2398
.pdfy yкас |
f (c)(x x0 ) f (x0 )(x x0 ) f c f x0 x x0 . |
|||
Выражение |
f c f x0 преобразуем по формуле Лагранжа: |
|||
|
f (c) f (x0 ) f (c1 )(c x0 ), |
|||
где точка |
c1 является некоторой внутренней точкой промежутка |
|||
x0 , c . В результате получаем: |
|
|
||
|
y yкас f (c1 )(c x0 )(x x0 ). |
|||
Легко заметить, что если x x0 |
, то |
x x0 0 и c x0 0 . Если же |
||
x x0 , то |
x x0 0 |
и c x0 0 . |
В любом случае произведение |
|
(c x0 )(x x0 ) 0 . |
Поскольку |
f x 0 , то y yкас 0 , поэтому |
||
во всех точках интервала a,b ордината касательной больше орди- |
наты графика, т.е. график функции является выпуклым. По аналогии доказывается, что при f x 0 график функции является вогну-
тым. |
|
|
|
Для нахождения точек перегиба графика функции y f x |
|||
используется следующая теорема. |
f x непре- |
||
Теорема. Если в точке |
x0 вторая производная |
||
рывной функции y f x равна нулю или не существует, а при пе- |
|||
реходе через точку x0 |
вторая производная меняет знак, то точка |
||
графика с абсциссой x0 |
является точкой перегиба. |
|
|
Доказательство. Пусть |
f x 0 при x x0 и |
f x 0 при |
x x0 . Значит, слева от точки x0 график выпуклый, а справа от точки x0 вогнутый. Поэтому точка x0 , f x0 графика функции является точкой перегиба.
Аналогично доказывается, что если f x 0 при x x0 и f x 0 при x x0 , то точка x0 , f x0 является точкой перегиба графика функции y f x .
Точки, где функция непрерывна, а вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками вто-
рого рода.
70
Пример 5.4. Исследовать график функции |
y x4 6x2 |
8 на |
выпуклость и вогнутость. |
|
|
Решение. Находим, что y 4x3 12x , |
y 12x2 |
12 |
12 x2 1 12 x 1 x 1 . Вторая производная существует на всей |
числовой оси и обращается в нуль при x1 1 и x2 1. Вторая производная положительна при x , 1 1, , следовательно, на этих промежутках график является вогнутым. Вторая производная отрицательна при x 1,1 , где график функции является выпуклым. Точки x1 1 и x2 1 являются точками перегиба.
5.5. Асимптоты графика функции и их построение
Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат.
Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными.
Вертикальные асимптоты появляются на границах области определения функции и в точках разрыва второго рода. Говорят, что
прямая x a является вертикальной асимптотой графика функции |
||||||||||||
y f x , если |
lim |
f (x) , или |
lim f (x) . |
|||||||||
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x a 0 |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Например, кривая y |
|
|
имеет вертикальную асимптоту x 1, |
|||||||||
x 1 |
||||||||||||
так как lim |
|
1 |
|
, lim |
1 |
|
. Примером асимптоты гра- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x 1 |
|
|
|
||||||||
x 1 0 |
|
|
x 1 0 x 1 |
|
|
фика функции, возникающего на границе области определения, является асимптота x 0 графика y ln x .
|
|
|
|
1 |
|
|
Пример 5.5. Исследовать функцию y e x |
на наличие верти- |
|||||
кальных асимптот. |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Функция y e x |
определена |
на множестве |
||||
x ,0 0, . Поскольку точка |
x 0 оказывается выколотой |
71
из области определения, то рассмотрим левосторонний и правосторонний пределы функции при x 0
|
1 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
lim |
e x 0 |
и lim e x . |
|
||||
x 0 0 |
|
|
|
x 0 0 |
|
||
Функция имеет вертикальную асимптоту x 0 . |
|||||||
Наклонные асимптоты появляются при |
x и как на- |
||||||
клонные прямые описываются уравнением вида |
y kx b . Для на- |
||||||
хождения параметров k |
|
и b |
рассмотрим произвольную точку |
||||
M x, y , расположенную на кривой, имеющей наклонную асимпто- |
ту.
y |
|
|
y kx b |
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
|
S |
||
|
P |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
Рис. 17. |
Расстояние MP от точки M до асимптоты стремится к нулю при удалении точки на бесконечность. Удобнее, однако, рассмотреть
отрезок |
SM |
PM |
, являющийся гипотенузой прямоугольного тре- |
||||||
cos |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
угольника MPS . Поскольку cos |
|
не изменяется при x , то |
|||||||
lim PM lim SM cos 0 или |
|
|
|
|
|
||||
x |
x |
|
lim kx b f x 0 . |
|
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
Выносим за скобки x и получаем |
f x |
|
|||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|||
|
|
|
lim x k |
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
72
Так как величина x является бесконечно большой величиной,
то |
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||
|
|
lim k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
x |
|
|||||
Слагаемое |
b |
может быть опущено как бесконечно малая вели- |
|||||||||||
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чина, следовательно, |
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
f |
|
||||||
|
|
lim k |
|
|
|
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
||
|
|
k lim |
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
x |
|
|||||||
Из условия |
lim kx b f x 0 находим: |
||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b lim f x kx .
x
Если хотя бы один из пределов, связанных с вычислением коэффициентов k и b не существует или стремится к бесконечности, то кривая y f x не имеет наклонной асимптоты. В частном слу-
чае, когда k 0 получаем горизонтальную асимптоту. Существуют функции, графики которых имеют различные асимптоты при стремлении x к и , поэтому при определении параметров k и b
необходимо вычислять соответствующие пределы при x и x .
