1859
.pdfy |
|
M |
y |
|
|
|
r |
|
|
φ |
|
O |
x |
x |
Рис. 9
Найдём площадь криволинейного сектора, ограниченного линией ρ = f (ϕ) и двумя лучами: ϕ =α и ϕ = β , выходящи-
ми из полюса. Воспользуемся методом дифференциалов. Выделим произвольный внутренний угол ψ (α, β). Рас-
смотрим площадь S(ψ) части указанного криволинейного сектора, заключенную между углами α и ψ . Назначим углу ψ приращение ∆ψ = dψ .
ρ=f(ϕ)
B C
Aα
β dψ
ψ |
|
α |
|
0 |
ρ |
Рис. 10 |
|
Тогда приращение функции |
S(ψ) равно площади «эле- |
ментарного криволинейного сектора» OBA (рис.10). Однако, дифференциал dS как главная часть приращения равен пло-
щади кругового сектора OCA , т.е. dS = 12 ρ2dψ . 60
Интегрируя равенство dS = 12 ρ2dψ в пределах от ψ =α
до ψ = β , получим искомую формулу для площади криволинейного сектора:
|
1 |
β |
1 |
β |
S = |
∫ρ2dψ = |
∫ρ2dϕ. |
||
|
2 |
α |
2 |
α |
Пример 3.3.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией ρ = acos 2ϕ .
Решение: Найдем пределы интегрирования из условия
cos 2ϕ ≥ 0 . |
Тогда |
|
|
|
− π |
|
+ 2kπ ≤ 2ϕ ≤ π + 2kπ |
|
или |
|||||||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
≤ϕ ≤ π |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||
− |
+ kπ |
+ kπ . |
Для |
фигуры, |
называемой |
лемнискатой |
||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бернули |
(рис.11), |
разрешенными |
оказываются |
отрезки |
||||||||||||||||||||
|
|
π |
, |
π |
|
при k |
= 0 и |
|
3π |
, |
5π |
при |
k =1. |
|
|
|
|
|||||||
− |
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3π |
|
|
π |
ρ = a |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2ϕ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11
Поскольку фигура содержит четыре симметричных элемента, то вычислим площадь четвертой части фигуры:
61
|
|
π |
|
|
π |
cos 2ϕdϕ = a2 |
|
π |
= a2 . |
|
1 S = |
1 |
∫4 |
ρ2dϕ = |
1 |
∫4 a2 |
sin 2ϕ |
4 |
Отсюда |
||
4 |
2 |
0 |
|
2 |
0 |
4 |
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = a2 .
3.4. Вычисление длины дуги
1. Пусть в прямоугольных координатах задана гладкая (не содержащая угловых точек) кривая AB , являющаяся графиком
функции y = f (x), имеющей на отрезке [a,b] непрерывную
производную.
Под длиной дуги AB подразумевается предел длины вписанной в эту дугу ломаной линии, число звеньев которой стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Используем метод интегральных сумм для нахождения формулы длины дуги. Разобьем отрезок [a,b] на n частей точ-
ками xi (i = 0,1,..., n). Пусть на кривой этим точкам соответс т- вуют точки M i (xi , f (xi )). Рассмотрим i −тый участок разбиения (рис. 12).
y = f (x) M i
∆Li ∆yi
M i−1
∆xi = xi − xi−1
Рис. 12
Длина хорды M i−1M i может быть найдена по теореме
Пифагора для прямоугольного треугольника с длинами катетов
∆yi и ∆xi :
62
∆Li = (∆xi )2 + (∆yi )2 .
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции ∆yi = f ′(ci )∆xi , где ci является некоторой внутренней точкой
отрезка [xi−1, xi ]. Тогда
∆Li = (∆xi )2 + (f ′(ci )∆xi )2 = 1+ (f ′(ci ))2 ∆xi .
