1859
.pdfнейного |
однородного |
дифференциального |
уравнения |
y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = 0 |
образуют на интеграле (a;b) фунда- |
ментальную систему, то общее решение этого уравнения име-
ет вид y00 = c1 y1 (x)+ c2 y2 (x), где c1 и c2 – произвольные постоянные (без доказательства).
5.10. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
y′′ + py′ + qy = 0 ,
где p и q – постоянные действительные числа. Чтобы найти
общий интеграл этого уравнения достаточно найти два линейно независимых частных решения. Будем искать частные ре-
шения в виде y = ekx , где k - подлежащая определению константа. Используя y′ = kekx , y′′ = k 2ekx и подставляя выражения
для y , |
y′, |
y′′ |
в |
дифференциальное уравнение, имеем |
|
ekx (k 2 + pk + q) = 0. |
|
|
|
||
Так |
как |
ekx |
≠ 0, |
то |
получается характеристическое |
уравнение k 2 + pk + q = 0. |
При решении характеристического |
уравнения возможны следующие три случая.
1. Характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k1 и k2 ( k1 ≠ k2 ). В этом случае ча-
стными решениями дифференциального уравнения являются
функции y |
= ek1x |
и y |
2 |
= ek2 x . Они образуют фундаментальную |
|||
1 |
|
|
|
|
|||
системурешений, т. к. их вронскиан |
|||||||
W (x)= |
|
ek1x |
ek2 x |
|
= k2e(k1 +k2 )x − k1e(k1 +k2 )x = e(k1 +k2 )x (k2 − k1 )≠ 0 . |
||
|
|
||||||
|
|
k1ek1x k2ek2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
Общее решение однородного дифференциального уравне-
ния имеет вид y = c1ek1x + c2ek2 x .
Пример 5.10.1. Найти общее решение дифференциально-
го уравнения y′′−3y′+ 2y = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
Составим |
характеристическое |
уравнение |
||||||
k 2 −3k + 2 = 0 , |
которое имеет |
|
|
|
два различных действительных |
||||
корня k1 =1, k2 |
= 2 . Запишем общее решение дифференциально- |
||||||||
го уравнения в виде y = c ex + c |
2 |
e2x . |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
2. Характеристическое уравнение имеет действитель- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
p2 |
|
ный двукратный корень k = k |
2 |
= k = − |
|
D = |
|
− g = 0 . В |
|||
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
этом случае известно лишь одно частное решение y1 = ekx . Однако, можно с помощью подстановки показать, что функция y2 = xekx также является решением дифференциального уравнения. Действительно,
y2″ + py2′ + gy2 = (xekx )″ + p(xekx )′ + g(xekx )= = (2kekx + xk 2ekx )+ p(ekx + xkekx )+ g(xek1x )=
= ekx (2k + k 2 x + p + pxk + gx)= ekx (x(k 2 + pk + g)+ (p + 2k)).
Поскольку k 2 + pk + g = 0, т.к. k является корнем характери-
стического уравнения, а |
p + 2k = 0 , т.к. |
по условию |
k = − |
p |
, |
|||||
|
||||||||||
|
|
″ + py2 |
′ + gy2 = 0 , |
|
|
|
2 |
|
||
то |
y2 |
т.е. функция |
y2 |
= xekx является вто- |
||||||
рым |
решением дифференциального |
уравнения. |
Функции |
|||||||
y |
= ekx и y |
2 |
= xekx образуют фундаментальную систему ре- |
|||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шений: W (x)= e2kx ≠ 0 . Общее решение дифференциального уравнения в этом случае имеет вид y = c1ekx + c2 xekx .
101
Пример 5.10.2. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′− 4y′+ 4y = 0 .
Решение: Составим характеристическое уравнение
k 2 − 4k + 4 = 0, которое имеет два одинаковых действительных корня k1 = k2 = 2. Запишем общее решение дифференциального
уравнения в виде y = c e2x + c |
2 |
xe2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3. Корни k1 |
и |
k2 |
характеристического уравнения явля- |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ются |
|
|
|
комплексными: |
|
|
k1 =α +iβ , |
k2 =α −iβ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
|
|||
D = |
|
|
− g < 0, α = − |
, β = |
|
g − |
|
> 0 |
|
. В этом случае ч а- |
||||||||||
4 |
|
|
4 |
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стными решениями дифференциального уравнения является функции y1 = e(α+iβ )x и y2 = e(α−iβ )x , которые образуют фун-
даментальную систему решений дифференциального уравнения, но не удобны для конкретного использования.
