2398
.pdflim |
x3 4x2 5x 2 |
lim |
x 1 2 (x 2) |
0 . |
|
x3 2x 3 |
x 1 (x2 x 3) |
||||
x 1 |
x 0 |
|
3. Если дробь является иррациональной, т.е. в числителе или знаменателе есть корни, то для раскрытия неопределенности вида
0 необходимо выделять в качестве множителей бесконечно ма-
0
лые величины, не содержащие радикалов, посредством умножения числителя и знаменателя на иррационально сопряженное выражение.
Пример 2.12.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
|
|
|
|||||||
3 |
x 1 |
lim |
(3 x 1)(3 |
|
x 2 |
|
3 |
x 1) |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 1 x 1 |
|
x 1 |
|
|
(x 1)(3 |
x 2 |
3 |
|
x 1) |
|
|
|
x 1 |
(x 1)(3 x2 |
3 |
x 1) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x 1 (3 x2 3 x 1) |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
Пример 2.13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
x2 1 1 |
lim |
( |
|
|
x2 1 1)( |
|
x2 1 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x( x2 1 1) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 1) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 x( x2 1 1) |
|
|
x 0 x( x2 1 1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4. При раскрытии неопределенности вида для пред- |
ставления бесконечно малых величин в удобном виде, не содержащем иррациональности, необходимо умножить и разделить на сопряженное выражение.
Пример 2.14. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
x2 1 |
x2 1 |
x2 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim x |
|
1 |
x |
|
1 lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
2 |
1 x |
2 |
1 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
|
|
x2 1 x2 |
1 |
|
2 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x |
|
1 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5. |
|
|
Раскрытие другого варианта неопределенности вида |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
требует приведения к общему знаменателю. В результате |
20
преобразований получим уже рассмотренный случай неопределен-
0
ности .0
Пример 2.15.
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
1 x x2 3 |
0 |
|
||
|
lim |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 |
1 x3 |
|
||||||||
|
x 1 1 |
1 |
|
x 1 |
0 |
|
|||||||
lim |
|
(x 1)(x 2) |
1. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x)(1 x x2 ) |
|
|
|
|
||||||||
x 1 (1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2.7. Сравнение бесконечно малых величин |
|||||||||
|
Бесконечно малые величины x |
и x называются беско- |
нечно малыми величинами одного порядка малости при x a , если |
|||||||||
lim |
x |
C , где C является неравной нулю константой. |
|
||||||
x a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бесконечно малые величины x и x называются эквива- |
||||||||
лентными бесконечно малыми величинами при x a , если |
|
||||||||
lim |
x |
1. В качестве эквивалентных бесконечно малых величин |
|
||||||
x a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
можно назвать величины x и sin x при x 0 . |
|
||||||||
|
Пример 2.16. Показать, |
что бесконечно малые величины x |
и |
||||||
ln 1 x при x 0 являются эквивалентными. |
|
||||||||
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
|
ln 1 x |
lim |
1 |
ln 1 x lim ln 1 x 1/ x ln e 1. |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
x 0 |
|
x |
x 0 x |
x 0 |
|
|||
|
Пример 2.17. Показать, |
что бесконечно малые величины x |
и |
||||||
e x 1 при x 0 являются эквивалентными. |
|
21
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
e x 1 |
lim |
|
y |
|
|
lim |
|
1 |
|
|
|
1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|||||||
x 0 |
x |
y 0 ln y |
x 0 |
|
|
ln e |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Бесконечно малая величина x |
является бесконечно малой |
величиной более высокого порядка малости по сравнению с беско- |
||||||||
нечно малой величиной x |
, если |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
lim |
x 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
x a |
x |
|
|
|
|
При вычислении пределов бесконечно малые величины могут |
|||||||
заменяться эквивалентными. |
|
|
|
|
||||
|
|
2.8. Непрерывность функции в точке |
|
|||||
|
Пусть функция |
y f x определена в некотором интервале |
||||||
a,b . Возьмем произвольную |
точку |
x0 a,b . Для любого |
||||||
x0 a,b разность x x0 называется приращением аргумента x |
||||||||
в |
точке |
x0 |
и |
обозначается |
|
x x x0 . |
Отсюда |
|
x x0 x .Разность |
значений функции |
f x f x0 |
называется |
|||||
приращением функции f(x) в точке x0 и обозначается y |
или f . |
|||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
|
||
|
f x0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
f x0 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
x |
x0 x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4
Функции y f x , определенная в точке x0 и ее окрестности, называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому
22
приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
lim y 0.