Длина всей ломаной линии равна
n |
n |
|
|
Ln = ∑∆Li =∑ 1+ (f ′(ci ))2 ∆xi . |
|||
i=1 |
i=1 |
Длина дуги AB по определению равна
n
L = nlim→∞ ∑∆Li =
max ∆Li →0 i=1
Поскольку по условию
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
nlim→∞ |
∑ 1+ (f ′(ci ))2 ∆xi . |
||||
max ∆L |
→0 |
i=1 |
|||
|
|
|
|||
′ |
i |
|
|
|
|
|
непрерывна, то интеграль- |
||||
f (x) |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(f ′(ci ))2 ∆xi |
|
|
|
|
|
|||
ная сумма |
∑ 1+ |
составлена |
для |
непрерывной |
||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
∆xi |
|
( ∆xi → 0 при |
||
функции, а значит, |
имеет предел при |
→ 0 |
||||||||
∆Li → 0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫ 1 |
′ |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
+ (f (x)) dx . |
|
||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
2. Пусть уравнение кривой АВ задано в параметрической |
||||||||||
форме |
|
|
x = x(t), |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где x = x(y) |
|
|
y = y(t), α ≤ t ≤ β, |
|
||||||
и y = y(t) являются непрерывными функциями |
||||||||||
вместе со своими производными, x(α)= a , |
x(β)= b , то длина |
63
дуги находится с помощью замены переменной в интеграле
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ 1 |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
′ |
= |
y (t) |
, а |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
+ (f (x)) |
dx . Тогда dx = x |
(t)dt, |
f (x) |
x (t) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
′ |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
∫ |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
y |
(t) |
|
′ |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
′ |
|
|
′ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
L = |
|
|
1+ (f |
(x)) |
dx = |
|
|
1+ |
|
|
|
|
|
x (t)dt = |
|
|
|
(x (t)) + (y (t)) dt. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
x′(t) |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Пример 3.4.1. Вычислить длину линии, заданной пара- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
метрически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x = cos3 t, |
|
0 ≤ t |
≤ |
π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
y = sin3 t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Решение: Найдем производные |
|
|
|
′ |
= −3cos |
2 |
t sin t и |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x (t) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
y |
′ |
|
|
|
2 |
t cost . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(t) = 3sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L = ∫2 |
|
9cos4 t sin2 t +9sin4 t cos2 tdt = ∫2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9cos2 t sin2 t(cos2 t +sin2 t)= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3∫2 cost sin tdt = |
3 |
∫2 sin 2tdt = − |
|
3 cos 2t |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 = − |
(cosπ −cos0)= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3. Пусть кривая задана в полярных координатах непре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рывной функцией |
ρ = ρ(ϕ), |
|
α ≤ϕ ≤ β . |
В уравнениях связи |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
декартовых и полярных координат |
|
|
|
x = ρ cosϕ |
|
и |
y = ρsinϕ |
формально можно принять параметром полярный угол ϕ , тогда кривую оказывается возможным задать параметрически
x = ρ(ϕ)cosϕ,y = ρ(ϕ)sinϕ.
Вычисляя производные x (ϕ)= ρ (ϕ)cosϕ − ρ(ϕ)sinϕ ,
′ ′
y′(ϕ)= ρ′(ϕ)sinϕ + ρ(ϕ)cosϕ , имеем
(x′()t )2 +(y′()t )2 = (ρ′(ϕ)cosϕ −ρ(ϕ)sinϕ)2 +(ρ′(ϕ)sinϕ + ρ(ϕ)cosϕ)2 =
64
= (ρ′(ϕ))2 + (ρ(ϕ))2 .
Используя полученный результат, находим формулу для вычисления длины дуги, заданной в полярных координатах:
β
L = ∫(ρ(ϕ))2 + (ρ′(ϕ))2 dϕ.
α
Пример 3.4.2. Вычислить длину кардиоиды ρ =1+sinϕ. Решение: Кардиоида имеет вид, представленный на рис. 13.
ρ =1+sinϕ
ρ
O
Рис. 13 Кардиоида имеет две симметричные части. Вычислим
длину правой половины кривой:
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
= ∫2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ = ∫2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
(1+sinϕ)2 + (cosϕ)2 |
1+ 2sinϕ +sin2 ϕ + cos2 ϕ dϕ = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ∫ |
2 |
+ 2sinϕdϕ = |
|
2 ∫ |
1 |
|
+sinϕdϕ = |
|
|
2 ∫ |
|
|
1 |
+cos |
2 |
−ϕ dϕ = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t = |
|
|
|
−ϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
2 |
= − |
|
2∫ |
1+ cos(t)dt = |
|
2∫ |
1+ cos(t)dt = |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt = −dϕ. |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2∫ |
|
|
|
|
|
|
|
= 2∫cos |
|
|
4∫cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
2cos |
|
|
|
dt |
|
|
dt = |
|
|
|
d |
|
|
|
= 4sin |
|
|
|
0 |
= |
4, |
L |
= 8. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Вычисление объема тела
Пусть требуется найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которое проектируется на отрезок [a,b] оси Ox , причем известна зависимость площади поперечного сечения тела S = S(x) плоскостью, перпендикулярной оси Ox . Предполагается, что S = S(x) является непрерывной функцией x на отрезке [a,b].
