2398
.pdfзать производную x |
1 |
|
1 |
. Поменяв a x на y , затем, пе- |
y |
|
|||
|
|
a x ln a |
рейдя к привычным обозначениям для аргумента и функции, полу-
чим: |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
loga x |
|
. |
||
|
||||
x ln a |
||||
|
|
|
В частном случае для натурального логарифма имеем:
ln x 1x .
Аналогичным образом могут быть получены производные обратных тригонометрических функций. Например, для функции y arcsin x обратной функцией является функция x sin y . Тогда
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
cos y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 sin |
2 |
|
|
|
|
x |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
sin y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подобным образом получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
arccosx |
|
|
|
, arctgx |
|
|
, arcctgx |
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 x 2 |
1 x2 |
||||||||||||||||||||
1 x 2 |
||||||||||||||||||||||||||
3.5. Сложные функции. Производные сложных функций |
||||||||||||||||||||||||||
Пусть y f u |
и u x , тогда |
|
y f u x |
является слож- |
ной функцией с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x .
Теорема. Если функция |
u x |
имеет производную |
u |
в |
|||
|
а функция y f u |
|
|
|
x |
|
|
точке x , |
имеет |
производную y |
в |
точке |
|||
|
|
|
|
u |
|
|
|
u x , |
то сложная функция |
y f u x имеет производную |
y |
в |
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
точке x , находящуюся по формуле |
|
|
|
|
|||
|
|
y |
y u . |
|
|
|
|
|
|
x |
u |
x |
|
|
|
Пример 3.1. Найти производную сложной функции y (2x3 5)4 .
40
Обозначим (2x3 5) u. Тогда |
y u 4 . По правилу дифференци- |
|||||||||
рования сложной функции имеем |
|
|
|
|
||||||
y (u 4 ) (2x3 5) 4u3 (6x2 ) 24x2 (2x3 5)3 . |
||||||||||
u |
|
x |
|
|
|
|
||||
Пример 3.2. Найти производную сложной функции |
||||||||||
y sin 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|||
x 1 |
|
|
|
|
||||||
y 2sin |
|
|
cos |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
x 1 |
x 1 |
||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 x 1 |
3.6.Гиперболические функции и их производные
Вмеханике встречаются гиперболические функции, определяемые следующими формулами: гиперболический синус
shx |
e x |
e x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гиперболический косинус (цепная линия) |
|
|
|||||||||||
chx |
|
e x |
e x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
гиперболический тангенс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
thx |
shx |
|
|
e x e x |
|
, |
|||||||
chx |
|
|
e x e x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
гиперболический котангенс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cthx |
|
chx |
|
|
e x e x |
|
. |
||||||
|
shx |
|
e x e x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Между гиперболическими функциями существуют соотноше- |
ния, аналогичные соотношениям между тригонометрическими функциями:
ch2 x sh2 x 1;
sh x y shx chy shy chx ; ch x y chx chy shx shy ;
th x y |
|
thx thy |
; |
|
thx thy |
||
1 |
|
sh2x 2shx chx ;
41
ch2x ch2 x sh2 x .
3.7. Таблица производных
|
y x |
|
|
y x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
c |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
x |
|
x 1 |
||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
x 2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5. |
a x |
a x ln a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
e x |
|
|
e x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
log a x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x ln a |
||||||||
8. |
ln x |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
9. |
sin x |
|
cos x |
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
10. |
cos x |
|
sin x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
|
|
|
|
y x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
tgx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2 x |
||||||||||
12. |
ctgx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
sin 2 x |
|||||||||||||
13. |
arcsin x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|||||||||
14. |
arccos x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|||||||||
15. |
arctgx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 x 2 |
||||||||||||
16. |
arcctgx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 x2 |
||||||||||||
17. |
shx |
|
|
|
|
|
|
chx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
18. |
chx |
|
|
|
|
|
|
shx |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
19. |
thx |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ch 2 x |
|||||||||
20. |
cthx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
sh2 x |
42
3.8. Неявная функция и ее дифференцирование
Неявно заданной функцией называется функция, задаваемая уравнением F x, y 0 , не разрешенным относительно y . Любую
явно заданную функцию y f x можно записать как неявно заданную уравнением f x y 0 . Переход от неявного задания
функции к явному заданию часто невозможен ввиду сложности связи переменных x и y , как, например, в неявно заданной функции
y sin xy 2x y 0 .
Для того, чтобы найти производную неявной функции F x, y 0 , не преобразовывая ее в явную, продифференцируем обе части уравнения по x , считая, что y есть функция от x . Полученное уравнение разрешается относительно y .
