2087
.pdfб) если температура не меняется, то tK 0 и
lK NK lK . EK FK
5. Решают совместно уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений и получают значения нормальных сил в стержнях.
40
2.4. Примеры решения МБП задач для плоских стержневых систем
Пример 1
Определение нормальных сил в поперечных сечениях стержня по известной силе Р
Определить нормальные силы в сечениях стержня (рис. 2.7) считая известной силу P . Жесткость участков стержня принять одинаковой.
Представляем стержень состоящим из трех соосно расположенных стержней, на которые стержень делят плоскости, в которых приложены силы. Нормальные силы в этих стержнях выражаются через реакции и силы, действующие на концах стержней, а также перемещения u1 , u2 точек приложения сил 2P и 3P и жесткость участков стержня c
N1 RB =c l1 cu1 ,
N2 RB 2P =c(u1 u2 ),
|
N3 RA =c l3 cu2 . |
|
Рис. 2.7 |
Уравнение равновесия стержня 2 в про- |
|
екциях на вертикальную ось имеет вид |
|
|
|
N1 2P 3P N3 0. |
|
Подставляя в это уравнение силы N1 cu1 и N3 |
cu2 |
получаем
c(u1 u2 ) P.
Второе уравнение системы для определения u1 и u2 уже получено и имеет вид
N2 RB 2P=c(u1 u2 )= cu1 2P c(u1 u2 ),
или
c(2u1 u2 )=2P .
Решая полученную систему, находим
41
u |
1 |
= |
P |
, u |
2 |
= |
4P |
. |
|
3c |
3c |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Нормальные силы на участках стержня определяются выражениями
N1 cu1 |
P |
, |
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
3 |
|
|
||
N2 |
c(u1 |
u2 ) |
|
5P |
, |
||
|
|||||||
|
|
|
3 |
|
N3 cu2 4P . 3
Как видно, последняя задача была решена без определения реакций опор и использования уравнения совместности деформаций.
Пример 2
Раскрытие статической неопределимости ступенчатого стержня (задача 1)
Стальной ступенчатый стержень закреплен с обоих концов при нормальной температуре и нагружен сосредоточенной силой P=14qa и равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 2.8, а).
Требуется:
а) построить эпюры нормальных сил N и нормальных напряжений ;
б) построить эпюру температурных напряжений при нагреве стержня на t С.
Исходные данные: E 2 105 Мпа; q=80 кН/м; a=0,5 м;
F 13см2 ; t 65 C; 125 10 7 / C.
Решение Система один раз статически неопределима, поскольку
для стержня можно составить только одно уравнение равновесия
42
Piz 14qa 4q2a RA RB 0,
Рис. 2.8
содержащее две неизвестные реакции RA и RB. Отсюда следует
RA + RB - 6qa =0.
43
Стержень имеет три участка непрерывного изменения нормальных сил, ограниченных концевыми сечениями стержня и точками скачкообразного изменения площади поперечного сечения стержня.
При отсутствии реакции RB перемещение точки В равно
3
p lip ,
i 1
где lip Ci Nip для участков с постоянной нормальной силой и li Ci Nip* для участков, в пределах которых нормальная сила постоянная величина и li Ci Nip* для участков, в пре-
делах которых нормальная сила переменная величина; Nip* -
средняя нормальная сила для участка i. Индекс p указывает, что сила Nip и удлинение lip вызваны действием только внешних нагрузок.
Для определения Nip используем метод сечений, для чего стержень рассекается в нужном месте поперечным сечением, отбрасывается какаялибо из его частей вместе с приложенными к ней нагрузками, ее действие на рассматриваемую часть стержня заменяется нормальной силой Nip, направленной в сторону отброшенной части. Силу Nip определяют из уравнения равновесия рассматриваемой части.
Участок 1. 0 z1 a. Рассматриваем левую часть стержня. Из рис. 1.2 2.8, е следует Piz 0, RA N1p 0.