Применяя |
формулы |
Эйлера |
eiϕ = cosϕ + i sinϕ , |
e−iϕ = cosϕ −i sinϕ можно получить два действительных част- |
ных линейно независимых решения дифференциального урав- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
~ |
~ |
|
без мнимой единицы: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
нения y1 и |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
~ |
|
|
y |
|
|
+ y |
2 |
|
|
|
eαx+iβx + eαx−iβx |
|
αx |
eiβx + e−iβx |
|
αx |
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= e |
|
|
|
= e |
|
|
cos βx , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
~ |
|
|
|
|
y1 − y2 |
|
eαx+iβx −eαx−iβx |
|
|
αx |
eiβx −e−iβx |
|
|
αx |
|
||||||||||
y |
2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= e |
|
|
|
|
= e |
|
|
sin βx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Функции |
являются решениями дифференциаль- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y1 и |
y2 |
ного уравнения по теореме о свойстве решений этого уравнения и тоже образуют фундаментальную систему решений, так
как W (x)≠ 0 . Поэтому общее решение дифференциального
уравнения y′′+ py′ + qy = 0 в третьем случае запишется в виде
102
y = eαx (c1 cos βx + c2 sin βx).
Пример 5.10.3. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′− 4y′+13y = 0 .
Решение: Составим характеристическое уравнение, которое
имеет два комплексных корня k1 = 2 +3i |
и k2 = 2 −3i . Запишем |
||
общее решение |
|
дифференциального |
уравнения в виде |
y = e2x (c sin 3x + c |
2 |
cos3x). |
|
1 |
|
|
5.11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Рассмотрим линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = f (x),
где a1(x), a2 (x), f (x)- заданные, непрерывные на (a,b) функции. Уравнение y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = 0 , называется соответст-
вующим ему однородным уравнением.
Теорема 1. (Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго
порядка). Общим решением yон уравнения y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = f (x) является сумма его произвольного
частного решения yчн и общего решения yoo = c1 y1 + c2 y2 соответствующего однородного уравнения, т.е. yон = yоо + yчн .
|
Теорема 2. (Теорема о наложении решений). Если пра- |
||
вая часть уравнения y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = f1 (x)+ f2 (x) |
пред- |
||
ставляет собой сумму двух функций: f1 (x) и |
f2 (x), а |
y1чн и |
|
y2чн |
- частные решения уравнений y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = f1 (x) |
||
и y′′+ a1 (x)y′+ a2 (x)y = f2 (x) соответственно, |
то функция |
||
yчн |
= y1чн + y2чн является частным решением данного уравне- |
||
ния. |
|
|
|
|
103 |
|
|
5.12. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Рассмотрим неоднородное линейное дифференциальное
уравнение |
y′′+ py′+ qy = eαx (Pn (x)cos βx +Qm (x)sin βx) с правой |
|||||||||||
частью специального вида, где α, β, p, q – некоторые числа, |
||||||||||||
P (x)= a |
n |
xn + a |
n−1 |
xn−1 +... + a |
0 |
, |
Q |
m |
(x)= b |
xm +b |
xm−1 +...+b . |
|
n |
|
|
|
|
|
m |
m−1 |
0 |
Общее решение уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения
yoo и частного решения yчн неоднородного уравнения. Част-
ное решение уравнения со специальной правой частью может быть найдено методом неопределенных коэффициентов, со-
стоящим в том, что по виду правой части f (x)= eαx (Pn (x)cos βx +Qm (x)sin βx) неоднородного уравнения записывают ожидаемую форму частного решения
y = xl eαx (PN (x)cos βx +QN (x)sin βx).
Здесь многочлены PN (x), QN (x) с коэффициентами, подлежа-
щими определению, имеют одинаковую степень, равную большему из значений чисел m и n . Число l равно кратности совпадения параметра α +iβ с корнями характеристического уравне-
ния. Если параметр α +iβ не совпадает с корнями характери-
стического уравнения, то l = 0 . Если параметр оказывается равным одному из действительных корней характеристического уравнения, или совпадает с одним из комплексных корней характеристического уравнения, то l =1. Если параметр совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения, то l = 2 .
Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид f (x)= Pn (x)eαx , где Pn (x) - многочлен n –ой степени. Пара-
104
метр правой части α +iβ =α совпадает с α , а число α не яв-
ляется корнем характеристического уравнения k 2 + pk + q = 0. В этом случае частное решение ищется в виде
y = (A0 xn + A1xn−1 +... + An )eαx ,
где коэффициенты A0 , A1 ,…, An подлежат определению.
Если же число α совпадает с одним из действительных корней характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде
y = x(A0 xn + A1xn−1 +... + An )eαx .
Если же число α совпадает с двукратным действительным корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде
y = x2 (A0 xn + A1xn−1 +... + An )eαx .
Пример 5.12.1. Найти общее решение уравнения y′′− 4y′+3y = x + 2 .
Решение: Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид yоо = C1ex +C2e3x .
Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид (x + 2)e0x , где параметр правой части α +iβ =0 и не
совпадает с корнями характеристического уравнения |
k1 =1 и |
||||||
k2 |
= 3 , то час |
тное |
решение |
ищется |
в |
виде |
|
y |
чн |
= Q (x)e0x = Ax + B . |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя это выражение в заданное уравнение, имеем |
|||||
− 4A +3(Ax + B) = x + 2 . |
|
|
|
|
|||
|
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, |
|||||
получим 3A =1, |
− 4A +3B = 2 , откуда |
A =1/ 3, |
B =10 / 9. |
Следовательно, yчн = 13 x + 109 .
Общее решение дифференциального уравнения равно
105
y = C1ex +C2e3x + 13 x + 109 .
Пример 5.12.2. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′−5y′+ 4y = (x − 2)ex .
Решение: Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид
yоо = C1ex +C2e4x .
Так как правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид (x − 2)ex , где параметр правой части α +iβ =1и совпадает с корнем характеристического уравнения k1 =1, то ча-
стное решение ищется в виде y |
чн |
= xQ (x)ex = (Ax2 + Bx)ex . |
|
|
1 |
|
|
Найдя первую производную y′ = (Ax2 + (2A + B)x + B)ex |
и |
||
вторую производную y′′ = (Ax2 + (4A + B)x + (2A + 2B))ex |
и |
||
подставляя это выражение в заданное уравнение, имеем |
|
||
(Ax2 +(4A +B)x +2A +2B)ex −5(Ax2 +(2A +B)x +B)ex +4(Ax2 +Bx)ex = |
|
||
= (x − 2)ex , |
|
|
|
(−6Ax + (4A −3B))ex = (x − 2)ex . |
|
|||||
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях |
|||||
xex , |
ex |
|
|
получим |
−6A =1, |
2A −3B = −2 , откуда |
A = −1/ 6, |
B = 5 / 9. Следовательно, |
yчн = (− x2 / 6 +5x / 9)ex . |
||||
|
Общее решение дифференциального уравнения равно |
|||||
y = C ex +C |
2 |
e4x + (−x2 |
/ 6 +5x / 9)ex . |
|
||
|
1 |
|
|
|
|
Пример 5.12.3. Найти общее решение уравнения y′′+ 4y = xex .
Решение: Найдем общее решение однородного уравнения, предварительно записав его характеристическое уравне-
ние k 2 + 4 = 0, k1,2 = ±2i . Общее решение соответствующего
однородного уравнения
yоо = C1 cos 2x +C2 sin 2x . 106
Правая часть данного неоднородного уравнения xex имеет видP1 (x)ex . Так как коэффициент α +iβ =1 в показателе степени не является корнем характеристического уравнения, то
частное решение ищется в виде yчн = (Ax + B)ex . |
Подставляя |
|
это выражение в заданное уравнение, будем иметь |
|
|
(Ax + 2A + B)ex |
+ 4(Ax + B)ex = xex . Приравнивая коэффициен- |
|
ты при одинаковых функциях, получим 5A =1, |
2A +5B = 0, |
|
откуда A =1/ 5, |
B = −2 / 25. Следовательно, частное решение |
|
равно yчн = (x / 5 − 2 / 25)ex . Общее решение равно |
|
y= C1 cos 2x + C2 sin 2x + (x / 5 − 2 / 25)ex .
