1859
.pdf
|
12 |
|
3 4 |
|
3 |
|
|
|
4 |
|
||||
|
3 |
|
|
x +1 |
|
|||||||||
|
|
∫t dt = − |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
+C. |
|
= − |
16 |
|
t |
+C = − |
16 |
|
x −1 |
|
||||||
|
|
16 |
|
|
|
|
|
Пример 1.10.3. Вычислить интеграл ∫ 22 +− xx dxx .
|
|
|
|
Решение: Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ′ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2 − x |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 − 2t |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 − 2t |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= t |
|
|
, 2 − x |
= 2t |
|
+t |
|
|
x, |
x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, dx |
= |
|
|
|
|
|
|
dt = |
|||||||||||||||||||||
2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1+t |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
− 4t(1+t 2 )− (2 − 2t 2 )2t |
dt = |
|
|
|
−8t |
|
|
dt, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1+t 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
(1+t 2 )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1+t 2 |
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 2dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ |
|
2 − x |
|
= −8∫t |
|
|
|
|
|
= −4∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−t 2 )(1+t 2 ). |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
2 + x |
|
2 − 2t 2 |
|
(1+t 2 )2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Используем разложение рациональной дроби |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
1 |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−t 2 )(1+t 2 )= |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1−t 2 |
1+t 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
В итоге имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
∫ |
|
|
|
dt |
|
|
1 |
∫ |
|
dt |
|
|
|
= ln |
|
t |
−1 |
|
|
|
|
2arctgt |
+C = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1−t |
2 |
2 |
1+t |
2 |
|
t |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 − x |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= ln |
|
|
|
|
2 + x |
|
+ 2arctg |
|
|
|
2 − x |
|
+C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 − x |
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫R(x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)dx , |
∫R(x; |
|
|
|
|
)dx , |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Интегралы |
вида |
|
ω2 − x2 |
ω2 + x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫R(x; |
|
|
|
|
|
)dx вычисляются с помощью тригонометриче- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 −ω2 |
|
ских подстановок.
30
Интеграл ∫R(x; ω2 − x2 )dx рационализируется с помо-
щью |
|
|
подстановки |
|
|
|
x =ωsin t , |
dx =ω costdt . |
|
|
|
|
|
Используя |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ω2 − z2 |
= |
|
|
ω2 (1−sin2 t)=ω cost , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫R(x; |
|
|
|
|
|
|
|
)dx =ω∫R(ω sin t,ω cost)costdt . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ω2 − x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 1.10.4. Вычислить интеграл |
∫ |
9 − x2 |
|
|
dx. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
9 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 −9sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
dx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
3costdt = |
3 |
|
|
dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 3costdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= 3∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
−sin t dt |
= 3ln |
tg |
|
|
+ |
|
3cost +C = 3ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C =3ln |
tg |
|
|
|
|
|
|
1 −sin 2 arcsin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
+ 3cos arcsin |
|
3 |
|
|
+ 3 |
|
+ C = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
arcsin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
=3ln |
tg |
3 |
|
|
+ 3 1 − |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫R(x; |
|
|
|
)dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Интеграл |
|
ω2 + x2 |
рационализируется с помо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щью |
|
|
|
подстановки |
|
|
|
x =ω tgt , |
|
dx = |
|
|
ω dt |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Используя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ω2 + z2 |
= |
|
|
ω2 (1+tg 2t)= |
|
|
|
|
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos2 t |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫R(x; |
|
ω |
|
|
|
+ x |
|
|
|
)dx =ω∫R ω tgt, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1.10.5. Вычислить интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(9 + x2 )3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = 3tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
3dt |
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
cos |
|
t |
|
|
= |
1 |
∫ |
|
costdt = sin t +C = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(9 |
+ x |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
tgt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ C |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1 + tg2t |
|
|
1 + |
|
x |
2 |
9 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫R(x; |
|
|
|
|
|
|
)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Интеграл |
x2 −ω2 |
|
|
рационализируется с помо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
щью |
|
подстановки |
|
x = |
|
|
|
ω |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
dx = |
|
ω sin t dt |
. |
|
Используя |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
−ω |
|
= |
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
= |
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫R(x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
sin t ω |
sin t dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
−ω |
|
|
|
=ω∫R |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Пример 1.10.6. Вычислить интеграл |
∫ |
|
|
|
x2 −9 |
dx . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
−9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3tgt 3sin t dt |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
cos |
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cost |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 t |
|
|
|
|
1−cos |
2 t |
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
π |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt − ∫costdt =ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
dt |
=∫ |
|
|
|
|
dt = ∫ |
|
|
|
tg |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|||||||||||||||
|
cost |
|
|
|
|
|
cost |
3 |
|
|
|
|
|
cost |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
arccos |
|
|
|
|
π |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||
−sin t +C = ln |
tg |
|
|
|
+ |
|
− |
|
|
1−cos2 t |
+C = ln |
tg |
|
|
|
|
+ |
|
− |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
2 |
|
+C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
− |
1− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вопросы для самопроверки
1.Дайте определение первообразной.