Отсюда N1p RA 6qa.
Участок 2. 0 z2 2a. Рассматриваем правую часть стержня. Из рис. 1.2 2.8, ж следует
Piz 0, 14qa 4qz2 N2p 0,
откуда
N2p 14qa 4qZ2 ,
N2p(0) 14qa,
44
N2p(2a ) 14qa 8qa 6qa
Участок 3. 0 z3 2a. Рассматриваем правую часть стерж-
ня. Из рис. 1.2 2.8, з следует
Piz 0 |
|
N3p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lp |
|
R |
A |
a |
|
10qa 2a |
0 |
|
6qa2 |
|
20qa2 |
|
6qa2 |
|
E 3F |
E 5F |
3EF |
5EF |
EF |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
При приложении реакции RA перемещения конца стержня становится равным нулю. Тогда
lp lR 0 ,
где lR - перемещение точки В, вызванное силой RB. Очевидно, что RB NR CB lR CB lp ,
где СВ- жесткость всего стержня; NR - нормальная сила, вызванная действием RB.
По определению
1 |
3 |
1 |
3 |
|
1 |
a |
2a |
2a |
|
||||
CB |
Ci |
li / EiFi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
i 1 |
|
i 1 |
|
E 3F |
5F |
3F |
|
или
CB 5EF / 7a.
Тогда
RB |
|
6qa2 |
|
5EF |
|
30 |
qa |
|
EF |
7a |
7 |
||||||
|
|
|
|
|
30 80 0,5 /7 171,429кн,
RA 6qa RB 6 80 0,5 171,429 68,571кH .
В соответствии с принципом суперпозиции определяем нормальные силы в стержнях, вызванные внешними силами и реакцией RB по формуле Ni Nip NR , тогда
N1 6qa 30 qa 12 qa 68,571кН , 7 7
45
N2 |
( z2 ) 14qa 4qz2 |
|
30 |
qa |
68 |
qa 4qz |
2 , |
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
68 |
|
|
7 |
|
7 |
|
|
||||
N2 |
(0 ) |
qa 9,71qa 388,4 кН , |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
N2 |
(2a) |
68 |
qa 8qa |
12 |
qa 68,571кН , |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
7 |
|
7 |
|
|
|
|
|
N3 RB 30 qa 171,429 кН . 7
По полученным значениям Ni строим эпюру нормальных сил в масштабе 20 кН/мм (рис. 2.8, б).
Для определения нормальных напряжений используем формулу i Ni / Fi ,
|
|
|
N1 |
|
|
|
|
12qa |
4 |
4 |
|
|
3 |
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qa / F |
|
80 10 |
|
* |
||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
7 3F |
7 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* 0,5 / 13 100 17,58 МПa , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
2 |
(2a) |
|
|
68,571 103 |
|
|
|||||||||
2(2a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10,550 МПa, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 13 100 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5F |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
N |
3 |
|
|
|
|
|
|
171,429 103 |
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43,956 МПa. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
3F |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 13 100 |
|
|
|
|
При изменении температуры стержней удлинение участка стержня определяется по формуле
l |
i |
|
Nili |
l |
i |
t , |
|
E F |
|||||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
i i |
|
|
|
где - коэффициент температурного расширения материала участка; t - изменение температуры в сравнении с проектной температурой.
Для определения нормальных сил и напряжений, вызванных воздействием температуры, стержень освобождается от внешних нагрузок и оказывается только под действием реак-
ций RtA и RBt (рис. 2.8, г). Из уравнения равновесия стержня следует, что RtA RBt
46
При отсутствии заделки конца В в сечениях стержня нормальные силы будут отсутствовать и его перемещение будет результатом температурного расширения
33
B li t t li 5a t .
i 1 i 1
Перемещение точки В, вызванное реакцией RBt , будет
равно - В, поскольку перемещение конца стержня в заделке равно нулю. Тогда
|
|
RBt |
CB B |
5EF |
5 ta |
25 |
2 10513 100* |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7a |
|
7 |
|
||
|
|
|
* 125 107 65 7,54 105 н 754 кН . |
|||||||||
Нормальные температурные напряжения |
||||||||||||
|
t |
|
RBt |
25 |
E t |
25 |
16250 193,452 МПa, |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
21 |
21 |
||||||||||
|
|
|
3F |
|
|
|
|
|
|
t2 RBt 25 E t 116,07 МПa, 5F 35
t3 t1 193,452 МПa
Как и следовало ожидать, напряжения оказались сжимающими.
