8. Цепь с распределенными параметрами
- •1.9. Электрическое поле
- •1.10. Магнитное поле
- •Вопросы для самопроверки
- •1.11. Электромагнитная индукция.
- •Глава 2. Примеры типовых расчетов
- •Мощность генераторов
- •Относительная погрешность составляет
- •Глава 3. Необходимые сведения о программе mathcad
- •3.1. Запуск и выход из программы
- •3 Строка меню Панель форматирования .2. Строка заголовка окна
- •3.3. Строка меню программы
- •3.4. Панель инструментов Standard
- •3.5. Панель инструментов Formatting
- •3.6. Панель инструментов Math
- •3.7. Панель инструментов Calculator
- •3.8. Вычисление математических выражений
- •3.9. Сохранение документа и завершение работы с программой
- •3.10. Решение уравнений
- •3.11. Системы уравнений
- •3.12. Построение графиков функций
- •Литература
- •Приложение Примеры решения задач с помощью программы mathcad
- •394087, Воронеж, ул. Мичурина, 1
1.4. Цепи несинусоидального периодического тока
В радио- и электротехнических цепях токи и напряжения могут отличаться по форме от синусоиды, оставаясь при этом периодическими. Причинами этого, как правило, являются несинусоидальность ЭДС источников и наличие нелинейных элементов. Применять символический метод непосредственно для расчета таких цепей нельзя. В этом случае несинусоидальные токи и напряжения представляют в виде ряда Фурье:
,
где I0 – постоянная составляющая (нулевая гармоника);
I1msin(t+ψ1) – первая (основная гармоника);
=2 / Т – основная частота,
Т – период исходной функции;
при к>1 гармоники называются высшими.
Таким образом, исходная функция представляется в виде суммы постоянной составляющей и синусоид ( в реальных случаях ограничиваются конечным числом гармоник).
Например, схема питается от источника несинусоидальной ЭДС, разложение которой ограничено четырьмя гармониками:
.
Реальный источник теперь представляется в виде последовательно соединенных источников постоянной и синусоидальных ЭДС, для которых можно использовать комплексный метод:
Для каждого источника отдельно рассчитываются токи в цепи. Окончательный результат в соответствии с принципом суперпозиции получается суммированием частичных токов в ветвях . При расчетах необходимо учитывать, что от номера гармоники зависят частота и реактивные сопротивления: с ростом номера индуктивное сопротивление увеличивается, а емкостное – уменьшается:
Источник, соответствующий постоянной составляющей, необходимо рассматривать как источник постоянной ЭДС, для которого индуктивность обладает нулевым сопротивлением, а конденсатор является обрывом цепи ( в установившемся режиме).
Активная мощность в цепи несинусоидального периодического тока определяется как сумма активных мощностей всех гармоник:
.
Действующее значение несинусоидального тока
.
Вопросы для самопроверки
В каком случае применяется разложение периодической несинусоидальной функции в ряд Фурье?
Основные характеристики несинусоидального тока, представленного в виде ряда Фурье.
Порядок расчета линейных цепей при несинусоидальных источниках.
Как зависят реактивные сопротивления от номера гармоник?
Как рассчитать активную мощность в цепи несинусоидального тока?
Как рассчитать действующие значения в цепи несинусоидального тока?
1.5. Переходные процессы в линейных электрических цепях
Переходные процессы возникают в результате коммутаций, которые представляют собой включения и отключения источников питания, включения и отключения участков цепей, скачкообразное изменение параметров элементов и т.д. Анализ переходных процессов проводят на основании законов коммутации.
При коммутации напряжение на емкостном элементе не может изменяться скачком:
UC(0-) = UC(0) = UC(0+) _,
где (0-) – момент до коммутации, (0) – момент коммутации,
(0+) – момент сразу после коммутации.
При коммутации ток в индуктивном элементе не может изменяться скачком:
iL(0-) = iL(0) = iL(0+).
Расчет переходных процессов классическим методом
Искомая функция y(t) (ток или напряжение) представляется в виде суммы свободной и принужденной составляющих. Принужденная составляющая находится из расчета цепи в установившемся режиме (после завершения переходного процесса). Необходимо учитывать, что в установившемся режиме при наличии только постоянных источников ток через конденсатор равен нулю, сопротивление и напряжение идеальной катушки индуктивности также равны нулю.
Свободная составляющая находится как общее решение однородного дифференциального уравнения. Для цепи первого порядка
.
Для цепи второго порядка
.
Параметр р находится из уравнения
z(p) = 0,
где z(p) - выражения для характеристического сопротивления цепи в послекоммутационном режиме. Характеристическое сопротивление записывается как полное сопротивление цепи переменному току с заменой множителя j на р: jL pL,
1/jC 1/pC.
Для цепи первого порядка z(p) – линейное уравнение с одним корнем, для цепи второго порядка – квадратное уравнение. Возможны три варианта: один корень (дискриминант равен нулю), два действительных корня р1 и р2 ( дискриминант больше нуля), два комплекс-сопряженных корня р1 и р2 (дискриминант меньше нуля).
В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер: напряжение и ток на участках цепи изменяются со временем без колебаний. В последнем случае наблюдается периодический (колебательный) процесс.
Постоянные интегрирования А, А1, А2 находятся из начальных условий. Начальные условия разделяют на независимые и зависимые. Независимые - напряжение на конденсаторе и ток в катушке в момент коммутации. Зависимые - ток в конденсаторе, напряжение на катушке, токи и напряжения на резисторах в момент t = (0+). Зависимые условия получаются из расчета схемы для послекоммутационного режима с учетом независимых условий.
Расчет закончен, если для искомой функции найдены корни (корень) характеристического уравнения и определены константы (константа) интегрирования. Окончательное решение имеет вид
y(t) = y(t)св + y(t)пр .