Пример 5.6. Найти асимптоты графика функции y xe2x .
Решение. Поскольку lim |
xe2x |
|
lim e2x , то график |
|
x |
||||
x |
|
x |
функции при x асимптоты не имеет. При x получаем:
73
|
|
|
k lim |
xe2 x |
lim e2 x 0, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 x |
|
|
|
|
2 x |
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
b lim (xe |
|
0 x) lim xe |
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
0. |
|||||
|
|
2 x |
|
x |
||||||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
x e |
|
|
|
x e |
|
|
|
|
Следовательно, |
при |
x график имеет горизонтальную |
||||||||||||||
асимптоту y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 5.7. Найти асимптоты графика функции y |
x 1 |
. |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
Решение. Поскольку единственной точкой, выколотой из области определения функции, является x 2 , то находим левосторонний и правосторонний пределы при x 2 :
|
lim |
|
x 1 |
|
, lim |
x 1 |
. |
|||||||||
|
|
x 2 |
x 2 |
|||||||||||||
|
x 2 0 |
|
|
|
x 2 0 |
|
||||||||||
Найденные пределы говорят о наличии вертикальной асим- |
||||||||||||||||
птоты x 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения наклонной асимптоты вычислим пределы, со- |
||||||||||||||||
ответствующие параметрам k и b : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
k1,2 |
|
lim |
|
x 1 |
|
lim |
|
1 |
|
0, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x x x 2 |
|
x 2x 2 |
|
|||||||||||
b |
|
lim ( |
x 1 |
0 x) lim |
|
x 1 |
1. |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
1,2 |
|
x |
x 2 |
|
|
|
x x 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Следовательно, |
при |
|
x график функции имеет горизон- |
|||||||||||||
тальную асимптоту y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.6. Общая схема исследования функции и построения графика
Исследование функции y f x производится по следующему плану:
1.Нахождение области определения функции.
2.Исследование простейших свойств:
а) нахождение точек пересечения с осями координат,
74
б) определение наличия свойств четности или нечетности, в) определение наличия периодичности.
3.Нахождение асимптот: а) вертикальных, б) наклонных.
4.Нахождение первой производной.
5.Нахождение критических точек первого рода.
6.Вычисление второй производной.
7.Нахождение критических точек второго рода.
8.Разбиение области определения функции на интервалы критическими точками первого и второго рода, а также точками, соответствующими вертикальным асимптотам.
9.Исследование поведения функции на полученных проме-
жутках:
а) возрастание, убывание функции, б) вогнутость, выпуклость графика.
10Исследование поведения функции в критических точках первого и второго рода.
а) экстремумы, б) точки перегиба.
11.Построение графика функции по результатам исследова-
ния.
Пример 5.8. Исследовать функцию y |
x 2 |
||
|
|
и построить ее |
|
x 2 |
|
||
|
1 |
график.
Решение. Выполним все операции предложенной выше схемы исследования.
1.Функция не определена при x 1 и x 1. Область опреде-
ления функции D y : , 1 1,1 1, .
2.Простейшие свойства.
а) Если x 0 , то |
y 0 . График пересекает оси координат |
||
только в одной точке O 0,0 . |
|||
б) Функция y |
x2 |
||
|
|
является четной, так как |
|
x2 |
|
||
|
1 |
75
|
x 2 |
x2 |
||
y(x) |
|
|
|
y(x). |
(x)2 1 |
x2 1 |
Следовательно, график ее симметричен относительно оси Oy . в) Функция непериодическая.
3. Асимптоты.
а) Вертикальные асимптоты появляются при x 1 и x 1:
lim |
x2 |
, |
lim |
|
x |
2 |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 1 0 x2 1 |
|
x 1 0 x2 |
1 |
||||||||
|
|
x2 |
, |
|
|
x2 |
|||||
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
. |
|
x 1 0 x2 1 |
|
x 1 0 x2 |
1 |
б) Для нахождения наклонных асимптот находятся пределы:
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
lim |
|
|
x2 1 |
|
lim |
|
x |
0 , |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1,2 |
x |
x |
|
x x2 1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
b |
|
lim ( |
|
x2 |
|
0 x) lim |
x2 |
|
1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1,2 |
x x |
2 1 |
|
x x2 1 |
||||||||||||
|
|
Имеется наклонная (горизонтальная) асимптота y 1 при
x.
