- •1.1 . Понятие матрицы
- •1.2 . Линейные операции над матрицами
- •1.2.3. Транспонирование матриц
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Свойства произведения матриц
- •Пусть дана матрица
- •2.3. Ранг матрицы
- •2.4. Вычисление обратной матрицы
- •3.1. Общий вид и свойства системы уравнений
- •3.2. Матричная форма системы уравнений
- •Суть метода Гаусса в том, чтобы с помощью элементарных преобразований расширенной матрицы системы (3.1)
- •получить матрицу вида:
- •4.2. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось и ее свойства
- •Правило сложения векторов обладает свойствами
- •Линейные свойства проекций
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •4.5. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
- •Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.
- •4.7. Декартова прямоугольная система координат
Линейные операции и их свойства, приведенные ранее (п.4.2), справедливы и для n-мерных векторов.
Определение. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше (п.4.2) свойствам, называется векторным пространством.
Отметим, что под можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы. В этом случае соответствующее множество элементов называется линейным пространством.
4.5.Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве
|
|
|
Линейной комбинацией n векторов вектор a1 , |
a2 , …, an |
будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, т.е.
|
|
|
|
|
1 a1 |
|
2 a2 |
... n an , |
(4.6) |
где 1, 2 , ... n - любые вещественные числа.
Определение. Векторы a1 , a2 , …, an называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа1, 2 , ... n , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что ли-
нейная комбинация векторов a1 , a2 , …, an с указанными числами обращается в нуль, то есть
|
|
|
|
|
|
1 a1 |
2 a2 |
|
... n an |
0 . |
(4.7) |
|
|
|
|
|
|
Определение. Векторы a1 , |
a2 , …, an |
называются линей- |
но независимыми, если равенство нулю их линейной комбина-
56