Пример 3.3. Найти производную функции, заданной неявным образом: x y e xy .
Решение. Дифференцируем левую и правую части уравнения
по x :
1 y e xy y xy или y 1 xexy yexy 1.
Разрешая уравнение относительно y , находим производную
y yexy 1 . 1 xexy
3.9. Метод логарифмического дифференцирования
В некоторых случаях перед нахождением производной можно прологарифмировать исходную функцию и только после этого дифференцировать. Данный метод называется логарифмическим дифференцированием. Метод логарифмического дифференцирования облегчает взятие производной функции, содержащей большое количе-
ство множителей. |
|
|
|
|
Пример |
3.4. |
Найти |
производную |
функции |
sin 2 x 3 4 x 5 y ctg 3 x 2 x 1 .
43
Решение. Обычный вариант нахождения производной с помощью правил дифференцирования оказывается достаточно громоздким, поэтому предварительно прологарифмируем функцию:
ln y 2 ln sin x 53 ln 4 x 3ln ctgx x 1 ln 2 .
Продифференцируем данное равенство по x :
|
y |
2 cos x |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 2 . |
|
|||||||
|
y |
sin x |
|
3 4 x |
ctgx sin 2 x |
|
|||||||||||||||
Выражаем производную: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2cosx |
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
y y |
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ln2 |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
sinx |
|
|
3 4 - x |
|
cosx sinx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
sin 2 |
x 3 |
4 x 5 |
|
|
2cosx |
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
- ln2 |
. |
|
|
|
3 |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
ctg |
x 2 |
|
|
sinx |
|
3 4 - x |
|
sinx cos x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод логарифмического дифференцирования оказывается единственным способом нахождения производной для показатель-
но-степенной функции y u x v x :
|
y |
v ln u v |
u |
|
|
|
|
u |
||
ln y v ln u , |
|
|
, |
y y v ln u v |
|
, |
||||
|
|
|
||||||||
|
y |
|
|
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
v |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
y u |
v ln u v |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
Пример 3.5. Найти производную функции x x .
Решение. Здесь основание и показатель степени зависят от х. В таблице производных нет формулы для таких функций. Пролога-
рифмируем заданную функцию ln y ln x x x ln x. Продиффе-
ренцируем по х обе части полученного равенства.
Так как у есть функция от х, то ln у есть сложная функция от х и (ln y) 1y y . Следовательно,
44
1 |
y |
1 |
|
|
ln x |
|
1 |
|
ln |
x |
|
|
1 |
|
. |
||
|
|
x |
|||||||||||||||
y |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
x |
|
|
|
2 x |
|
|
|
x |
Окончательно получим:
|
ln x |
|
|
1 |
|
|
|
ln x |
|
|||
y y |
|
|
|
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
x |
2 x |
|
1
.
x
Использованный прием называют логарифмическим дифференцированием.
3.10. Производная параметрически заданной функции
Пусть зависимость между аргументом x и функцией y зада-
на параметрическим образом посредством двух уравнений
y y t ,x x t ,
где t - вспомогательная переменная величина, называемая параметром. Параметр принимает непрерывный ряд значений из некоторого
промежутка t1 t t2 . |
|
|
y y t и x x t имеют про- |
|||||
Предполагается, |
что функции |
|||||||
изводные, причем последняя функция имеет обратную |
функцию |
|||||||
t (x) , тогда y y (x) является сложной функцией. По правилу |
||||||||
дифференцирования сложной функции имеем: |
|
|||||||
|
|
|
|
y'x y't '(x) . |
|
|||
Воспользовавшись теоремой о производной обратной функ- |
||||||||
ции, заменим |
на |
1 |
|
. В результате подстановки имеем |
|
|||
|
|
|
||||||
x |
|
xt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
yt |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
xt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данная формула позволяет вычислять производную |
y от па- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
раметрически заданной функции, не находя непосредственной зависимости y от x .
45
Пример 3.6. Найти производную y |
параметрически задан- |
x |
|
|
|
|
x a cos t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ной функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y b sin t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Решение. Вычислим производные |
|
y't |
b cos t, |
x't a sin t . |
||||||||||||||||||||
Тогда y' |
|
|
b cos t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a sin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 3.7. Найти производную |
|
y |
параметрически задан- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
ной функции x a(t sin t), . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
y a(1 cost). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
Вычислим |
соответствующие |
производные |
|||||||||||||||||||||
yt a sin t , |
x a 1 cost . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin |
t |
cos |
t |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
y' |
x |
|
|
|
|
2 |
2 |
ctg |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
cost |
|
|
2 |
|
t |
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 sin |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.11. Уравнение касательной и нормали к графику функции |
||||||||||||||||||||||||
Рассмотрим |
|
график |
функции |
|
|
y f x . Выберем точку |
||||||||||||||||||
M x0 , f x0 , принадлежащую кривой, |
и проведем через эту точку |
касательную. Касательная как наклонная прямая линия, проходящая через точку M , имеет уравнение вида
y f x0 k x x0 .