4.Первая производная равна
|
|
x 2 |
|
|
2x(x 2 1) x 2 (2x) |
|
|
2x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
(x |
2 |
1) |
2 |
|
2 |
|
1) |
2 . |
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
(x |
|
|
|
5. |
Единственная критическая точка первого рода является ста- |
||||||||||||||||
ционарной точкой |
|
x 0 . |
Значение функции в стационарной точке |
||||||||||||||
x 0 равно |
y 0 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6. |
Вторая производная равна |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2x |
|
|
|
|
|
2(x 2 1)2 ( 2x)2 x 2 1 2x |
|
6x 2 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1) |
2 |
|
|
|
(x |
2 |
1) |
4 |
3 . |
||||||
|
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 1 |
||||||
7. |
Критические точки второго рода отсутствуют. |
|
|
76
8. Разбиваем область определения функции стационарной точкой и точками, соответствующими вертикальным асимптотам и исследуем знаки первой и второй производной и находим знаки первой и второй производной в каждом промежутке:
y 0 |
y 0 |
y 0 |
y 0 |
1 |
0 |
1 |
x |
|
Рис. 19 |
|
|
y 0 |
y 0 |
y 0 |
y 0 |
1 |
0 |
1 |
x |
|
Рис. 20 |
|
|
9. Полученные результаты используются при построении гра- |
|||
фика функции. |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y f x |
|
|
1 |
|
y 1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
x |
|
x 1 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 21 |
|
|
77
Пример 5.9. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график
y |
x3 |
|
|
. |
|
2 x 1 2 |
Решение. 1. Найдем область определения функции. Поскольку f (x) представляет собой дробь, знаменатель дро-
би должен быть отличен от нуля, x 1 0 ; |
x 1. Таким обра- |
зом, |
|
D (y) =(- , 1) ( 1, ) . |
|
2.Определяем точки пересечения графика функции с координатными осями. Единственной такой точкой будет точка О(0,0).
3.Исследуем функцию на четность или нечетность y( x) ( x)3 / 2( x 1)2 x3 / 2(1 x)2 .
Очевидно, что y( x) y x и y( x) y x , поэтому
функция не является ни четной, ни нечетной.
Рассмотрим периодичность функции. Функция не является периодической.
4. Исследуем функцию на наличие у ее графика асимптот. а) Вертикальные асимптоты.
Вертикальную асимптоту можно искать лишь в виде х = -1. Для доказательства, что эта вертикальная прямая будет асимптотой, вычислим пределы справа и слева при x 1 0, x 1 0 от функции f(x):
lim |
|
x3 |
= - ; lim |
|
x3 |
= - . |
|
1)2 |
|
1)2 |
|||
x 1 0 2(x |
x 1 0 2(x |
|
Поскольку среди найденных пределов получились бесконечности, х= -1 действительно будет вертикальной асимптотой.
б) Наклонные асимптоты.
Наклонные асимптоты будем искать в виде прямых линий с уравнениями у = kх+b при x , x
k = lim |
f (x) |
lim |
x2 |
1/2; |
|
|
|||
x |
x |
x 2(x 1)2 |
|
78
|
|
x3 |
|
|
b lim ( f (x) kx) lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
2(x |
1) |
|
x |
x |
|
x3 |
x3 2x2 x |
|
|||
lim |
|
|
|
|
1. |
|
|
2 |
|||
|
2(x 1) |
|
|
||
x |
|
|
|
||
|
|
|
x 2
Таким образом, прямая с уравнением у=х/2 -1 является асимптотой при x . Те же самые значения пределов для k и b получим и при x , поэтому найденная прямая является асимптотой
ипри x .
5.Найдем интервалы возрастания, убывания функции, точки экстремума. Для этого найдем производную функции y .
|
y = |
3x2 (x 1)2 |
x3 2(x 1) |
|
x2 (x 3) |
. |
|
|||
|
2(x |
1)4 |
2(x 1)3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
Критическими точками являются |
x 0 , |
x 3 , при кото- |
||||||||
рых y = 0. При y >0 функция возрастает, при y |
<0 убывает. |
|||||||||
6. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости, точки переги- |
||||||||||
ба. Для этого найдем вторую производную |
|
|
|
|
|
|
||||
y |
(3x2 6x)(x 1)3 (x3 3x2 )3(x 1)2 |
|
|
|
3x |
. |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 x 1 6 |
|
|
|
|
(x 1)4 |
|
||
Точкой, где y может менять знак, является точка |
|
x 0 , следова- |
||||||||
тельно, x 0 является точкой перегиба. Если x |
< 0, функция вы- |
|||||||||
пукла, при x > 0 - вогнута. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Результаты исследования знаков производных и соответствующего поведения функции на интервалах оформляем в виде таблицы .
8.Строим график функции, нанося предварительно асимптоты, точки пересечения графика с координатными осями, точки экстремума и перегиба графика и соединяя их плавной кривой
(рис. 21).
79