2087
.pdf7. ПРЯМОЙ КРУГЛЫЙ ВАЛ ПРИ СОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ КРУЧЕНИЯ С ИЗГИБОМ
7.1.Краткая теоретическая справка
7.1.2.Применение теорий прочности к расчету при кручении с изгибом
7.1.2.1. Основные понятия о теориях прочности
Теории прочности используют для оценки прочности тел в условиях сложного напряженного состояния.
При выполнении прикладных расчетов наиболее часто используют теорию прочности максимальных касательных напряжений и энергетическую теорию прочности.
Условие прочности по теории максимальных касательных напряжений (третья теория прочности) имеет вид
1 3 |
. |
(7.1) |
Условие прочности по энергетической теории (четвертая теория прочности)
1 |
|
|
|
|
|
|
. (7.2) |
|
|
1 2 2 |
2 |
3 2 |
3 |
1 2 |
|||
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь 1 , 2 , 3 главные напряжения 1 2 3 (см. разд. 6); допускаемое напряжение при одноосном растяжении.
Данные теории можно использовать, например, в расчете на прочность валов, подвергаемых изгибу с кручением, и плоско – пространственных стержневых систем.
Плоско – пространственной называют стержневую систему, у которой оси составляющих ее элементов лежат в одной плоскости, а нагрузки действуют в плоскостях, перпендикулярных этой плоскости.
Особенностью таких конструкций является то, что во всех поперечных сечениях внутренние силовые факторы, лежащие в плоскости системы, равны нулю.
130
Из условий нагружения плоско – пространственной системы можно определить вид деформирования – изгиб с кручением.
При изгибе с кручением в поперечном сечении действу-
ют изгибающий Ми и крутящий Мк моменты.
Чтобы провести расчет на прочность, необходимо построить эпюры крутящего Мк и изгибающего Ми моментов.
Правила и примеры построения эпюр при кручении и изгибе подробно изложены в разд. 5.
Опасное сечение вала определяется по величине макси-
мального расчетного (приведенного) момента М* . По теории прочности максимальных касательных напряжений (третья теория прочности)
М* = |
Ми2 Мк2 , |
(7.3) |
|||
а по энергетической теории прочности (четвертая теория |
|||||
прочности) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
М* = Ми2 0,75Мк2 . |
(7.4) |
||||
Условие прочности при изгибе с кручением бруса круг- |
|||||
лого поперечного сечения имеет вид |
|
||||
|
М* |
, |
(7.5) |
||
|
Wх |
||||
|
|
|
|
где Wх осевой момент сопротивления поперечного сечения,
который используется для расчета на изгиб ( см. разд. 3).
7.2. Примеры решения задач по теме
Пример 15
Построение эпюр крутящих и изгибающих моментов
всечениях статически определимого вала, определение диаметра вала с использованием четвертой теории прочности (задача № 8)
131
На рисунке 7.1 представлена схема нагружения промежуточного вала механической передачи прибора с установленными на нем зубчатыми колесами с диаметрами d1 и d2 . Каждое из колес может быть цилиндрическим прямозубым или косозубым, коническим, червячным, что определяется
|
наличием или |
отсутстви- |
||
|
ем осевых сил в зацепле- |
|||
|
нии колес Fa1 и Fa2 . |
|
||
|
На рисунке обозначе- |
|||
|
но: |
|
|
|
|
K1 и K2 - точки зацепле- |
|||
|
ния 1- го и 2- го колес с |
|||
|
колесами предыдущей |
и |
||
|
последующей |
ступеней |
||
|
передачи; - угол пово- |
|||
|
рота точки K2 относи- |
|||
|
тельно точки K1 |
вокруг |
||
|
оси вала; Ft1 |
и |
Ft2 |
- |
|
окружные силы, прило- |
|||
|
женные к зубчатым коле- |
|||
Рис. 7.1 |
сам 1 и 2 в точках зацеп- |
|||
|
ления K1 и K2 |
и направ- |
ленные по касательным к окружностям, проходящим через эти точки ; Fr1 и Fr2 - радиальные силы в зацеплениях колес, ли-
нии действия которых проходят через точки K1 и K2 перпен-
дикулярно оси вала; Fa1 и Fa2 - осевые силы в зацеплениях колес, проходящие через точки K1 и K2 и направленные параллельно оси вала.
Втабл. 7.1 силы даны в Ньютонах, момент в Н*мм, угол
в градусах, длины участков – в мм; M Ft1d1 Ft2d2 – вращающий момент, передаваемый зубчатыми колесами; d1 и
132
d2 - диаметры зубчатых колес, которые рассчитываются из условия равномерного вращения вала, которое может быть только при силовом равновесии вала; L1, L2 , L3 - расстояния между опорами и местами установки зубчатых колес.