x 0
Можно дать второе определение непрерывности функции, следующее из первого. Для этого рассмотрим детальнее предыдущее
определение. |
|
f x f x0 lim |
f x lim |
f x0 0 . |
|
lim y lim |
|||||
x 0 |
x 0 |
|
x 0 |
x 0 |
|
Воспользовавшись тем, что предел постоянной f x0 есть са- |
|||||
ма постоянная, получим |
f x lim f x f x0 . |
|
|||
|
|
lim |
|
||
|
|
x 0 |
x x0 |
|
|
Тогда функция y f x , определенная в точке x0 и в некоторой ее окрестности, называется непрерывной в точке x0 , если суще-
ствует предел функции в этой точке, который равен значению функции в точке x0 . Это означает, что при нахождении предела непре-
рывной функции достаточно в выражение функции f x подставить
вместо аргумента x его значение x0 . |
|
||
Пример |
2.18. Исследовать |
на непрерывность |
функцию |
y sin x . |
|
|
|
Решение. |
Функция y sin x |
определена при всех |
действи- |
тельных значениях аргумента х. Возьмем для произвольной точки х приращение x и найдем соответствующее приращение y :
|
y sin |
x x sin x |
x |
|
x |
|||||
|
2sin |
cos x |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
x |
2 lim |
x |
|
x |
|
|
lim 2sin |
cos x |
|
|
cos x |
0 . |
||||
|
x 0 |
|
|
2 |
|
2 |
x 0 |
2 |
|
2 |
Предел равен нулю, поскольку произведение ограниченной |
||||||||||
функции |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
и бесконечно малой величины есть бесконеч- |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
но малая величина. Согласно определению непрерывности функция y sin x непрерывна в любой точке x R . По аналогии можно до-
23
казать непрерывность и других элементарных функций на области их определения.
Третье определение непрерывности функции в точке связано с |
||||
понятием одностороннего предела. Предел функции |
y f x назы- |
|||
вается левосторонним, если при x a |
аргумент |
x остается все |
||
время меньше a , что обозначается таким образом: |
lim |
f x или |
||
lim f x . Предел функции |
|
|
x a |
|
y f x называется правосторонним, |
||||
x a 0 |
|
|
|
|
если при x a аргумент x |
остается все время больше a . Право- |
|||
сторонний предел записывается так: lim |
f x или |
lim |
f x . |
|
|
x a |
x a 0 |
|
Функции y f x , определенная в точке a и ее окрестности,
называется непрерывной в точке a , если предел функции y f x
справа при x a равен пределу функции слева и равен значению |
|||||||||
функции y f x в самой точке a : |
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
f x = lim |
f x = f a . |
|
|
|||
|
|
x a 0 |
|
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
Если |
функция |
|
определена |
при |
x a |
и |
||
lim |
f (x) |
f (a) lim |
f (x) , то говорят, что f x |
в точке |
x a |
||||
x a 0 |
|
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна |
справа. |
Если |
функция |
определена |
при |
x c и |
|||
lim |
f (x) |
f (c) lim |
f (x) , то говорят, что f x |
в точке |
x c |
||||
x c 0 |
|
x c 0 |
|
|
|
|
|
|
|
непрерывна слева. |
y f x |
|
|
|
|
|
|||
|
Если функция |
непрерывна в каждой точке некоторо- |
го интервала a;b , то говорят, что функция непрерывна на этом
интервале. Если функция у = f (х) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а,b) и непрерывна на концах интервала соответственно справа и слева, то говорят, что функция непрерывна на замк-
нутом интервале или отрезке [a,b].
24
2.9. Точки разрыва функции и их классификация
Если в точке a не выполняется хотя бы одно из условий третьего определения непрерывности функции y f x , то точка
a является точкой разрыва. Существует три типа точек разрыва: точка устранимого разрыва, точка разрыва первого рода или скачек,
точка разрыва второго рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точка |
устранимого |
разрыва |
образуется, если функция |
|||||||||
y f x определена в окрестности точки a , но не в самой точке, а |
||||||||||||
пределы функции слева и справа должны быть одинаковы, т.е. |
||||||||||||
|
|
|
lim |
f x |
= |
lim f x . |
||||||
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
x a 0 |
|||||
Примером функции, имеющей подобную точку разрыва, явля- |
||||||||||||
ется функция |
y |
sin x |
, у которой точка |
x 0 выкалывается из об- |
||||||||
|
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ласти определения функции, но |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
lim |
|
sin x |
= |
lim |
|
sin x |
=1. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x 0 0 |
x |
x 0 0 x |
|||||||
В этом случае функция доопределяется так, чтобы устранить |
||||||||||||
точку разрыва, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
, если x 1, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1, если x 1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если в точке a существуют конечные |
неравные пределы |
|
функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. |
||
lim f x A, |
lim f x B , |
A B , |
x a 0 |
x a 0 |
|
то точка a называется точкой разрыва первого рода или скачком.