2.Каков геометрический смысл неопределенного инте-
грала?
3.Перечислите свойства неопределенного интеграла.
4.Напишите таблицу интегралов.
5.Выведите формулу интегрирования по частям.
6.Каковы частные случаи применения формулы интегри-
рования по частям?
7. Опишите варианты замены переменной в неопределенном интеграле.
8. Каковы простейшие дроби?
9. Опишите универсальную тригонометрическую подстановку.
10. Какая подстановка применяется при вычислении интегралов вида ∫R(x, mx, nx,...)dx ?
33
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить неопределенные интегралы |
|
)+C ). |
||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 ln(3x −1 |
|
|
|
|||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
+ |
9x2 −6x + 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
9x2 −9x + 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
∫ |
3 − 2ctg2 x |
dx (Ответ: 3tg x + 2ctg x |
+C ). |
||||||||||||||||
|
|
|
cos |
2 |
x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
∫ |
|
|
|
|
x |
|
dx (Ответ: x − 2 |
|
|
+ ln( |
|
|
+ |
1)2 +C ). |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.∫e−x5 x4dx (Ответ: − 15 e−x5 +C ).
5.∫1+xln x dx (Ответ: 23 (1+ ln x)3 +C ).
6. |
∫ |
|
xdx |
|
|
(Ответ: |
1 arcsin |
|
x |
2 |
|
|
|
+C ). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 − x4 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
∫ |
dx |
(Ответ: ln |
|
ln x +1 |
|
+C ). |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x(1+ln x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
(5x −1)e5x +C ). |
|
|
|||||||||||||||||||||
8. |
∫xe5x dx |
(Ответ: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
25 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
∫ |
|
|
(Ответ:xtgx + ln |
|
cos x |
|
+C ). |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2x(x + 2) |
+ cos 2x |
|
|||||||||||
10. |
∫(x + 2)cos 2xdx |
|
(Ответ: |
+C ). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4 |
|
11.∫x arctg xdx (Ответ: 2 arctgx − 2x +C ).
12.∫arcsin xdx (Ответ: x arcsin x + 1− x2 +C ).x2 +1
13. ∫x ln(3x + 2)dx |
x2 |
|
2 |
|
x2 |
|
x |
|
|
|
|
− |
|
|
|
+ |
|
+C ). |
|
(Ответ: |
2 |
9 |
ln(3x +2)− |
4 |
3 |
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14. ∫e2x cos3xdx (Ответ: e2x (2cos3x +3sin 3x)+C ). 13
15.∫1−x2 dx (Ответ: 2x 1− x2 + arcsin2 x +C ).
16.∫cos(ln x)dx (Ответ: 2x (cos(ln x)+sin(ln x))+C ).
|
17. ∫ |
3x2 + 2x −3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
x +1 |
|
+C ). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (Ответ: 3ln |
|
+ln |
−ln |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x(x −1)(x +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
18. |
∫ |
|
|
2x +3 |
dx (Ответ: − |
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
+C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x − 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x − 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
19. ∫ |
|
|
x4 − 2x3 +3x + |
4 |
dx (Ответ: |
|
|
x2 |
− 2x + |
4 |
ln |
|
x +1 |
|
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
3 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
− |
2 ln(x2 |
− x +1)+ |
8 |
|
|
arctg |
2x |
− |
1 |
+C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
20. ∫ |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
(Ответ: |
1 ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + |
|
|
1 |
|
arctg 2x |
+ |
1 + C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
|
3x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
21. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x(x2 +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
(Ответ: ln |
|
x |
|
− 1 ln(x |
2 +1)+ |
|
|
|
3x +1 |
|
+ |
|
3 arctg x + C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2(x2 +1) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
22. |
∫ |
|
|
|
dx |
|
|
|
(Ответ: |
1 ln |
|
x −1 |
|
− |
1 arctg x +C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
4 |
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
23. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
1 |
|
2 tg(x / 2)+1 |
|
|
+C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 ln |
|
|
|
tg(x / 2)− 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3sin x + 4cos x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
24. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
ln |
|
tg(x / 2)−5 |
|
|
+C ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tg(x / 2)−3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 − 4sin x + 7 cos x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
∫sin3 xdx |
|
(Ответ: −cos x + cos3 x |
+C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
∫sin3 x cos2 x dx (Ответ: |
|
|
cos5 x − cos3 x |
+C ). |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
27. |
∫ |
|
cos3 x |
dx (Ответ: − |
1 |
|
|
|
|
−sin x +C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ln1−5ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
28. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ответ: |
|
+C ). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
x − |
|
5sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
29. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
(Ответ: |
|
− |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(sin x + cos x) |
2 |
|
|
tgx +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
30. |
∫sin 3xsin 5xdx (Ответ: sin 2x − sin 8x |
|
+C ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
7 |
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
31. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dx (Ответ: |
6 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
+arctg6 |
|
|
x |
|
+C |
). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
32. |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
(Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
x +1 + |
|
|
|
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6( |
|
(x +1)3 |
|
|
|
|
3 |
|
(x +1)4 |
|
6 |
|
(x +1)7 |
|
|
|
x +1 |
+ |
6 |
|
(x +1)5 |
|
− |
(x +1)2 |
|
|
) +C ). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
9 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
33. |
∫ |
|
|
|
|
|
dx (Ответ: − |
|
|
|
|
+ ln(x + |
|
x |
2 |
+ |
5)+C |
). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(49 − x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
34. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx (Ответ: |
|
|
|
|
|
− 49 |
49 − x |
2 |
+C |
). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
49 − x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35. ∫xx22−1 dx (Ответ: ln x + x2 −1 − x2x −1 +C ).