Таблица 7.1
|
|
№ |
M |
|
|
|
F |
F |
F |
F |
F |
F |
|
L |
L |
L |
|||||||||||||||||
|
|
п/п |
Н*м |
гр |
|
t1 |
|
|
a1 |
|
|
r1 |
|
|
t2 |
|
|
a2 |
|
r2 |
|
1 |
2 |
|
2 |
||||||||
|
|
Н |
Н |
Н |
Н |
Н |
Н |
мм |
мм |
мм |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
1000 |
0 |
|
12 |
|
0 |
|
44 |
|
25 |
|
0 |
|
92 |
8 |
|
5 |
|
|
2 |
|
|
В соответствии с вариантом задания произвести расчет вала на прочность и жесткость в следующем порядке
1.Из условия равномерного вращения вала определить диаметры зубчатых колес d1 и d2 .
2.Изобразить в масштабе схему нагружения вала.
3.Определить реакции опор вала во взаимно перпендикулярных плоскостях, указанных на схеме нагружения вала.
4.Рассчитать изгибающие и крутящие моменты в сечениях вала, построить эпюры изгибающих и крутящих моментов.
5.Рассчитать диаметры вала на прочность по эквивалент-
ным напряжениям (приведенному моменту M* по 4 теории прочности) в наиболее опасных сечениях вала. Опасным сечением вала считать то, в котором приведенный момент нагрузки на вал максимален.
6. Рассчитать вал на жесткость при кручении.
Решение Определение диаметров d1 и d2
Из условия равномерного вращения вала следует
M1 M2 M ,
или M d1 Ft1 d2 Ft2 .
2 2
133
Отсюда определяем диаметры зубчатых колес d1 2M / Ft1 = 2*1000/120= 16,667 мм;
d2 2M / Ft2 = 2*1000/250= 8 мм.
Определение проекций сил, действующих в зацеплениях, на оси координат
Силы, приложенные в точках K1 и K2 расположены в разных плоскостях. В общем виде учет их воздействий на вал можно произвести на основании правил и формул теоретической механики. В технике используется способ расчленения воздействия на вал на три части – воздействие в вертикальной плоскости, воздействие в горизонтальной плоскости и кручение. При таком подходе используются соотношения, описывающие косой изгиб и кручение вала.
Для реализации такого подхода силы , приложенные в точках K1 и K2 приводятся методами теоретической механики в точки продольной оси вала, расположенные в тех же сечениях,
что и точки K1 и K2 , то есть силы перено-
сятся из точек K1 и
K2 в указанные тоски оси вала параллельно самим себе и добавляются соответствующие моменты этих сил. Приводя силы в зацеплениях колес к
точкам C и D, и заменяя действие опор реакциями, RA , RB получим схему нагружения вала, показанную на рис. 7.2.
134
Силы Ft2 и Fr2 , приложенные в точке K2 удобно заме-
нить их равнодействующей F Fx Fy Ft2 Fr2 . В таком случае проекции силы R определятся по формулам
Fx Ft2x |
Fr2x , Fy Ft2y |
Fr2y , |
|||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ft2x |
kt Ft2 cos( 0,5 0,5 ) kt Ft2 cos = |
||||||||
= 420*cos0 = 250*1= 250 Н, |
|
||||||||
F |
|
k F |
|
cos( 0,5 ) k F |
sin = 250*sin0 = 0, |
||||
t2y |
t |
t2 |
|
|
|
t t2 |
|
||
F |
|
F |
|
cos( 0,5 ) F |
sin = 93*sin0 = 0, |
||||
r2x |
r2 |
|
|
|
|
r2 |
|
||
F |
|
F |
|
cos( ) F |
r2 |
cos = -92*cos0 = - 92 Н. |
|||
r2y |
r2 |
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
kp Ft2 cos Fr2 sin = = 250-0= 250 Н, |
|||||
Fx Ft2x |
Fr2x |
||||||||
Fy |
Ft2y |
Fr2y |
Ft2 sin Fr2 |
cos = 0-92= -92 Н. |
|||||
Плечи осевых сил относительно оси х и у |
|||||||||
y1 0,5d1= 0,5*16,667*1= 8,334 мм, |
|||||||||
x2 |
0,5d2 |
cos( 0,5 ) 0,5d2 |
sin = - 0,5*8*0= 0 мм, |
||||||
y2 |
0,5d2 |
sin( 0,5 ) 0,5d2 cos = 0,5*8*1= 4 мм. |
|||||||
Проекции моментов осевых сил относительно точек C и D |
|||||||||
на оси х и у |
|
|
|
|
|
|
|
||
M1x |
0,5ka Fa1d1= 0,5*(-1)*0*40= 0 Н*м; |
||||||||
M2x Fa2 y2 0,5kaFa2d2 |
cos = 0,5*1*0*8*1= 0 Н*мм; |
||||||||
M2y |
Fa2 x2 0,5Fa2d2 sin = -0,5*1*0*8*0= 0 Н*мм. |
Рассмотрим раздельное воздействие на вал сил, расположенных в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
Вертикальная плоскость (zy )
В вертикальной плоскости действуют силы Fr1 , Fy , Fa1,
Fa2 а также пары сил, образующих моменты Mx1 и Mx2 . 135
Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В имеют вид
MAx 0,
RBy ( L2 L3 ) Fr1L1 M1x Fy L2 M2x 0 ,
MBx 0,
RAy( L2 L3 ) Fr1(L1 L2 L3 ) M1x Fy L3 M2x 0 ,
Тогда
RAy ( Fr1( L1 L2 L3 ) M1x Fy L3 M2x )/(L2 L3 ), RBy ( Fr1L1 M1x Fy L2 M2x )/( L2 L3 ),
или
RAy (44*(8+5+12)+0+92*12+0)/(5+12)= 129,647 Н,
RBy -(44*8+0-92*5+0)/(5+12)= 6,353 Н.