2.Правая часть неоднородного уравнения имеет вид
f (x)= eαx (Pn (x)cos βx +Qm (x)sin βx),
где Рп(х) и Qm(x) - многочлены степени п и т соответственно,
αи β - действительные числа.
Вэтом случае частное решение следует искать в виде
y = xl eαx (M s (x)cos βx + Ns (x)sin βx), где l - число, равное кратности α + βi как корня характеристического уравнения
k2 + pk + g = 0, M s (x) и Ns (x) - многочлены степени s с не-
определенными коэффициентами, s - наивысшая степень мно-
гочленов Рп(х) и Qm(x), т. е. s = max(n, m).
Следует отметить, что указанные формы частных решений сохраняются и в том случае, когда правая часть дифферен-
циального уравнения имеет вид Pn (x)eαx cos βx или
Qm (x)eαx sin βx .
Если же правая часть линейного уравнения второго порядка имеет вид:
f (x) = M cos βx + N sin βx ,
107
где M и N – постоянные числа, а iβ не является корнем харак-
теристического уравнения, то частное решение уравнения следует искать в виде
yчн = Acos βx + Bsin βx .
Если iβ является корнем характеристического уравнения, то частное решение уравнения следует искать в виде
yчн = x(Acos βx + B sin βx).
Пример 5.12.4. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения y′′+2 y′+5y = 2 cos x.
Решение: Общее решение будет иметь вид y = yoo + yчн . Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
k 2 +2k +5 = 0, |
k1 = −1+2i, |
k2 = −1−2i. |
||||
Тогда общее решение соответствующего однородного |
||||||
уравнения |
|
= e−x (C |
|
|
|
|
y |
oo |
cos 2x +C |
2 |
sin 2x). |
||
|
|
1 |
|
|
||
Поскольку параметр правой части данного неоднородно- |
||||||
го уравнения α +iβ = i |
не является |
корнем характеристиче- |
||||
ского уравнения, частное решение будем искать в форме |
||||||
|
|
yчн |
= Acos x + Bsin x , |
где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
Находя производные и подставляя их в заданное уравнение, будем иметь
− Acos x − Bsin x + 2(−Asin x + B cos x) +5(Acos x + Bsin x) = 2cos x .
Приравнивая коэффициенты при cos x |
и sin x , получим: |
||||
|
− A +2B +5A = 2, − B −2A +5B = 0, |
||||
откуда |
A = 2 / 5, B =1/ 5. |
Следовательно, частное решение |
|||
yчн = 2 cos x + 1 sin x . Общее решение |
y = yoo + yчн будет |
||||
5 |
5 |
|
|
sin 2x) + 2 cos x + 1 sin x . |
|
иметь вид y = e−x (C cos 2x |
+C |
2 |
|||
|
1 |
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
108 |
|
Пример 5.12.5. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения y′′+4 y = cos 2x.
Решение: Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим характеристическое уравнение
и найдем его корни k 2 +4 = 0, k1 = +2i, k2 = −2i. Тогда общее решение соответствующего однородного уравнения
yoo = C1 cos 2x +C2 sin 2x.
Поскольку параметр правой части α +iβ = 2i совпадает с корнем характеристического уравнения, частное решение бу-
дем искать в форме yчн = x(Acos x + Bsin x), где А и В – постоянные коэффициенты, подлежащие определению.
Подставляя производные
yчн′ = 2x(−Asin 2x + B cos 2x) + (Acos 2x + B sin 2x),
yчн′′ = 4x(−Acos 2x − B sin 2x) + 4(−Asin 2x + B cos 2x)
в исходное уравнение, и приравнивая коэффициенты при cos 2x и sin 2x , получим два уравнения для определения А и В:
4B =1, − 4A = 0 . Откуда A = 0, B =1/ 4. Следовательно, ча-
стное решение yчн = 14 x sin x . Общее решение будет иметь вид
y = C1 cos 2x +C2 sin 2x + 14 x sin x .
Пример 5.12.6. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.
y(0) =1, y′(0) = 2.
y′′+ y′−2 y = cos x −3sin x.
Решение: Найдем общее решение дифференциального
уравнения y = yoo + yчн .
Составим характеристическое уравнение и найдем его
корни: k 2 +k −2 = 0, |
k1 =1, k2 = −2. |
109