y
B
A
a |
x |
Рис. 5
25
Точки разрыва первого рода или скачки часто имеют кусочнонепрерывные функции. Например, функция
|
x |
|
|
-1 x 2 |
f |
= x 1, |
если |
||
|
|
2 x, |
если |
2 x 5 |
|
|
|
|
поскольку lim f x 1, |
испытывает скачек |
в |
точке |
x 2 , |
|
lim f x 0 . |
|
|
|
x 2 0 |
|
|
|
|
|
x 2 0 |
|
|
|
|
Если хотя бы один из односторонних пределов стремится к бесконечности или не существует, то имеет место точка разрыва второго рода .
Например, |
функция |
y 31/ x a |
разрывна, поскольку |
|||||||
lim 31/ x a , а lim 31/ x a 0 . Точка x a является точкой |
||||||||||
x a 0 |
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
разрыва второго рода (рис. 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для функции |
y |
1 |
(рис. 7) |
точка x 0 является точкой раз- |
||||||
|
||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
рыва второго рода, поскольку |
lim |
|
1 |
, |
lim |
1 |
. |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 0 0 x |
x 0 0 x |
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
y 3 x a |
y |
|
||
|
|
x |
||||
|
|
|
|
|
||
0 |
a |
|
x |
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
Рис. 6 |
Рис. 7 |
26
2.10. Основные теоремы о непрерывных функциях
Теоремы о непрерывности функций в точке a и ее окрестности следуют непосредственно из соответствующих теорем о пределах.
Теорема 1. Сумма двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.
Теорема 2. Произведение двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности, есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности.
Теорема 3. Частное от деления двух функций, непрерывных в точке a и ее окрестности есть функция, непрерывная в точке a и ее окрестности, если знаменатель в точке a не равен нулю.
Теорема 4. (Теорема о непрерывности сложной функции) Пусть y f x -сложная функция. Если функция x непре-
рывна в точке a , а функция y f непрерывна в точке a a , то сложная функция y f x , составленная из непрерывных функций, непрерывна в точке a .
2.11. Свойства функций, непрерывных на отрезке
Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем зна-
чении функции на отрезке. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
y
M |
y f x |
|
m |
|
|
0 |
a x1 x2 b |
x |
|
Рис. 8 |
|
27
Изображенная на рис. 8 функция y f x непрерывна на от-
резке a;b , принимает наибольшее значение M в точке x1 , а наи-
меньшее m - в точке x2 . Для любого x a;b имеет место нера-
венство m f x M .
Следствие 1. Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.
Теорема о нуле непрерывной на отрезке функции. Если функция y f x непрерывна на отрезке a;b , и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка a;b найдет-
ся хотя бы одна точка c , в которой данная функция y f x обращается в ноль: f c 0 .
Геометрический смысл теоремы заключается в том, что если график непрерывной функции переходит с одной стороны оси Ox на другую, то он обязательно пересекает ось Ox (рис.9).
y
y f x
a |
c |
b x |
Рис. 9
В случае нарушения условия о непрерывности функции на отрезке вышеуказанная теорема может не выполняться(рис. 10).
y
|
y f x |
a |
c b x |
|
Рис. 10 |
28
Теорема Больцано-Коши. Если функция y f x непрерыв-
на на отрезке a;b , и принимает на его концах неравные значения f a A и f b B , то на этом отрезке она принимает и все про-
межуточные значения между A и B .
Геометрическая интерпретация теоремы Больцано-Коши сводится к тому, что для любого числа C , заключенного между A и B , c , что f c C , т.е. прямая y C
пересечет график функции y f x , по крайней мере, в одной точке
(рис. 11).
y
B |
y f x |
|
C |
|
|
|
|
|
A |
|
|
a |
c |
b x |
|
Рис. 11 |
|
Вопросы для самопроверки
1.Сформулируйте определение предела функции при x a и при x . Дайте геометрическую иллюстрацию определений этих пределов.
2.Что такое бесконечно малая и бесконечно большая величины? Какова связь между бесконечно большой и бесконечно малой величиной?
3.Каковы основные свойства бесконечно малых величин?
4.Сформулируйте основные теоремы о пределах.
5.О чем говорится в первом замечательном пределе?
6.Как записываются основные формулы второго замечательного предела?
7.Какие бесконечно малые величины называются бесконечно малыми величинами одинакового порядка малости?
8.Приведите примеры эквивалентных бесконечно малых ве-
личин.
29