36
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. Задача, приводящая к понятию определенного интеграла
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная функция y = f (x)≥ 0 . Фигура, ограниченная сверху графиком y = f (x), снизу осью Ox , с боков двумя вертикальными прямыми x = a
и x = b , называется криволинейной трапецией. Найдём пло- |
|
щадь этой фигуры. |
|
Для этого разобьём отрезок [a,b] на n частей произволь- |
|
ным образом. |
Обозначим длину частичных отрезков |
∆x1 = x1 − x0 , ∆x2 |
= x2 − x1, ...∆xn = xn − xn−1 . В каждом из ча с- |
тичных отрезков выберем произвольную внутреннюю точку
ξk |
xk ≤ξk ≤ xk +1 |
(k=1,…, n ). Вычислим значение функции f(x) |
в |
этих точках: |
f (ξk ) (k=1,… n ). Через точки деления |
x1, x2 ,..., xn−1 проведем прямые, параллельные оси Oy . Каждую
часть криволинейной трапеции, расположенную между вертикальными прямыми, заменим прямоугольником с основанием
∆xk и высотой f(ξk ) (k=1,… n ). Площадь каждого прямоуголь-
ника равна f (ξk ) ∆xk .
При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой (рис. 2), площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:
Sn = f (ξ0 )∆x0 + f (ξ1 )∆x1 +... + f (ξk )∆xk +... + f (ξn−1 )∆xn−1=
n
= ∑ f (ξk )∆xk .
k=1
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x) на данном отрезке.
37
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
||
ξ1 |
ξ2 |
|
ξ3 |
|
ξn−1 |
x |
|
a = x0 x1 |
|
x2 |
|
x3 |
xn−1 b = xn |
|
|
O |
|
|
|
|
Рис. |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Площадь Sn ступенчатой фигуры является лишь прибли- |
|||||||
жённым значением искомой площади криволинейной трапе- |
|||||||
ции. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, |
|||||||
чем меньше длина частичных отрезков и больше их число. |
|||||||
Найдем предел интегральной суммы Sn при n → ∞, если |
|||||||
длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю, т.е. |
|||||||
max ∆xk → 0 . Если такой предел существует, т.е. не зависит от |
|||||||
способа разбиения отрезка на n частей и выбора точек внутри |
|||||||
частичных отрезков, то этот предел и называется определен- |
|||||||
ным интегралом от функции |
y = f (x) на отрезке [a,b], обо- |
||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
значается ∫ f (x)dx |
и является площадью криволинейной тра- |
||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
b |
|
пеции S = lim Sn = lim |
∑ f (ξk )∆xk |
= ∫ f (x)dx . |
|
||||
n→∞ |
n→∞ k=1 |
|
|
a |
|
||
Таким образом, определенный интеграл от неотрицатель- |
|||||||
ной функции численно равен площади криволинейной трапе- |
|||||||
ции, в чем и состоит геометрический смысл определенного ин- |
|||||||
теграла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
2.2.Свойства определенного интеграла
1.Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
b |
b |
∫Af (x)dx = A∫ f (x)dx . |
|
a |
a |
Доказательство:
b |
|
n |
|
n |
b |
∫Af (x)dx = lim |
∑Af (ξk )∆xk |
= A lim |
∑ f (ξk )∆xk |
= A∫ f (x)dx. |
|
a |
n→∞ k=1 |
n→∞ k=1 |
a |
2. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a,b], то ин-
тегрируема на этом отрезке и сумма данных функций, т.е. определённый интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:
b |
b |
b |
∫ |
[f (x) + g(x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx . |
|
a |
a |
a |
(Доказательство на основе понятия определенного интеграла).
ba
3.∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx .
ab
Доказательство свойства становится очевидным, если учесть то, что при назначении нового порядка разбиения от-
резка [a,b] от b к a в интегральной сумме меняется знак каждого ∆xk на противоположный.
4. Свойство аддитивности: Если функция y = f (x) интегрируема на отрезке [a,b] и a<c<b, то
b c b
∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx ,
a a c
т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.
39