По полученным значениям напряжений строим эпюру температурных напряжений (рис. 2.8, д).
Пример 3
Подбор сечений стержней и расчет температурных напряжений (задача 2)
Для заданной стержневой системы (рис. 2.9), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:
47
Рис. 2.9
ратуры стержней системы на сутствующей.
а) раскрыть статическую неопределимость системы;
б) подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если известны: соотношение площадей, величины действующих нагрузок и допускаемое напряжение 160 МПа;
в) при рассчитанных значениях диаметров определить напряжения в стержнях, возникающие при повышении темпе-t , считая при этом нагрузку от-
Таблица 2.1
|
kF1 |
kF2 |
kF3 |
|
Px |
|
Py |
xH |
|
yH |
|
|
t |
|
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
0 |
-25 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
35 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
xA |
yA |
xB |
yB |
xC |
yC |
xD |
yD |
xE |
yE |
xF |
yF |
|
||||||||||
0 |
0 |
-1,5 |
-1,5 |
|
-1,5 |
3 |
|
0 |
|
2 |
1,5 |
3 |
|
1,5 |
-1,5 |
|
Принять значение модуля упругости для стали равным E 2,0*105 МПа, а коэффициент температурного расширения
равным 125*10-7 1/ C.
Числовые данные к задаче приведены в таблицах 1 и 2, где все линейные величины даны в метрах, площади сечений стержней в см2, изменение температура в градусах Кельвина. Площади стержней определять по формуле Fi kFi F .
Положения характерных точек стержневой статически неопределимой системы заданы координатами в системе координат, изображенной на расчетной схеме системы (рис. 2.9).
48
Решение Длины стержней определяются по формулам
li (x1i x2i )2 ( y1i y2i )2 ,
где x1i , x2i , y1i , y2i - координаты концов стержня с номером i.
Длины стержней
l1 l5 ( xB xA )2 ( yB yA )2
= ((-1,5-0)2-(-1,5-0)2)0,5 = 2,1213 м;
l2 ( xD xA )2 ( yD yA )2
= (( 0-0)2-( 2-0)2)0,5= 2 м;
l3 l4 ( xC xD )2 ( yC yD )2
|
= ((-1,5-0 )2-(3-2 )2)0,5= 1,8028 м. |
|
|||||||
Площади стержней |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F1 F5 kF1F |
2F ; |
F k |
F2 |
F |
2F ; |
|
||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
F3 F4 kF3F 3F . |
|
|
|||||
Жесткости стержней |
|
|
|
|
|
|
|
||
c1 c5 |
kF1EF / l1 2EF /2,1213= 0,9428EF ; |
|
|||||||
c2 kF2EF / l2 |
2EF /2= EF ; |
|
|
|
|
|
|||
c3 c4 |
kF3EF / l3 3EF /1,8028= 1,6641EF . |
|
|||||||
Матрица жесткостей системы |
|
|
|
|
|
||||
|
0,9428 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
||||
|
0,0000 |
1,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
|||
|
0,0000 |
||||||||
|
0,0000 |
0,0000 |
1,6641 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|||
C EF |
. |
||||||||
|
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
1,6641 |
0,0000 |
|
|||
|
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
0,0000 |
|
|
|||
|
0,9428 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перемещения точек тел и стержней системы определяются двумя базовыми перемещениями u1 и u2. Удлинения стержней с одним подвижным узлом определяются по формулам
49