Используем метод дифференциала. Через произвольную точку x проведем плоскость σ , перпендикулярную оси Ox . Площадь поперечного сечения равна S(x). Через точку x + dx
проведём другую плоскость, параллельную первой. Тогда из объёма тела будет выделен «элементарный слой» dV , соответствующий приращению объема. Объем «элементарного слоя» приближенно может быть посчитан как объем цилиндра с ос-
нованием S(x) и высотой dx : dV = S(x)dx .
Искомую величину объема находим интегрированием dV в пределах от a до b
V = ∫b S(x)dx .
a
Вычисление объема тела вращения (рис.14), образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, представляет собой частный случай предыдущей задачи. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху непрерывной
кривой y = f (x), прямыми линиями x = a , x = b и ось Ox .
Любое сечение данного тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox , есть круг радиуса R = y = f (x) . Поэтомуплощадь по-
перечного сечения равна
S(x) =πy2 =π[f (x)]2 и dV =π[f (x)]2 dx .
Объем тела вращения вокруг оси Ox равен
66
|
Vx = π∫b [f (x)]2 dx . |
|
a |
y |
y = f (x) |
O |
a |
x |
b |
x |
Рис. 14
Пример. 3.5.1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями y = x3 , x =1, y = 0 .
Решение:
1 |
π |
(x7 ) |
1 = |
π . |
Объём тела вращения равен V =π∫x6dx = |
||||
0 |
7 |
|
0 |
7 |
|
|
|
|
|
3.6. Вычисление площади поверхности вращения |
||||
Пусть кривая AB является графиком |
функции |
y = f (x) ≥ 0 , заданной на отрезке [a,b] и непрерывной вместе
с ее производной y′(x). Найдём площадь поверхности враще-
ния, образованной вращением кривой AB вокруг оси Ox . Для вывода формулы площади поверхности вращения ис-
пользуем метод дифференциала. Через произвольную внутреннюю точку x [a,b] проведем перпендикулярную оси Ox плоскость σ .
67
Плоскость σ пересекает поверхность по окружности радиуса y = f (x). Величина S части поверхности вращения,
расположенная левее плоскости σ , является функцией x . Пусть через точку x + dx проведена другая плоскость, параллельная плоскости σ . Тогда две параллельные плоскости выделят бесконечно узкую полосу поверхности (рис. 15.), площадь которой dS можно вычислить по формуле площади боковой поверхности усечённого конуса, образующая которой равна dl , а радиусы оснований равны y и y + dy :
dS =π(y + (y + dy))dl = 2πydl +πdydl .
Пренебрегая слагаемым πdydl как величиной более высокого порядка малости по сравнению с dl , получаем
dS = 2πydl . Поскольку dl = 1+ (y′(x))2 dx , то
b
S = 2π∫y1+ (y′(x))2 dx.
a
y
y=f(x)
O |
a |
x |
b |
x |
Рис. 15
Пример. 3.6.1. Найти площадь поверхности шара радиу-
са a .
Решение:
Будем считать, что поверхность получена в результате вращения полуокружности y = a2 − x2 вокруг оси Ox .
68
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 2x |
|
|
|
2 |
|
a |
a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S = 2π ∫ |
a |
2 |
− x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx = 2π a ∫dx = 2πa(x) |
|
= 4πa |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
+ |
2 |
a |
2 |
− x |
2 |
|
|
|
|
− a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−a |
|
|
Если поверхность вращения вокруг оси Ox образована кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t),
t1 ≤ t ≤ t2 , то площадь поверхности вращения равна
t2
S = 2π ∫y(t) (x′(t))2 + (y′(t))2 dt.
t1
Пример 3.6.2. Найти площадь поверхности, образованной вращением циклоиды вокруг оси Ox .
Решение:
Первая арка циклоиды описывается уравнениями
x = t −sin t,y =1−cost,
где 0 ≤ t ≤ 2π . Тогда площадь поверхности вращения равна
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = 2π |
(1−cost) |
|
(t |
|
′ |
2 |
|
|
(1 |
|
|
|
|
′ |
2 |
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
−sin t) |
|
+ |
−cost) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2π ∫(1−cost) |
|
|
|
((1−cost))2 + ((sin t))2 |
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2π |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= 2π ∫2sin2 |
|
1− 2cost + cos2 t +sin2 t |
dt = 4π ∫sin2 |
|
|
|
|
|
|
dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 − 2cost |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||
= 4 |
|
π ∫sin2 |
|
|
2sin2 |
|
|
dt = 8π ∫sin |
2 |
|
sin |
dt = 8π ∫sin3 |
|
|
|
dt = |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2π |
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
t |
|
2π |
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||||||||
= 8π ∫ |
1 |
−cos |
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
dt = 8π ∫ 1 |
−cos |
|
|
d − |
2cos |
|
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|