Угловой коэффициент касательной k равен производной функции, посчитанной в точке касания x0 , т.е. k f x0 . В резуль-
тате получаем уравнение касательной к графику функции в точке x0
(рис. 14)
y f x0 f x0 x x0 .
46
y |
|
y f x0 f x0 x x0 |
||||
f x0 |
M |
y f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f x0 |
|
1 |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|||
|
f x0 |
|
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x0 |
|
x |
|
Рис. 14
Нормалью к кривой в точке M x0 , f x0 , принадлежащей
графику, называется прямая линия, проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Поскольку угловые коэффициенты перпендикулярно расположенных прямых связаны соотношением
k |
1 |
, |
то уравнение |
нормали, |
|
|
проходящей через точку |
|
|
|
|
||||||
1 |
k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M x0 , f x0 |
, имеет вид |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y f x0 |
|
1 |
|
|
x x0 . |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
f x0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
Пример 3.8. Написать уравнение касательной и нормали к графику функции y 3x2 5x в точке M 1, 2 .
Решение. Так как производная y 6x 5 в точке x0 1 рав-
на 1, а значение функции y 1 2 , то уравнение касательной име-
ет вид
y 2 1 x 1 или y x 3 .
Уравнение нормали имеет вид
y 2 11 x 1 или y x 1.
47
3.12. Дифференциал
Пусть функция y=f(x) дифференцируема на [a,b]. Следова-
тельно, существует предел y f (x) lim |
y |
. Но тогда по свой- |
x 0 |
x |
|
ству бесконечно малых , функцию имеющую предел можно представить в виде
y y ,x
где α – бесконечно малая, т.е. 0 при х 0. Умножим правую и
левую части выражения на х
y y x x .
Так как в общем случае y 0 , произведение y x есть бесконечно малая величина первого порядка относительно x . Произведение x есть бесконечно малая высшего порядка относительно x
lim x lim 0 .x 0 x x 0
Приращение y состоит из двух слагаемых, первое из кото-
рых называется главной частью приращения, линейной относитель-
но x , |
называется дифференциалом и обозначается dy |
|
|||||
|
|
|
|
|
dy= y x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что |
дифференциал |
функции y=x |
равен |
|||
dy y x x dx . |
Дифференциал независимой переменной сов- |
||||||
падает |
с ее приращением. Поскольку |
dy f (x)dx , |
то |
||||
f (x) |
dy |
, то есть производная есть отношение дифференциала |
|||||
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
функции к дифференциалу независимой переменной.
Приращение функции отличается от дифференциала на величину x , бесконечно малую высшего порядка относительно x .
Величина x является бесконечно малой высшего порядка относительно dy
lim |
x |
lim |
x |
0 . |
|
dy |
f (x) x |
||||
x 0 |
x 0 |
|
48
Поэтому можно положить y dy , то есть
f (x x) f (x) f (x) x .
Это приближенное равенство можно использовать в приближенных вычислениях.
Пример 3. 9. Найти dy и y функции y=x³.
y (x x)3 x3 3x2 x 3x( x)2 ( x)3 , dy f (x)dx 3x2 x.
Задача нахождения дифференциала равносильна нахождению производной. Следовательно большинство теорем и формул, относящихся к производным, имеют место и для дифференциала .
3.13. Производные высших порядков явно заданной функции
Производная y f x является функцией от x и называется производной первого порядка.
Если функция f x дифференцируема, то производная от
производной определена, называется производной второго порядка и обозначается
|
|
|
|
d 2 y |
|
d |
dy |
||
y |
|
|
|
|
. |
||||
|
f x |
dx2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dx dx |
По аналогии, производной n - го порядка называется производная от производной n 1 - го порядка, т.е.
y n y n 1 .
Производные порядка выше второго называются производными высших порядков, причем порядок производной обозначается числом в скобках, записанным в виде верхнего индекса.
Пример.3.10. Найти производную |
|
5-го |
порядка |
функции |
||||||||||||
y ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
2 |
|
||
Решение. |
y ln x |
|
|
, |
y |
|
|
|
|
|
, |
y |
|
|
|
, |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
49