Проверка
Yi RAy RBy Fr1 Fy 129,647+6,353-44-92= 0.
Рис. 7.3
136
Следовательно, реакции RAy и RBy определены правиль-
но.
Горизонтальная плоскость (zx)
В горизонтальной плоскости действуют силы Ft1 , Fx ,
RAx , RBx а также пара сил, образующих момент M y2 .
Уравнения равновесия моментов сил относительно точек А и В имеют вид
M Ay 0 ,
RBx (L2 L3 ) kt Ft1L1 Fx L2 M2y 0,
MBy 0,
Рис. 7.4
RAx (L2 L3 ) kt Ft1( L1 L2 L3 ) Fx L3 M2y 0 ,
или
RAx ( kt Ft1(L1 L2 L3 ) Fx L3 M2y )/(L2 L3 ), RBx ( kt Ft1L1 Fx L2 M2y )/(L2 L3 ).
Тогда,
137
RAx -(-120*(8+5+12)+250*12+0)/(5+12)= 0 Н,
RBx (-120*8-250*5+0)/(5+12)= -130 Н.
Проверка
Xi RAx RBx kt Ft1 Fx 0-130-120+250= 0.
Следовательно, реакции RAx и RBx определены правиль-
но.
Суммарные реакции опор вала определяются по формуле
RA |
|
RAx2 RAy2 |
|
02 129,6472 |
129,647 Н; |
|
|
|
|
|
|
RB |
|
RBx2 RBy2 |
|
1302 6,3532 |
130,155 Н. |
Осевая реакция подшипника В определится из уравнения равновесия вала в проекциях на ось z
RBz Fa1 Fa2 0.
Отсюда следует RBz Fa1 Fa2 0.
Построение эпюр изгибающих и крутящих моментов Вертикальная плоскость (zy )
Изгибающие моменты M x равны:
Вточке С M xC 0;
Вточке А M xA M xC Fr1L1 M1x -44*8+0= -352
Н*мм;
Вточке D справа M xD RBy L3 M2x 6,353*12+0=
76,235 Н*мм.
В точке D слева
M xD RBy L3 6,353*12= 76,235 Н*мм В точке В M xB 0.
Эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости приведена на рис. 7.3.
Горизонтальная плоскость (zx)
Изгибающие моменты M y равны:
138
В точке С M yc 0;
В точке А M yA Kt Ft1L1 M1x 120*8= 960 Н*мм;
В точке D справа
M yD RBx L3 -(-130)*12= 1560 Н*мм.
В точке D слева
M yD RBx L3 M2y 130*12+0= 1560 Н*мм.
В точке В M yB 0
Эпюра изгибающих моментов в горизонтальной плоскости приведена на рис. 7.4.
Крутящие моменты в поперечных сечениях вала равны: На участке AC Mкр kt M 1000 Н*мм;
На участке AD = 1000 Н*мм; На участке BD Mкр 0.
Эпюра крутящих моментов в горизонтальной плоскости приведена на рис. 7.5.
Суммарный изгибающий момент в сечении вала определя-
ется по формуле Mi |
|
|
|
Mx2 |
M y2 . |
|
|
||||||
Суммарный изгибающий момент в поперечных сечениях |
|||||||||||||
вала равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В точке С MiC |
|
M xC2 |
M yC2 |
|
02 02 |
0 Н*мм; |
|||||||
В точке А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
MiA |
MxA2 M yA2 |
|
|
3522 9602 |
|
1022,148 Н*мм; |
|||||||
В точке D слева |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
MiD |
MxD2 M yD2 |
|
|
|
|
76,2352 15602 |
1561,862 Н*мм; |
||||||
В точке D справа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
MiD |
MxD2 M yD2 |
|
|
|
|
76,2352 15602 |
1561,862 Н*мм; |
В точке B MiB 0.
Эквивалентный момент в поперечных сечениях вала по
139